2019-2020學(xué)年安徽省六安中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【詳解】,對應(yīng)的點為,在第四象限，故選D.2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】分析:由復(fù)數(shù)的模長公式計算出等式右邊，再把復(fù)數(shù)變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算計算出z，進而得到虛部．詳解：由題意得，所以z的虛部為.故本題答案為B點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的模長公式以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．3．命題“，使”的否定為()A． B．C．， D．，【答案】B【解析】的否定為.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，知，使的否定為.故選：B【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，做此類題要注意兩個方面的變換：1.量詞，2.結(jié)論.是一道容易題.4．以下說法中正確的是（）①，；②若為真命題，則為真命題：③是的充分不必要條件;④“若，則”的逆否命題為真命題.A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【解析】①是任意性命題的判斷，可根據(jù)函數(shù)圖象或配方來判斷；②為真命題則至少一個為真，為真命題則同時為真；③根據(jù)范圍的大小進行充要條件的判斷；④可判斷原命題的真假，原命題與逆否命題真假值相同.【詳解】①函數(shù)開口向上，，因此，，正確；②為真命題，則其中一個為假命題或都是真命題，因此不一定為真命題，錯誤；③由得或，因此，但即是的充分不必要條件．正確；④，原命題為假命題，因此它的逆否命題為假命題．錯誤．故選：B.【點睛】本題考查了任意性命題的判斷，“且”和“或”的理解，充要條件的判斷，原命題與逆否命題真假值的關(guān)系.5．函數(shù)在點處的切線方程為()A． B．C． D．【答案】C【解析】求f(x)導(dǎo)數(shù)，可得切線斜率，利用點斜式即可得到切線方程.【詳解】，∴，∴，又，切線方程是：.故選C.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某一點處的切線方程；步驟一般為：一，對函數(shù)求導(dǎo)，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標(biāo)；三，利用點斜式寫出直線方程.6．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A．0.34 B．0.48 C．0.68 D．0.84【答案】C【解析】根據(jù)正態(tài)分布，即可得到結(jié)論.【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以，所以．故選：C.【點睛】本題考查正態(tài)分布，屬于基礎(chǔ)題．7．設(shè)，其中，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)二項分布概率公式化簡求得，再根據(jù)二項分布概率公式求結(jié)果.【詳解】故選：D【點睛】本題考查二項分布概率公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．把15人分成前、中、后三排,每排5人,則共有不同的排法種數(shù)為()A． B． C． D．【答案】C【解析】多排問題單排考慮，全排列即可．【詳解】把座位從1到15標(biāo)上號，問題就轉(zhuǎn)化為15人坐在15個座位上，共有種．【點睛】一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究．9．的展開式中x的系數(shù)等于（）A．3 B．4 C． D．【答案】C【解析】展開式中含項的系數(shù)，即為展開式中含項的系數(shù)，利用展開式的通項即可求解.【詳解】其中的展開式中含的項是，的展開式中沒有含的項.故選：C.【點睛】本題考查二項展開式定理，熟記展開式通項即可，屬于基礎(chǔ)題.10．小明的媽媽為小明煮了個粽子，其中兩個臘肉餡三個豆沙餡，小明隨機取出兩個，事件，事件，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】由題意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故選B．11．如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰區(qū)域顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）A．360 B．400 C．420 D．480【答案】C【解析】根據(jù)題意，分4步依次分析區(qū)域A、B、C、D、E的涂色方法數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算答案.【詳解】根據(jù)題意，5個區(qū)域依次為A、B、C、D、E,如圖，分4步進行分析：①對于區(qū)域A，有5種顏色可選，②對于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選;③對于區(qū)域C，與A、B區(qū)域相鄰,有3種顏色可選;④,對于區(qū)域D、E,若D與B顏色相同，E區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，E區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、E有種選擇,則不同的涂色方案有種;故選：C【點睛】本題主要考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題，12．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當(dāng)時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).二、填空題13．已知的分布列01且，，則______.【答案】4【解析】求出，根據(jù)可得與的關(guān)系，即可求解.【詳解】,且，，即，解得，故答案為：4【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的期望，期望的性質(zhì)，考查了基本運算的能力，屬于容易題．14．函數(shù)在上的單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：因為，，所以，因為函數(shù)在上的單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為在上單調(diào)遞減，所以所以，即故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.15．已知命題p：?x>0，2ax－lnx≥0.若命題p的否定是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】首先寫出命題p的否定，之后問題等價于能成立，再構(gòu)造新函數(shù)，向最值靠攏，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的最大值，得到結(jié)果.【詳解】命題的否定是：，，所以能成立，令，則，令，得，并且可以得出在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，所以的最大值也就是極大值為，所以，故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】該題考查的是有關(guān)命題的否定，涉及到的知識點有全稱命題的否定是特稱命題，之后構(gòu)造新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得對應(yīng)函數(shù)的最大值，求得結(jié)果.16．已知能夠被15整除，其中，則__________.【答案】14【解析】根據(jù)題意，利用二項式定理可得，要使能夠被15整除，只需能被15整除即可，可得答案.【詳解】解：由題可知，所以，而75能被15整除，要使能夠被15整除，只需能被15整除即可，所以，解得：.【點睛】本題考查二項式展開式的應(yīng)用，以及二項式定理的整除問題，考查學(xué)生的化簡運算能力.三、解答題17．已知：，：，其中.（1）若且為真，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由為真，可知都為真，進而求出命題，可得到答案；（2）先求出命題，由是的充分不必要條件，可得是的充分不必要條件，進而可列出不等式，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得，所以：，又，且，解得，所以：.（1）當(dāng)時，：，因為為真，所以都為真，所以.（2）因為是的充分不必要條件，所以是的充分不必要條件，因為：，：，所以，解得.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法，考查利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)的范圍，考查充分不必要條件的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力，屬于中檔題.18．已知圓的方程，從0，3，4，5，6，7，8，9，10這九個數(shù)中選出3個不同的數(shù)，分別作圓心的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和圓的半徑.問：（1）經(jīng)過原點的圓有多少個？（2）圓心在直線上的圓有多少個？【答案】（1）4；（2）38.【解析】（1）由題意可得，a，b，r只有3，4，5與6，8，10兩組，再根據(jù)排列知識可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得，a、b有三組：0，10；3，7；4，6.再根據(jù)排列知識可得結(jié)果【詳解】（1）圓經(jīng)過原點，a、b、r滿足，滿足該條件的a，b，r共有3，4，5與6，8，10兩組，考慮a、b的順序，有種情況，所以符合題意的圓有個.（2）圓心在直線上，即滿足，則滿足條件的a、b有三組：0，10；3，7；4，6.當(dāng)a、b取10、0時，r有7種情況，當(dāng)a、b取3、7；4、6時，r不可取0，有6種情況，考慮a、b的順序，有種情況，所以滿足題意的圓共有個.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了排列的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19．請你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，是邊長為的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得、、、四個點重合于圖中的點，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，、在上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè).（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積最大，試問應(yīng)取何值？（2）某廠商要求包裝盒的容積最大，試問應(yīng)取何值？【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)包裝盒的底面邊長為，高為，將、用表示，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對應(yīng)的的值；（2）求得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法可求得的最大值及其對應(yīng)的值.【詳解】（1）設(shè)包裝盒的底面邊長為，高為，則由題意可得，，，其中，所以，因此，當(dāng)時，取得最大值；（2）根據(jù)題意，由（1）有，，由由得，（舍）或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是最大值.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.20．某大學(xué)宣傳部組織了這樣一個游戲項目：甲箱子里面有3個紅球，2個白球，乙箱子里面有1個紅球，2個白球，這些球除了顏色以外，完全相同.每次游戲需要從這兩個箱子里面各隨機摸出兩個球.（1）設(shè)在一次游戲中，摸出紅球的個數(shù)為，求分布列；（2）若在一次游戲中，摸出的紅球不少于2個，則獲獎.求一次游戲中，獲獎的概率.【答案】（1）分布列見詳解；（2）.【解析】(1)由題意知摸出紅球的個數(shù)可能有0，1，2，3，按條件概率并結(jié)合分步計數(shù)方法可求出摸出紅球的各種可能性的概率，即可得到分布列；(2)結(jié)合(1)中的分布列，可求得摸出的紅球不少于2個的概率【詳解】（1）可以為0，1，2，3，，，，0123（2）由題意知：一次游戲中獲獎的概率為.【點睛】本題考查了概率，利用條件概率及分步計數(shù)方法求各種可能性的概率，得到分布列；利用分布列計算概率21．為了研究某學(xué)科成績是否與學(xué)生性別有關(guān)，采用分層抽樣的方法，從高二年級抽取了名男生和名女生的該學(xué)科成績，得到如圖所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖，規(guī)定分以上為優(yōu)分（含分）．(1)（i）請根據(jù)圖示，將2×2列聯(lián)表補充完整；優(yōu)分非優(yōu)分總計男生女生總計50（ii）據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“學(xué)科成績與性別有關(guān)”？(2)將頻率視作概率，從高二年級該學(xué)科成績中任意抽取名學(xué)生的成績，求成績?yōu)閮?yōu)分人數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式：．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）（i）列聯(lián)表見解析；（ii）能在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為該學(xué)科成績與性別有關(guān)；（2）分布列見解析；【解析】(1)（i）本題可通過題意得出男生與女生得優(yōu)分與非優(yōu)分的人數(shù)，然后填表即可；（ii）可先通過列聯(lián)表計算出的觀測值，然后與表中數(shù)據(jù)對比即可得出結(jié)果；(2)可通過題意得出優(yōu)分人數(shù)X服從二項分布，根據(jù)即可繪出成績?yōu)閮?yōu)分人數(shù)的分布列，然后根據(jù)二項分布即可求出.【詳解】(1)（i）根據(jù)圖示，將列聯(lián)表補充完整如下：優(yōu)分非優(yōu)分總計男生92130女生11920總計203050（ii）的觀測值：，所以能在犯錯誤概率不超過10%的前提下認(rèn)為該學(xué)科成績與性別有關(guān)；(2)由于有較大的把握認(rèn)為該學(xué)科成績與性別有關(guān)，因此可將男女生成績的優(yōu)分頻率視作概率；從高二年級中任意抽取3名學(xué)生的該學(xué)科成績中，優(yōu)分人數(shù)服從二項分布，，，當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；故的分布列為：X0123p數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查列聯(lián)表的填寫、獨立性檢驗、分布列以及二項分布的數(shù)學(xué)期望，考查基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用，考查推理能力與計算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性與綜合性，是中檔題.22．設(shè)函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若函數(shù)沒有零點，求