人教A版（2022）必修一2.2基本不等式一、單選題1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x>y>0，且x+y=1，則2x+3yA.

103

B.

32+2

C.

2.若正數(shù)a,b滿足a+b=6，則ab的最大值為（

）A.

5

B.

6

C.

7

D.

93.設(shè)x、y、z>0，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，則A.

都小于2

B.

至少有一個(gè)不大于2

C.

都大于2

D.

至少有一個(gè)不小于24.已知x>0,y>0，2x+3y=1，則4xA.

8

B.

6

C.

22

D.

5.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足1x+4y=1，且不等式xA.

(?1,4)

B.

(?∞,?1)∪(4,+∞)

C.

(?4,1)

D.

(?∞,0)∪(3,+∞)6.已知不等式(x+y)(1A.

8

B.

6

C.

4

D.

27.如果正數(shù)a，b，c，d滿足a+b=cd=4，那么（

）A.

ab≤c+d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一

B.

ab≥c+d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值唯一

C.

ab≤c+d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一

D.

ab≥c+d，且等號(hào)成立時(shí)a，b，c，d的取值不唯一8.已知實(shí)數(shù)a>0,b>1滿足a+b＝5，則2aA.

3+224

B.

3+424二、多選題9.若a>0,b>0,a+b=2，則下列不等式,其中正確的有（

）A.

ab≤1

B.

a+b≤2

C.

10.下列說法正確的是（

）.A.

若x,y>0，x+y=2，則2x+2y的最大值為4

B.

若x<12，則函數(shù)y=2x+12x?1的最大值為-1

C.

若x,y>0，11.設(shè)a,b∈R，則下列不等式一定成立的是（

）A.

a2+b2≥2ab

B.

a+112.已知正數(shù)a，b滿足a+b=4，ab的最大值為t，不等式x2A.

t=2

B.

t=4

C.

M={x|?4<x<1}

D.

M={x|?1<x<4}三、填空題13.已知a>0,?b>0，且ab=1，則14.已知5x2y15.若正數(shù)a,b滿足a+b=1，則9a16.己知x>0，y>0，且2x+117.若正數(shù)a，b滿足ab=2a+2b+5，則ab的最小值是________．18.已知x>0，y>0，x+3y+2xy=36，則x+3y的最小值為________．19.已知a>0,b>0,c>0，若點(diǎn)P(a,b)在直線x+y+c=2上，則4a+b20.已知x>0，y>0，且2x+8y?xy=0，若不等式a≤x+y恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是________.四、解答題21.已知x>1，y>1，且x+y=4，求證：y222.已知x>0，y>0，x+y=1，（1）求x+（2）求1x23.已知a,b,c都是正數(shù)，求證：（1）a2（2）12a24.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=4.（1）求1a（2）證明：(a+125.

（1）已知x<54，求函數(shù)（2）已知x，y∈R＊(正實(shí)數(shù)集)，且1x（3）已知a>0，b>0，且a2+b

答案解析部分一、單選題1.【答案】B【解析】2x+3y≥1當(dāng)且僅當(dāng)2(x?y)x+3y故答案為：B【分析】利用1的代換，結(jié)合基本不等式求最值.2.【答案】D【解析】依題意ab≤(a+b2)2故答案為：D【分析】利用基本不等式求得ab的最大值.3.【答案】D【解析】由基本不等式得a+b+c=(x+1y)+(y+當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=1時(shí)，等號(hào)成立，因此，若a、b、c三數(shù)都小于2，則a+b+c<6與a+b+c≥6矛盾，即a、b、c三數(shù)至少有一個(gè)不小于2，故選D.【分析】利用基本不等式計(jì)算出a+b+c≥6，于此可得出結(jié)論.4.【答案】C【解析】∵x>0，y>0，2x+3y=1，∴4x+8y=22x+2

故答案為：C【分析】結(jié)合題中的條件利用基本不等式求解4x5.【答案】B【解析】正實(shí)數(shù)x，y滿足1x+4當(dāng)且僅當(dāng)y=4x=8，x+y由xx+y4<m2?3m有解，可得故答案為：B．【分析】不等式x+y4<m26.【答案】C【解析】∵(x+y)(1若xy<0，則yx<0，從而若xy>0，則yx>0，①當(dāng)a<0時(shí)，axy②當(dāng)a=0時(shí)，axy+y③當(dāng)a>0時(shí)，(x+y)(1當(dāng)且僅當(dāng)y=a所以，(a+1)2≥9，解得a≥4，因此，實(shí)數(shù)故答案為：C.【分析】由題意可知，[(x+y)(1x+7.【答案】A【解析】∵4=a+b≥2ab∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2等號(hào)成立，∵4=cd≤(c+d2∴當(dāng)且僅當(dāng)c=d=2等號(hào)成立，∴ab≤c+d且a=b=c=d=2等號(hào)成立故答案為：A【分析】利用基本不等式及等號(hào)成立的條件即可得到.8.【答案】A【解析】解：因?yàn)閍>0,b>1滿足a+b＝5，則2=1當(dāng)且僅當(dāng)2(b?1)a故選：A．【分析】所求2a+1b?1的分母特征，利用a+b＝5變形構(gòu)造二、多選題9.【答案】A,C,D【解析】由題：a>0,b>0,a+b=2由基本不等式可得：ab≤(當(dāng)a=b=1時(shí)，a+a2+b即a2因?yàn)?<ab≤(a+b即1a故答案為：ACD【分析】依據(jù)基本不等式相關(guān)知識(shí)分別檢驗(yàn)證明或舉出反例即可的出選項(xiàng).10.【答案】B,D【解析】對于A，取x=32,y=對于B，y=2x+12x?1=?(1?2x+對于C，取x=2,y=13滿足等式，此時(shí)對于D，y=≥24+5=9，當(dāng)故答案為：BD【分析】依次判斷每個(gè)選項(xiàng)，通過特殊值排除AC和利用均值不等式計(jì)算得到答案.11.【答案】A,C,D【解析】A.當(dāng)a,b∈R時(shí)，a2B.當(dāng)a>0時(shí)，a+1a≥2，等號(hào)成立的條件是a=1，當(dāng)a<0時(shí)，a+C.當(dāng)b∈R時(shí)，b2+1?2b=(b?1)2D.|ba|>0,|ab|>0，所以故答案為：ACD【分析】逐一分析選項(xiàng)，驗(yàn)證基本不等式的使用是否成立.12.【答案】B,C【解析】∵正數(shù)a，b滿足a+b=4，∴ab≤(a+b2)2=4，即∵x2+3x?4<0的解集為M，∴故答案為：BC.【分析】由基本不等式ab≤(a+b2)2三、填空題13.【答案】4【解析】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴1=a+b2+結(jié)合ab=1,解得a=2?3,b=2+3故答案為：4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為a+b214.【答案】45【解析】∵5x∴y≠0且x∴x2+y2=∴x2+y故答案為：45【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得x2=1?15.【答案】16【解析】依題意(9當(dāng)且僅當(dāng)9ba=ab，即a=3故答案為：16【分析】利用基本不等式求得9a16.【答案】[?3【解析】因?yàn)?x+y=12(即x=y=32時(shí)等號(hào)成立，所以m2故答案為：[?【分析】利用“1”的替換求出2x+y的最小值92，再解不等式m17.【答案】25【解析】依題意a,b為正數(shù)，且ab=2a+2b+5≥24ab所以ab?4ab即(ab?5)(ab+1)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時(shí)等號(hào)成立.所以ab的最小值是25.故答案為：25【分析】利用基本不等式化簡已知條件，由此即可求得ab的最小值.18.【答案】12【解析】由x+3y+2xy=36得出y=36?x令t=3+2x，t>3，則x=∴y=∴x+3y=當(dāng)且僅當(dāng)75×32t=t∴x+3y的最小值為12故答案為：12【分析】利用換元法，令t=3+2x，得出x+3y=75×32t+19.【答案】2+22【解析】∵P(a,b)在x+y+c=2上，∴a+b+c=2，a+b=2?c>0，4a+b+a+b設(shè){2?c=mc=n，則4=3+2n當(dāng)m2=2n∴4即4a+b+a+bc的最小值為【分析】由P(a,b)在直線x+y+c=2上，可得a+b=2?c>0，設(shè){2?c=mc=n，則m+n=2，原式化為20.【答案】a≤18【解析】∵2x+8y?xy=0∴y=又∵x>0，y>0，∴x?8>0那么x+y=x+當(dāng)且僅當(dāng)x=12，y=6時(shí)取等號(hào)．不等式a?x+y恒成立，所以a?18．故答案為：a?18．【分析】利用消元法，消去其中一個(gè)參數(shù)后，利用基本不等式求解最小值．四、解答題21.【答案】證明：設(shè)x?1=m，y?1=n，因?yàn)閤>1，y>1，所以m>0，n>0，且m+n=x+y?2=2，∴y當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1，即x=y=2時(shí)，上述等號(hào)成立，原命題得證．【分析】設(shè)x?1=m，y?1=n，可得出m+n=2，然后利用基本不等式可證得y222.【答案】（1）解：法一：(x+y因此1+2xy≤2，∴因此x+y的最大值為2，當(dāng)且僅當(dāng)法二：∵(x∴x+y≤因此x+y的最大值為

（2）解：(1當(dāng)且僅當(dāng)yx=9xy，即因此1x【分析】（1）利用結(jié)論a2+b22≥(a+b223.【答案】（1）解：∵a>0,b>0,c>0，∴a2b+b?2同理可得，b2∴a2b+b+

（2）解：因?yàn)閍>0,b>0,c>0，所以12當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，同理可得12(1∴12即12a【分析】（1）因?yàn)閍2b+b?2a2b?b=2a，同理可得，24.【答案】（1）解：因?yàn)閍+b=4，所以1a因?yàn)閍>0，b>0，所以ba+4ab?4所以14

（2）證明：(a+1因?yàn)閍+b=4，所以1a故(a+1a)【分析】（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.25.【