11.4.1直線與平面垂直(2)本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修四（人教B版）第十一章《11.4.1直線與平面垂直(2)》，本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容為直線與平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所稱的角、直線與平面垂直的綜合的應(yīng)用。引導(dǎo)學(xué)生從生活中的實(shí)例出發(fā)，通過觀察、分析歸納、推理論證等過程。獲得線面角的概念及直線與垂直的性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握線面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用．B.掌握直線與平面所成角的定義C.理解三垂線定理并能靈活應(yīng)用。D.靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理處理空間垂直問題．1.數(shù)學(xué)抽象：直線與平面垂直的判定定理2.邏輯推理：直線與直線與平面垂直判定定理的證明3.直觀想象：異面直線所成的角4.數(shù)學(xué)建模：常見的直線與平面垂直的證明方法1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握線面垂直的性質(zhì)定理；直線與平面所成角的定義;2.教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理處理空間垂直問題.多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)一、溫故知新1．直線與平面垂直的定義文字語言圖形語言符號(hào)語言如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足l⊥α?mα，l⊥m.3.直線與平面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號(hào)語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m，,l⊥n，,m?α，,n?α，,m∩n≠))?l⊥α嘗試與發(fā)現(xiàn)1：直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)文字?jǐn)⑹觯喝绻麅蓷l平行直線中，有一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．(2)圖形語言：(3)符號(hào)表示：如果l∥m，l⊥α，則m⊥α.如果直線a垂直于一個(gè)平面α，直b與直線a平行，那么直線b與平面α是否垂直？利用合適的實(shí)物演示，猜測(cè)結(jié)果并說明理由證明：要證明這個(gè)結(jié)論，只要證明且時(shí)，能夠推出即可,事實(shí)上，設(shè)直線為平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則由可知，又因?yàn)?，根?jù)空間中兩條直線互相垂直的定義知：所以根據(jù)線面垂直的判定定理得(3)符號(hào)表示：如果l∥m，l⊥α，則m⊥α.性質(zhì)定理2(1)文字?jǐn)⑹觯喝绻麅蓷l直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.(2)圖形語言：(3)符號(hào)表示：如果l⊥α，m⊥α，則l∥m.如果兩條直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線具有怎樣的位置關(guān)系？利用合適的實(shí)物演示,猜測(cè)結(jié)果并說明理由.(3)符號(hào)表示：如果l⊥α，m⊥α，則l∥m.證明：如圖所示，，設(shè)假設(shè)直線不與直線平行，則過點(diǎn)O可作直線與平行，由線面垂直得性質(zhì)定理可知。因?yàn)?，所以與能確定一個(gè)平面，記為，設(shè),由可知這樣一來，在平面內(nèi)，過點(diǎn)O有兩條不同得直線都與直線a垂直，這是不可能得。因此假設(shè)不成立，即上述證明過程也說明，過空間中一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知平面垂直。1．思考辨析(1)垂直于同一條直線的兩直線平行．()(2)垂直于同一條直線的兩直線垂直．()(3)垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行．()(4)垂直于同一條直線的一條直線和平面平行．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線l⊥平面A1B1C1D1(l與棱不重合)，則()A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B與l異面 D．B1B與l相交答案：B因?yàn)锽1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，則l∥B1B．例1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC．求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．[分析]欲證MN∥AD1，只需證出MN，AD1垂直于同一個(gè)平面即可，由題目中的條件可知，只需證出AD1⊥平面A1DC；欲證M為AB的中點(diǎn)，只需證出AM＝AB＝DC＝ON即可．證明(1)∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴AD1⊥A1D．又∵CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)設(shè)AD1∩A1D＝O，連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC．∴ONeq\f(1,2)CDeq\f(1,2)AB，∴ON∥AM.又∵M(jìn)N∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM.∵ON＝eq\f(1,2)AB，∴AM＝eq\f(1,2)AB，∴M是AB的中點(diǎn)．直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．跟蹤訓(xùn)練1.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求證:EF∥AA1.證明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又∵EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.2：直線與平面所成角斜拉橋又稱斜張橋,是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁,是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來的一種結(jié)構(gòu)體系.其可看作是拉索代替支墩的多跨彈性支承連續(xù)梁.其可使梁體內(nèi)彎矩減小,降低建筑高度,減輕了結(jié)構(gòu)重量,節(jié)省了材料.斜拉橋由索塔、主梁、斜拉索組成.(1)圖中拉索所在直線與橋面都是相交的關(guān)系,其傾斜程度相同嗎?提示:不同.2)能用角來表示直線與平面相交時(shí)不同的傾斜程度嗎?提示:能.(3)直線與平面所成的角是空間角,能和異面直線所成角一樣把空間角轉(zhuǎn)化為平面角嗎?提示:能.直線與平面所成的角(1)斜線：與平面α，但不和平面α，圖中．(2)斜足：斜線和平面的，圖中．(3)射影：過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引，過和______的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為.相交；垂直；直線PA；交點(diǎn)；點(diǎn)A；斜足；直線；AO垂線；垂足；(4)直線與平面所成的角：①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角．②規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是．(5)取值范圍：.0°≤θ≤90°；直角；0°的角1．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°A[由題意知，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，BO＝eq\f(1,2)AB，所以∠ABO＝60°.]2.如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于.

解析:因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB,所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直線PB與平面ABC所成的角等于45°.答案:45°1．求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．例2.如圖所示三棱錐中，，且，，求三棱錐的體積。分析：為了求出這個(gè)三棱錐的體積，關(guān)鍵是作出三棱錐的高，也就是找到S在底面的射影解：設(shè)S在底面的射影為O，則由，由，即I為的外心，又因?yàn)槭侵苯侨切危設(shè)是線段AC的中點(diǎn)因?yàn)樗?，又因?yàn)槭侵苯侨切危瑥亩虼怂篌w積為：點(diǎn)到平面的距離利用線面垂直，可以找出點(diǎn)到平面的距離，從而求出一般幾何體的高，進(jìn)而得到幾何體的體積等.另外，因?yàn)橹本€與平面平行時(shí)直線與平面的距離，以及兩平行平面之間的距離，都是通過點(diǎn)到平面的距離來定義，所以我們也可以利用點(diǎn)到平面的距離來求出直線與平面的距離，以及兩平行平面之間的距離.1.如圖所示,已知P為△ABC外一點(diǎn),PA,PB,PC兩兩垂直,PA=PB=PC=a,求點(diǎn)P到平面ABC的距離.證明:過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,連接AO,BO,CO,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.因?yàn)镻A=PB=PC=a, 所以△PAO≌△PBO≌△PCO.所以O(shè)A=OB=OC,所以O(shè)為△ABC的外心.因?yàn)镻A,PB,PC兩兩垂直,所以AB=BC=CA=2a,所以△ABC為正三角形,所以O(shè)A=33AB=63所以PO=PA所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為33三垂線定理例4.如圖所示，已知AB是平面的一條垂線，AC是平面的一條斜線，，求證：證明：因?yàn)?，所以又因?yàn)榍遥悦鍭BC而且面ABC，所以例4的結(jié)果可以簡(jiǎn)述為“平面內(nèi)垂直于射影的直線也垂直于斜線”三垂線定理(1)平面內(nèi)垂直于射影的直線也垂直于斜線；平面內(nèi)垂直于斜線的直線也垂直于射影．(2)圖形語言：(3)已知AB⊥α，AC是平面α的一條斜線，l?α，①若l⊥BC，則l⊥AC；②若l⊥AC，則l⊥BC．通過對(duì)直線與平面垂直及其判定定理的回顧，引出直線與平面垂直的性質(zhì)定理。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)。由生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷直觀想象，分析概括，獲得線面角的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過定理思辨，提升學(xué)生對(duì)定理的準(zhǔn)確理解和應(yīng)用能力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過典例分析，提高學(xué)生對(duì)線面垂直證明的應(yīng)用能力，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.下列說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()①若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l⊥α；②若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α必相交；③過平面α外一點(diǎn)有且只有一條直線和平面α垂直；④過直線a外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和直線a垂直．A．0B．1C．2D．3C[(1)①錯(cuò)誤．若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l與α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能；②錯(cuò)誤．若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能；③④正確．2.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，面對(duì)角線AC與體對(duì)角線D1B的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交D．以上都有可能答案：B因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，AC⊥BD，所以AC⊥D1B．3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中AB1與平面ADD1A1所成的角等于________，AB1與平面DCC1D1所成的角等于45°0°[∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為4.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取對(duì)角線BD上一點(diǎn)E,連接PE,PE⊥DE,則PE的長(zhǎng)為.

解析:如圖所示,連接AE.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又因?yàn)锽D⊥PE,PA∩PE=P,所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.所以AE=3×45=125.所以在Rt由PA=1,AE=125,得PE=135.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn).(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;(2)求證:AE⊥平面PCD.(1)解:在四棱錐P-ABCD中,因?yàn)镻A⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD內(nèi)的射影為PA,即∠APB為PB和平面PAD所成的角.在Rt△PAB中,AB=PA,故∠APB=45°.(2)證明:在四棱錐P-ABCD中,因?yàn)镻A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以CD⊥PA.因?yàn)镃D⊥AC,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC,所以AE⊥CD.由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以AE⊥PC.又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)1．線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與