在三坐標(biāo)測量機(jī)上測量曲線、曲面的方法和誤差分析杭州應(yīng)用工程技術(shù)學(xué)院（310012吳作倫沈音樂=摘要〉在介紹和分析用三坐標(biāo)測量機(jī)測量曲線和曲面的幾種方法基礎(chǔ)上，提出了用/三點(diǎn)共圓求法線0方法來求得實際曲線、曲面的軌跡，并分析了測量誤差，說明本方法有實際應(yīng)用價值。關(guān)鍵詞曲線曲面測量測量方法三坐標(biāo)測量機(jī)的情況下，平面P1P2P3的法向量可以認(rèn)為是P點(diǎn)的法向量，此時測頭只要沿著該向量方向去測P點(diǎn)，就會得到正確的測頭半徑補(bǔ)償。如圖2zl所示?！?、引言機(jī)械零件的曲線和曲面的測量是幾何量測量中的難點(diǎn)之一,一直是計量工作者關(guān)注的問題。三坐標(biāo)測量機(jī)的出現(xiàn)，為這方面提供了可能。在曲線和曲面的測量過程中，由于存在著測量方法的誤差，即在測量過程中，由于測頭的運(yùn)動方向和被測曲面的法線方向不一致，雖然經(jīng)測頭半徑補(bǔ)償，但還帶來不可忽視的誤差。如圖1所示,當(dāng)半徑為r的測頭沿Z軸負(fù)方向與曲率半徑為R的被測曲面接觸后，輸出Pc點(diǎn)的坐標(biāo)值，而欲測點(diǎn)則為P點(diǎn)，此時測頭與曲面的實際接觸點(diǎn)Pc,這就造成測量誤差$z=OPc-r=r-r=cosH圖221平均矢量法對于被測面比較寬坦的曲面而言，可以采用該方法。先在被測曲面上定義一網(wǎng)絡(luò),而后對這些網(wǎng)狀點(diǎn)進(jìn)行測量。用測頭逼近給定網(wǎng)點(diǎn)，直到輸出結(jié)果滿意為止。以這些網(wǎng)點(diǎn)所形成的網(wǎng)絡(luò)線能夠反映出被測曲面的特征。1r#(-1,同樣，當(dāng)測頭沿x軸或y軸負(fù)方向采點(diǎn)時，也cosH會造成x,y方向的誤差。為此，在曲線、曲面的測量方面，測量工作者提出了許多測量方法，以減少測量

PRi-yPRi-y誤差。31二次補(bǔ)償采點(diǎn)法測頭沿著某一基準(zhǔn)坐標(biāo)軸運(yùn)動、采點(diǎn)，進(jìn)行一次補(bǔ)償?shù)玫揭粋€帶有誤差$的測值;再在其附近加采一點(diǎn)，用測得的數(shù)據(jù)求出誤差$值，進(jìn)而對第一次測得的值進(jìn)行第二次補(bǔ)償，從而得到預(yù)測點(diǎn)的坐標(biāo)值。一般情況下，測量機(jī)測量1個點(diǎn)時，對未知不規(guī)則的曲線,不能用簡單的解析式來表示曲線曲面，當(dāng)然就不能沿著某點(diǎn)的法線方向接近表面和進(jìn)行正確的測頭半徑補(bǔ)償,而只能按坐標(biāo)系的某一坐標(biāo)軸方向或按一定角度運(yùn)動的方式來獲得各個離散點(diǎn)，這樣就產(chǎn)生了誤差。分析比較以上提及的測量方法,/微平面法0雖然虛擬出某點(diǎn)的法向量，但它要求移動足夠小的等距a,比較麻煩，特別在手動式的三坐標(biāo)測量機(jī)上就很難實現(xiàn)。對于/平均矢量法0雖具有較高的效率，在測量比較寬坦的曲面，當(dāng)被測量各點(diǎn)的法矢量方向差不大于15b時,還能達(dá)到較滿意的效果，但對于狹窄的表面各點(diǎn)的矢量夾角較大的曲面而言，該方法就相當(dāng)困難了。解決這種曲面的測量問題，可選用/二次補(bǔ)償法0。其優(yōu)點(diǎn)是：二、多種測量方法11微平面法對于未知輪廓的測量，無法讓測頭沿法線方向接近采樣點(diǎn),此時就無法得到正確的測頭半徑補(bǔ)償,這種情況曾用/微平面法0來解決。它的原理是:P點(diǎn)為被測點(diǎn)，在它周圍等距離a取3個點(diǎn)P1、P2、P3,可組成平面P1P2P3,在a足夠小(1只須沿坐標(biāo)軸方向做測量運(yùn)動;(2每測一點(diǎn)只需加采兩點(diǎn)；(3不僅適用于自動測量，也適用于手動測量。但該方法在測量中要選取最佳采點(diǎn)距，過程比較麻煩,所以只有在測量狹窄曲面時采用該方法。測量曲線曲面的前期工作中，大多采用找近似的法線方向的測量方法，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)的方法來找到采樣點(diǎn)的法線方向。這就是/三點(diǎn)共圓求法線法0。實際曲線上的點(diǎn)。再根據(jù)P2、P3、P4三個連續(xù)測點(diǎn)，求出Pc3;以此類推，求出Pc4,Pc5,,,Pcn-1。此上均可用計算機(jī)計算得到。四、對離散測量值的數(shù)據(jù)處理對于形狀比較簡單,規(guī)律性比較強(qiáng)，可以用某種函數(shù)來描述的這些離散點(diǎn)，不妨用/回歸分析法0求得實際的曲線,并按等精度測量誤差數(shù)據(jù)處理方法求得零件的測量精度。而對于形狀復(fù)雜，不規(guī)則曲線輪廓,不便于用函數(shù)來描述，如某些葉片的表面，我們可選擇三次樣條曲線方程將離散點(diǎn)(xi,yi(其中i=0,1,,,n擬合成曲線。該方程具有較強(qiáng)的曲線描述能力，次數(shù)低，保證了曲線的零階、一階、二階導(dǎo)數(shù)在測量點(diǎn)范圍內(nèi)的連續(xù)性，即曲線足夠光滑，使測量時隨機(jī)誤差比較小。同時方程與零件坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)，這對于安裝那些調(diào)整比較困難的零件，尤為方便,直接可以用于空間曲線和曲面的計算。其方程為：(x-xi+12[hi+2(x-xi]S(x=ihi+(x-xi2[hi+2(xi+1-x]i+h3i1三、/三點(diǎn)共圓求法線法0探討先置測點(diǎn)半徑為零,測量時所得的各點(diǎn)的坐標(biāo)值即均為測頭中心的數(shù)據(jù),在精度要求不高，曲線比較簡單時，可用作圖的方法,求得包絡(luò)線來得到實際曲線。但為了提高精度，需用數(shù)學(xué)方法求得測頭中心坐標(biāo)的法線方向，因此該法線是求得實際輪廓的關(guān)鍵。本文用這種比較直觀和簡單的方法，即/三點(diǎn)共圓求法線法0,來求得測頭中心'的法線方向，從而來求出被測輪廓上的各點(diǎn)。具體過程如下：假設(shè)在曲線曲面上測得n個點(diǎn)，先取曲線上3個連續(xù)的測量點(diǎn)P1(x1,y1,P2(x2,y2,P3(x3,y3,如圖3

所示。(x-xi+12(x-xi+mihi(x-xi(x-xi+1+mi+h2i式中hi=xi+1-ximi=Sc(xi1五、測量精度估計在三坐標(biāo)測量機(jī)上測量時，測量誤差包含三坐標(biāo)測量機(jī)本身的制造誤差,雖經(jīng)過軟件補(bǔ)償，還會帶來影響,如我們實驗用的DEAswiftAO三坐標(biāo)的測量機(jī)，其測量精度為？(4圖3當(dāng)3點(diǎn)連接的曲線段很小時，可以看作是一段圓弧上的3點(diǎn)，P、1P幻P3三點(diǎn)均滿足圓方程：(x1-a2+(y1-b2=R2(x2-a+(y2-b=R222a4L(測量機(jī)誤差；測量時環(huán)境溫度變化或者測頭校正1000時的誤差給測量值帶來的影響其它誤差，一般能控制在+5Lm以內(nèi)。測量方法上的誤差也是不容忽視的,如前所述的/平均矢量法0,當(dāng)被測各點(diǎn)法矢量方向差不大于15b時，則1-1若測頭半徑R=cos7.5b1.2mm時，采用該方法的總誤差為:測量方法的誤差為$方法=R(D總=?=?$機(jī)器+$其它+$方法(1(x3-a2+(y3-b2=R2求解方程組(1,得到P1、P2、P3所在圓弧的圓心坐標(biāo)M(a,b及圓半徑R。連接P2M,P2M即為過P2點(diǎn)的圓弧法線，其方程為：y-bx-a22(x-x22+(y-y22=r2(2(0.005+(0.003+(0.0104=?0.012mm從原理上來說,/三點(diǎn)共圓求法線法0的測量誤差是很小的，當(dāng)被測量曲線是圓的一個部分時，測球圓心'P1、P2、P3,,,Pn在同一個圓上，被測工件的圓心M是固定的。根據(jù)(3本方法計算得到的Pc2是沒有誤差的，但是當(dāng)被測的點(diǎn)恰是工件上某一突出點(diǎn)時，使Pc3的測球圓心實際位置是在Pd3此時以P2為圓心，半徑為測頭半徑r的圓方程為:由(2,(3組成的方程組即可求出交點(diǎn)Pc2(x,y,即為4點(diǎn)時，這時P1,P2,Pd3的圓心在Mc,很顯然，圓心在變化引進(jìn)測球半徑補(bǔ)償方法變化，使所求的等距曲線的位置變化，即產(chǎn)生了一定的測量方法誤差$，誤差值$推導(dǎo)如下：(如圖4(a所示已知P1、P2、P3,是圓上的3個點(diǎn)，其圓半徑為R。A$MP3P2p$MPc3P2很容易求得:NPd3P2P3=NMP2Mc=H假定P3Pd3=0.05mm,即Pd3為實際曲線上一點(diǎn)，距P3為0.05mm,測量步長為L=2mm,測球半徑r為1.2mm。H=0.05/2=0.025(rade=QPc2=r@H$P2Pc2QU$Pc2QS則NPc2P2Q=NQPc2S=H,如圖4(b所示。PcQ1UPc2Q@H=r@H@H=1.2@0.0252U6@10-4mm而Q1S小于QS，則$也小于QS。所以測量方法誤差$是很小的，可以忽略，這樣提高了測量精度。/三點(diǎn)共圓求法線法0,通過測量及數(shù)據(jù)處理，證明它是一種簡明的、直觀的、準(zhǔn)確的方法，但由于時間和工作條件的限制，許多工作還有待進(jìn)一步展開。參考文獻(xiàn)1陳聲東1關(guān)于空間自由曲面形狀精密測量方法的研究1航空精密機(jī)械工程，1987,(32陸濤，陳吉林,劉勁松，黃奇葵,羅建軍1空間自由曲面測量過程中測球半徑補(bǔ)償問題的研究1計量技術(shù)，1993,(12:3~53王建華，林其駿,喬桂芳1復(fù)雜型面測量中測頭中心的軌跡曲面及測頭半徑的三維補(bǔ)償1計量學(xué)報，1994,(4:108~1134陳久宇，林見1觀測數(shù)據(jù)的處理方法1上海:上海交大出版社,19875王旭蘊(yùn)，張玉坤1輪廓度誤差的精度測量和評定1計量學(xué)報,1995,（1:12?16（上接第34頁電壓波形如圖6示。Vref電壓幅度、定時時間和時間常數(shù)都可調(diào)整，經(jīng)過比較器和驅(qū)動電路最終使每相驅(qū)動電流的幅值限制在Vref/R10的數(shù)值。四、結(jié)束語新型蓋戳機(jī)戳輪驅(qū)動機(jī)構(gòu)已經(jīng)模擬負(fù)載試運(yùn)行,表明該圖4機(jī)構(gòu)設(shè)計合理，運(yùn)行可靠，解決了步進(jìn)電機(jī)在帶負(fù)載轉(zhuǎn)速高、變速快、轉(zhuǎn)動慣量大、定位穩(wěn)定等方面技術(shù)問題，設(shè)計調(diào)試的思路和方法是實用的，適當(dāng)修改可用于其它控制場合，也希望對步進(jìn)電機(jī)的應(yīng)用開發(fā)起拋磚引玉的作用。六、測量實例和數(shù)據(jù)處理根據(jù)以上提出的/三點(diǎn)共圓求法線法0,對我院數(shù)控機(jī)床加工的葉片，在DEA三坐標(biāo)測量機(jī)上進(jìn)行采樣，并用本方法求得實際的曲線的離散點(diǎn),并用樣條插值函數(shù)擬合成實際曲線，其結(jié)果還是令人滿意的，當(dāng)然也可以將多個截面上計算得到離散點(diǎn)，用孔斯曲面表示,現(xiàn)將其截面測量所得測頭中心的坐標(biāo)值（y,z和通過/三點(diǎn)共圓求法線0得出實際曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)（yc,zc,如表1所示,葉片曲線如圖4中的實線所示。表1測量結(jié)果及數(shù)據(jù)處理y12345-0.843-2.586-4.943-7.224-8.929z-1.561-2.646-3.874-5.032-5.869yc-1.986-4.394-6.689-8.450zc-3.685-4.943-6.106-6.969插入值yc插值zc-3.0-5.0-7.0-9.04.2195.2516.2657.195圖6t1步進(jìn)電機(jī)啟動時刻t2啟動定時器時刻t3定時時間到時刻t4衰減到保持值時刻參考文獻(xiàn)1余永權(quán)，李小青,陳林康1單片機(jī)應(yīng)用系統(tǒng)的功率接口技術(shù)1北京航空航天大學(xué)出版社,19