PAGEPAGE10第6講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，aeq\s\up6(logaN)＝N(a>0且a≠1)運(yùn)算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過(guò)定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．常用結(jié)論1．換底公式的三個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logbc·logcd＝logad.2．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)(1)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象只在第一、四象限．(2)函數(shù)y＝logax與y＝logeq\s\do9(\f(1,a))x(a>0且a≠1)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱．(3)在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．常見(jiàn)誤區(qū)1．在運(yùn)算性質(zhì)logaMn＝nlogaM中，要特別注意M>0的條件，當(dāng)n∈N*，且n為偶數(shù)時(shí)，在無(wú)M>0的條件下應(yīng)為logaMn＝nloga|M|.2．研究對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題應(yīng)注意函數(shù)的定義域．3．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，若底數(shù)不確定，應(yīng)注意對(duì)a>1及0<a<1進(jìn)行分類討論．[思考辨析]判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(3)函數(shù)y＝logax2與函數(shù)y＝2logax是相等函數(shù)．()(4)若M>N>0，則logaM>logaN.()(5)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1，0)，且過(guò)點(diǎn)(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1)).()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√[診斷自測(cè)]1．log29·log34＝()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4解析：選D．原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4×eq\f(lg3,lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝4.2．函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象大致是()解析：選C．函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象是把函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，圖象過(guò)定點(diǎn)(0，0)，函數(shù)定義域?yàn)?－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，故選C．3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,lg(x＋1))＋eq\r(2－x)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：由f(x)＝eq\f(1,lg(x＋1))＋eq\r(2－x)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,lg(x＋1)≠0，,2－x≥0，,))得x∈(－1，0)∪(0，2]．答案：(－1，0)∪(0，2]4．函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________．解析：分兩種情況討論：①當(dāng)a>1時(shí)，有l(wèi)oga4－loga2＝1，解得a＝2；②當(dāng)0<a<1時(shí)，有l(wèi)oga2－loga4＝1，解得a＝eq\f(1,2).所以a＝2或eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值(自主練透)1．(2020·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)alog34＝2，則4－a＝()A．eq\f(1,16) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,6)解析：選B．方法一：因?yàn)閍log34＝2，所以log34a＝2，則有4a＝32＝9，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9)，故選B．方法二：因?yàn)閍log34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝3－2＝eq\f(1,32)＝eq\f(1,9)，故選B．方法三：因?yàn)閍log34＝2，所以eq\f(a,2)＝eq\f(1,log34)＝log43，所以4eq\s\up6(\f(a,2))＝3，兩邊同時(shí)平方得4a＝9，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9)，故選B．方法四：因?yàn)閍log34＝2，所以a＝eq\f(2,log34)＝eq\f(log39,log34)＝log49，所以4－a＝eq\f(1,4a)＝eq\f(1,9)，故選B．方法五：令4－a＝t，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得log34－a＝log3t，即alog34＝－log3t＝log3eq\f(1,t)，因?yàn)閍log34＝2，所以log3eq\f(1,t)＝2，所以eq\f(1,t)＝32＝9，所以t＝eq\f(1,9)，即4－a＝eq\f(1,9)，故選B．方法六：令4－a＝t，所以－a＝log4t，即a＝－log4t＝log4eq\f(1,t).由alog34＝2，得a＝eq\f(2,log34)＝eq\f(log39,log34)＝log49，所以log4eq\f(1,t)＝log49，所以eq\f(1,t)＝9，t＝eq\f(1,9)，即4－a＝eq\f(1,9)，故選B．2．計(jì)算：lgeq\f(4\r(2),7)－lg8eq\s\up6(\f(2,3))＋lg7eq\r(5)＝________．解析：原式＝lg4＋eq\f(1,2)lg2－lg7－eq\f(2,3)lg8＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝2lg2＋eq\f(1,2)(lg2＋lg5)－2lg2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________．解析：因?yàn)?a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝eq\r(10).答案：eq\r(10)4．計(jì)算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100eq\s\up6(－eq\f(1,2))；(2)eq\f((1－log63)2＋log62·log618,log64).解：(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\s\up6(\f(1,2))＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22×52)))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝eq\f(1－2log63＋(log63)2＋log6\f(6,3)·log6(6×3),log64)＝eq\f(1－2log63＋(log63)2＋1－(log63)2,log64)＝eq\f(2(1－log63),2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.eq\a\vs4\al()[提醒]對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及有關(guān)公式都是在式子中所有的對(duì)數(shù)符號(hào)有意義的前提下才成立的，不能出現(xiàn)log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的錯(cuò)誤．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(師生共研)(1)若函數(shù)y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()(2)若方程4x＝logax在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________．【解析】(1)由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}，所以a>1，則y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B．(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a>1時(shí)不滿足條件，當(dāng)0<a<1時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的圖象，可知，只需兩圖象在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上有交點(diǎn)即可，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2≥logaeq\f(1,2)，則a≤eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).【答案】(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))eq\a\vs4\al()對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．1．已知函數(shù)y＝ax＋b的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)＝loga(－x＋b)的圖象是()解析：選D．由題意知0<a<1，－1<b<0，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)＝loga(－x＋b)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因此排除選項(xiàng)B，C．因?yàn)椋瓁＋b>0，所以x<b，故排除A，選D．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：?jiǎn)栴}等價(jià)于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知a>1.答案：(1，＋∞)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)角度一比較對(duì)數(shù)值的大小(2020·高考全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，則()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b【解析】因?yàn)?3<32，所以2<3eq\s\up6(\f(2,3))，所以log32<log33eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\f(2,3)，所以a<c.因?yàn)?3>52，所以3>5eq\s\up6(\f(2,3))，所以log53>log55eq\s\up6(\f(2,3))＝eq\f(2,3)，所以b>c，所以a<c<b，故選A．【答案】Aeq\a\vs4\al()比較對(duì)數(shù)值的大小的方法角度二解對(duì)數(shù)不等式、方程(1)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解為_(kāi)_______．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do9(\f(1,2))(－x)，x<0，))若f(a)<f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【解析】(1)原方程變形為log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±eq\r(5)，又x>1，所以x＝eq\r(5).(2)由f(a)<f(－a)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a<log\s\do9(\f(1,2))a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,log2(－a)>log\s\do9(\f(1,2))(－a)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a<－log2a))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,log2(－a)>－log2(－a)，))解得0<a<1或a<－1.【答案】(1)eq\r(5)(2)(－∞，－1)∪(0，1)eq\a\vs4\al()解對(duì)數(shù)方程、不等式的方法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況討論；(2)形如logax>b的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式．角度三對(duì)數(shù)型函數(shù)的綜合問(wèn)題已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)．(1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解】(1)因?yàn)閍>0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，x∈[0，2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f(x)恒有意義，即x∈[0，2]時(shí)，3－ax>0恒成立．所以3－2a>0.所以a<eq\f(3,2).又a>0且a≠1，所以a∈(0，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)t(x)＝3－ax，因?yàn)閍>0，所以函數(shù)t(x)為減函數(shù)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，所以y＝logat為增函數(shù)，所以a>1，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，t(x)最小值為3－2a，f(x)最大值為f(1)＝loga(3－a)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga(3－a)＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.eq\a\vs4\al()利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的．另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用．1．已知函數(shù)f(x)＝log2(1＋2－x)，則函數(shù)f(x)的值域是()A．[0，2) B．(0，＋∞)C．(0，2) D．[0，＋∞)解析：選B．f(x)＝log2(1＋2－x)，因?yàn)?＋2－x>1，所以log2(1＋2－x)>0，所以函數(shù)f(x)的值域是(0，＋∞)，故選B．2．已知函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)________f(a＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因?yàn)閒(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a>1，所以a＋1>2.因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)<f(a＋1)．答案：<3．已知a>0，若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x)在[3，4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：要使f(x)＝log3(a