第2課時(shí)雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一直線和雙曲線的位置關(guān)系【典例】1.過雙曲線(a>0)的右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為1時(shí),直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為2時(shí),直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么a的取值范圍為 ()A B. C. D.2.雙曲線,過點(diǎn)P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),求直線l的方程.【思維·引】1.確定雙曲線的漸近線斜率1<<2,即可求得a的取值范圍.2.雙曲線的漸近線方程為y=±2x,結(jié)合雙曲線的性質(zhì)與圖形可得過點(diǎn)(1,1)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.【解析】1.選B.由題意可得雙曲線的漸近線斜率1<<2,1<<2,解得1<a<.2.由題意可得:雙曲線的漸近線方程為y=±2x.(1)直線x=1與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(2)過點(diǎn)P(1,1)且平行于漸近線y=±2x時(shí),直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),方程為y-1=±2(x-1),即2x-y-1=0或2x+y-3=0.(3)設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為y-1=k(x-1),與雙曲線聯(lián)立,利用Δ=0可得k=,方程為.故直線l的方程為x=1或2x-y-1=0或2x+y-3=0或.【內(nèi)化·悟】直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),直線和雙曲線一定是相切嗎?提示:不一定.雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的題目,應(yīng)分兩種情況討論:雙曲線與直線相切或直線與雙曲線的漸近線平行.【類題·通】1.直線與雙曲線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+m(m≠0),①雙曲線C:(a>0,b>0),②把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.(1)當(dāng)b2-a2k2=0,即k=±時(shí),直線l與雙曲線C的漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點(diǎn).(2)當(dāng)b2-a2k2≠0,即k≠±時(shí),Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)稱直線與雙曲線相交;Δ=0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)稱直線與雙曲線相切;Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點(diǎn),此時(shí)稱直線與雙曲線相離.2.數(shù)形結(jié)合思想在判斷直線與雙曲線位置關(guān)系中的應(yīng)用(1)直線過定點(diǎn)時(shí),根據(jù)定點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線的斜率與直線的斜率的大小關(guān)系確定其位置關(guān)系.(2)直線斜率一定時(shí),通過平行移動(dòng)直線,比較直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系來確定其位置關(guān)系.【習(xí)練·破】直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1.(1)假設(shè)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)假設(shè)直線分別與雙曲線的兩支各有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】由題意,直線l:y=kx+1與雙曲線C:2x2-y2=1,可得2x2-(kx+1)2=1,整理得(2-k2)x2-2kx-2=0.(1)只有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)2-k2=0,k=±時(shí),符合條件;當(dāng)2-k2≠0時(shí),由Δ=16-4k2=0,解得k=±2.(2)交于異支兩點(diǎn),Δ>0且<0,解得-<k<.【加練·固】雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),試確定滿足以下條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn);(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)直線l與雙曲線沒有公共點(diǎn).【解析】聯(lián)立消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)當(dāng)1-k2≠0,即k≠±1時(shí),Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4×(4-3k2).(1)由得-<k<且k≠±1,此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,即直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).(2)由得k=±,此時(shí)方程(*)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解,即直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),當(dāng)1-k2=0,即k=±1時(shí),直線l與雙曲線的漸近線平行,方程(*)化為2x=5,故方程(*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即直線與雙曲線相交,有且只有一個(gè)公共點(diǎn).故當(dāng)k=±或±1時(shí),直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)由得k<-或k>,此時(shí)方程(*)無實(shí)數(shù)解,即直線與雙曲線無公共點(diǎn).類型二弦長和中點(diǎn)弦問題【典例】1.如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0),一條漸近線方程為y=x,那么經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦的長度為 ()2.設(shè)A,B為雙曲線上的兩點(diǎn),AB中點(diǎn)為M(1,2),求(1)直線AB的方程;(2)△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).【思維·引】1.依題意可求得c,根據(jù)和漸近線方程,聯(lián)立求得a和b,進(jìn)而根據(jù)通徑求得答案.2.(1)方法一:利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直線AB的方程;方法二:由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,聯(lián)立求得直線的斜率.(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離、兩點(diǎn)間的距離公式和三角形的面積公式即可求出三角形的面積.【解析】1.選A.如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-3,0),F2(3,0),一條漸近線方程為,所以解得,a=,b=.所以經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦的長度為:.2.(1)方法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么兩式相減可得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),因?yàn)锳B中點(diǎn)為M(1,2),所以x1+x2=2,y1+y2=4,所以2(x1-x2)=×4(y1-y2),所以kAB==1,所以直線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0.方法二:依題意,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)+2,代入,整理,得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k)2-2=0①,那么x1,x2是方程①的兩個(gè)不同的根,所以2-k2≠0,且x1+x2=,由M(1,2)是AB的中點(diǎn),得(x1+x2)=1,所以k(2-k)=2-k2,解得k=1,所以直線AB的方程為x-y+1=0.(2)由(1)可知直線AB的方程為y=x+1,代入,整理得x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,所以y1=0,y2=4,所以|AB|===,點(diǎn)O到直線AB的距離d=,所以S△OAB=·|AB|·d=××=2.【內(nèi)化·悟】求解與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題的常用方法是什么?提示:點(diǎn)差法,用根與系數(shù)的關(guān)系解決.另外,要注意靈活轉(zhuǎn)化,如垂直、相等等問題也可以轉(zhuǎn)化成中點(diǎn)、弦長等問題解決.【類題·通】求弦長的兩種方法(1)距離公式法:當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí),可直接求出點(diǎn)坐標(biāo),再利用兩點(diǎn)間距離公式求弦長.(2)弦長公式法:當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)不易求時(shí),可利用弦長公式求解,即假設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0)與雙曲線C:相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么|AB|=【習(xí)練·破】雙曲線,過點(diǎn)M(1,1)作一條直線l,與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是 ()A.直線l存在,其方程為2x-y-1=0B.直線l存在,其方程為x-2y+1=0C.直線l存在,其方程為2x+y-3=0D.直線l不存在【解答】選D.設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1或x=1,(1)當(dāng)k存在時(shí)有得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0①.當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn),那么必有:2-k2≠0且Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,又方程①的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以又M(1,1)為線段AB的中點(diǎn),所以所以k=2,使2-k2≠0但使Δ<0,因此當(dāng)k=2時(shí),方程①無實(shí)數(shù)解.故過點(diǎn)M(1,1)與雙曲線交于兩點(diǎn)A,B且M為線段AB中點(diǎn)的直線不存在.(2)當(dāng)x=1時(shí),直線經(jīng)過點(diǎn)M但不滿足條件,綜上,符合條件的直線l不存在.【加練·固】過點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2-4y2=4相交于A,B兩點(diǎn),且P是線段AB的中點(diǎn),那么直線AB的方程為.

【解析】設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),那么 ①, ②,①-②得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,因?yàn)镻是線段AB的中點(diǎn),所以x1+x2=16,y1+y2=2,所以.所以直線AB的斜率為2,所以直線AB的方程為2x-y-15=0.答案:2x-y-15=0類型三雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例】1.設(shè)F1,F2是雙曲線C:(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn),A為左頂點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn),|F1F2|=10,PF2⊥F1F2,|PF2|=,O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么·= ()2.雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)(3,-1),點(diǎn)M(,m)在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程;(2)求·的值;(3)求△F1MF2的面積.【思維·引】1.利用雙曲線的性質(zhì)求出A,P的坐標(biāo),再求向量的數(shù)量積.2.(1)設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ,將點(diǎn)(3,-1)代入求出參數(shù)λ的值,從而求出雙曲線的方程.(2)先求出·的解析式,再把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線,便可得出·的值.(3)求出三角形的高,即|m|的值,可得其面積.【解析】1.選1,F2是雙曲線C:(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn),A為左頂點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線C右支上一點(diǎn),|F1F2|=10,PF2⊥F1F2,|PF2|=,可得c=5,,a2+b2=c2,解得a=3,b=4,那么A(-3,0),P,那么·=-15.2.(1)因?yàn)閑=,所以可設(shè)雙曲線的方程為x2-y2=λ.因?yàn)檫^點(diǎn)(3,-1),所以9-1=λ,即λ=8,所以雙曲線的方程為x2-y2=8.(2)因?yàn)镕1(-4,0),F2(4,0),=(-4-,-m),=(4-,-m),所以·=(-4-)×(4-)+m2=2+m2,因?yàn)镸點(diǎn)在雙曲線上,所以18-m2=8,即m2=10,所以·=12.(3)△F1MF2的底|F1F2|=8,由(2)知m=±.所以△F1MF2的高h(yuǎn)=|m|=,所以.【內(nèi)化·悟】在直線和雙曲線的綜合問題中經(jīng)常遇到最值的問題,如何求涉及的最值問題呢?提示:可以利用雙曲線的簡單性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求量的不等式求得最值;可以利用根本不等式求最值;可以利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值.【類題·通】與雙曲線有關(guān)的綜合問題(1)當(dāng)與向量知識結(jié)合時(shí),注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將向量間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問題,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,將所求問題與條件建立聯(lián)系求解.(2)當(dāng)與直線知識綜合時(shí),常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系求解.【習(xí)練·破】1.過雙曲線的右支上一點(diǎn)P,分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點(diǎn)分別為M,N,那么|PM|2-|PN|2的最小值為 ()【解析】選B.由題可知,|PM|2-|PN|2=(|PC1|2-4)-(|PC2|2-1),因此|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|-|PC2|)(|PC1|+|PC2|)-3=2(|PC1|+|PC2|)-3≥2|C1C2|-3=13.2.雙曲線C:(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑作圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)P,且|PA|=|PF|,那么雙曲線的離心率e=.

【解析】由題可知A(-a,0),F(c,0),雙曲線的漸近線的方程為y=±x,可取y=x,以O(shè)F為直徑的圓的方程為聯(lián)立可得由|PA|=|PF|,可得即c2-ac=2a2,e2-e-2=0,所以(e-2)(e+1)=0,解得e=2或e=-1(舍去),故雙曲線的離心率e=2.答案:2課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.雙曲線C:的離心率大于,那么雙曲線C的虛軸長的取值范圍為()A.(2,+∞) B.(1,)C.(2,+∞) D.(1,2)【解析】選A.雙曲線C:的離心率大于,可得解得b>,所以雙曲線C的虛軸長的取值范圍為(2,+∞).2.雙曲線(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,那么雙曲線的