2022-2023學(xué)年廣東省梅州市大埔縣廣德中學(xué)九年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．方程x2﹣4＝0的兩個(gè)根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝02．菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°，邊長(zhǎng)是5cm，則這個(gè)菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)是（）A． B．5cm C． D．3．如圖，將圖形用放大鏡放大，這種圖形的變化屬于（）A．平移 B．相似 C．旋轉(zhuǎn) D．對(duì)稱4．如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，BE的長(zhǎng)為（）A．14 B．10 C．8 D．45．如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，如果將小正方體A放到小正方體B的正上方，則它的（）A．從正面看到的形狀圖會(huì)發(fā)生改變 B．從上面看到的形狀圖會(huì)發(fā)生改變 C．從左面看到的形狀圖會(huì)發(fā)生改變 D．從三個(gè)不同方向看到的形狀圖都不會(huì)發(fā)生改變6．在水平的講臺(tái)桌上放置圓柱形筆筒和長(zhǎng)方體形粉筆盒（如圖），則它的主視圖是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象如圖所示，下列數(shù)值中，可能是k值的為（）A．﹣3 B．2 C．4 D．68．已知反比例函數(shù)y＝﹣，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)（1，2）在它的圖象上 B．其圖象分別位于第一、三象限 C．y隨x的增大而增大 D．如果點(diǎn)P（m，n）在它的圖象上，則點(diǎn)Q（n，m）也在它的圖象上9．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根為0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．10．如圖，△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，按下面四種方式剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（）A．①②③ B．②③④ C．①② D．④二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m＝．12．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為AB上任意一點(diǎn)，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，則EF的最小值是．13．甲、乙兩位同學(xué)各拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，他們拋擲的點(diǎn)數(shù)分別記為a、b，則a+b＝9的概率為．14．在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，則估計(jì)口袋中白球大約有個(gè)．15．如圖，P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．若AB＝6，AD＝8，則四邊形ABPE的周長(zhǎng)是．16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，則BF的長(zhǎng)為．17．已知關(guān)于x的方程x2+mx+5＝0的一個(gè)解是x＝1，則m＝．三、解答題：第18，19.20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．已知，求的值．19．解方程：（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0．20．如圖，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上．求證：△ABD∽△CAE．21．1896年，挪威生理學(xué)家古德貝發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就導(dǎo)致每個(gè)人在蒙上眼睛行走時(shí)，雖然主觀上沿某一方向直線前進(jìn)，但實(shí)際上走出的是一個(gè)大圓圈!這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)/米是其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差x/厘米（x＞0）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)某人兩腿邁出的步長(zhǎng)之差為0.5厘米時(shí)，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為米；（3）若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差最多是多少厘米？22．一天晚上，哥哥和弟弟拿兩根等長(zhǎng)的標(biāo)桿AB，CD直立在一盞亮著的路燈下，然后調(diào)整標(biāo)桿位置，使它們?cè)谠撀窡粝碌挠白覤E，DF恰好在一條直線上（如圖所示）．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出路燈燈泡P的位置；（2）哥哥和弟弟測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB＝CD＝1.6米，BE＝1米，DF＝2米，兩根標(biāo)桿的距離AC＝BD＝3.6米，且AC∥BD，請(qǐng)你根據(jù)以上信息計(jì)算燈泡P距離地面的高度．23．如圖，為美化環(huán)境，某校計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60米，寬為40米的長(zhǎng)方形空地上修建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設(shè)通道寬為a米．（1）用含a的式子表示花圃的面積；（2）如果通道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的，求出此時(shí)通道的寬．24．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是射線CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，點(diǎn)M、N分別為BC、AP的中點(diǎn)，連接MN交PD于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，△QPM的形狀是；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．①依題意補(bǔ)全圖2；②判斷△QPM的形狀并加以證明；（3）點(diǎn)P′于點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱，且點(diǎn)P′在線段BC上，連接AP′，若點(diǎn)Q恰好在直線AP′上，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)寫出求此時(shí)BP長(zhǎng)的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）．25．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求△PQB的面積．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．方程x2﹣4＝0的兩個(gè)根是（）A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0【分析】首先移項(xiàng)，再兩邊直接開平方即可．解：移項(xiàng)得：x2＝4，兩邊直接開平方得：x＝±2，則x1＝2，x2＝﹣2，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，解這類問題要移項(xiàng)，把所含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的左邊，把常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)等號(hào)的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．2．菱形的一個(gè)內(nèi)角是60°，邊長(zhǎng)是5cm，則這個(gè)菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)是（）A． B．5cm C． D．【分析】一個(gè)內(nèi)角是60°，則與它相鄰的角為120°，則較短對(duì)角線與兩邊組成等邊三角形．解：因?yàn)榱庑蔚乃倪呄嗟?，?dāng)一個(gè)內(nèi)角是60°，則較短對(duì)角線與兩邊組成等邊三角形．所以這個(gè)菱形的較短的對(duì)角線長(zhǎng)是5cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形四邊都相等的性質(zhì)及等邊三角形的判定，屬基礎(chǔ)題．3．如圖，將圖形用放大鏡放大，這種圖形的變化屬于（）A．平移 B．相似 C．旋轉(zhuǎn) D．對(duì)稱【分析】根據(jù)放大鏡成像的特點(diǎn)，結(jié)合各變換的特點(diǎn)即可得出答案．解：根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出．4．如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝6，BE的長(zhǎng)為（）A．14 B．10 C．8 D．4【分析】利用平行線分線段成比例定理求出CE，可得結(jié)論．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∵BC＝6，∴CE＝4，∴BE＝BC+CE＝6+4＝10．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考常考題型．5．如圖是由5個(gè)完全相同的小正方體搭成的幾何體，如果將小正方體A放到小正方體B的正上方，則它的（）A．從正面看到的形狀圖會(huì)發(fā)生改變 B．從上面看到的形狀圖會(huì)發(fā)生改變 C．從左面看到的形狀圖會(huì)發(fā)生改變 D．從三個(gè)不同方向看到的形狀圖都不會(huì)發(fā)生改變【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．解：如果將小正方體A放到小正方體B的正上方，則它的主視圖會(huì)發(fā)生改變，俯視圖和左視圖不變．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．6．在水平的講臺(tái)桌上放置圓柱形筆筒和長(zhǎng)方體形粉筆盒（如圖），則它的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．解：從正面看易得左邊有1個(gè)高的長(zhǎng)方形，右邊有一個(gè)矮的長(zhǎng)方形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三視圖的知識(shí)，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，難度適中．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象如圖所示，下列數(shù)值中，可能是k值的為（）A．﹣3 B．2 C．4 D．6【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定k的取值范圍．解：如圖所示，反比例函數(shù)的圖象位于第一象限，則k＞0．又∵1×3＜k＜2×3，即3＜k＜6．∴觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)C合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查了反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象確定k的符號(hào)以及k的取值范圍是解題的難點(diǎn)．8．已知反比例函數(shù)y＝﹣，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)（1，2）在它的圖象上 B．其圖象分別位于第一、三象限 C．y隨x的增大而增大 D．如果點(diǎn)P（m，n）在它的圖象上，則點(diǎn)Q（n，m）也在它的圖象上【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．解：A、將x＝1代入y＝﹣得到y(tǒng)＝﹣2≠2，∴點(diǎn)（1，2）不在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、因?yàn)楸壤禂?shù)為﹣2，則函數(shù)圖象過(guò)二、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由于函數(shù)圖象在二、四象限，則當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．D、如果點(diǎn)P（m，n）在它的圖象上，則點(diǎn)Q（n，m）也在它的圖象上，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟悉反比例函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．9．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一個(gè)根為0，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【分析】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得到一個(gè)關(guān)于a的方程，求出方程的解即可．解：把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，∴a＝±1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)一元二次方程的解，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能得到方程a2﹣1＝0是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，∠C＝80°，AC＝4，BC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，按下面四種方式剪下的陰影三角形與原三角形相似的是（）A．①②③ B．②③④ C．①② D．④【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似；③4﹣1＝3，6﹣4＝2，＝，兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似；④兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m＝3．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的一般形式：x的次數(shù)是﹣1，且系數(shù)不等于0，即可求解．解：根據(jù)題意得：，解得：m＝3．故答案是：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點(diǎn)是將一般式（k≠0）轉(zhuǎn)化為y＝kx﹣1（k≠0）的形式．12．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P為AB上任意一點(diǎn)，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，則EF的最小值是2.4．【分析】根據(jù)已知得出四邊形CEPF是矩形，得出EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，根據(jù)垂線段最短得出即可．解：連接CP，如圖所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四邊形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面積公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案為：2.4．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是確定出何時(shí)，EF最短，題目比較好，難度適中．13．甲、乙兩位同學(xué)各拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，他們拋擲的點(diǎn)數(shù)分別記為a、b，則a+b＝9的概率為．【分析】利用列表法即可解決問題．解：甲、乙兩位同學(xué)各拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能的結(jié)果是：滿足a+b＝9的有4種可能，∴a+b＝9的概率為＝，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是古典型概率．如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．14．在一個(gè)不透明的口袋中裝有5個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同，通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近，則估計(jì)口袋中白球大約有15個(gè)．【分析】由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近得出口袋中得到紅色球的概率，進(jìn)而求出白球個(gè)數(shù)即可．解：設(shè)白球個(gè)數(shù)為：x個(gè)，∵摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，∴口袋中得到紅色球的概率為0.25，∴＝，解得：x＝15，即白球的個(gè)數(shù)為15個(gè)，故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題關(guān)鍵．15．如圖，P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．若AB＝6，AD＝8，則四邊形ABPE的周長(zhǎng)是18．【分析】由矩形的性質(zhì)得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出BP，證明PE是△ACD的中位線，由三角形中位線定理得出PE＝CD＝3，四邊形ABPE的周長(zhǎng)＝AB+BP+PE+AE，即可得出結(jié)果．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位線，∴PE＝CD＝3，∴四邊形ABPE的周長(zhǎng)＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．16．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，則BF的長(zhǎng)為．【分析】由折疊性質(zhì)得BF＝DF，AF＝AB﹣BF＝AB﹣DF＝4﹣DF，由矩形的性質(zhì)得出∠A＝90°，AD＝BC＝3，由勾股定理得出方程，解方程即可得出結(jié)果．解：由折疊性質(zhì)得：BF＝DF，AF＝AB﹣BF＝AB﹣DF＝4﹣DF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，∴AD2+AF2＝DF2，即：32+（4﹣DF）2＝DF2，解得：DF＝，∴BF＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．17．已知關(guān)于x的方程x2+mx+5＝0的一個(gè)解是x＝1，則m＝﹣6．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+5＝0得1+m+5＝0，然后解關(guān)于m的方程即可．解：把x＝1代入方程x2+mx+5＝0得1+m+5＝0，解得m＝﹣6．故答案為﹣6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．三、解答題：第18，19.20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．已知，求的值．【分析】令（也可直接等于），則x＝2k，y＝3k，z＝4k．代入所求的代數(shù)式后，通過(guò)約分求值即可．解：令（也可直接等于），則x＝2k，y＝3k，z＝4k．∴．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例的性質(zhì)，注意題中參數(shù)k的使用方法．19．解方程：（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0．【分析】分解因式，轉(zhuǎn)化為一元一次方程后解答．解：（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0，分解因式得，（2x+1+x﹣3）（2x+1﹣x+3）＝0，即3x﹣2＝0，x+4＝0，解得，x1＝，x2＝﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣﹣﹣因式分解法，熟悉掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．20．如圖，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上．求證：△ABD∽△CAE．【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠EAC＝∠ABD，由線段關(guān)系可得，可得結(jié)論．【解答】證明：∵BD∥AC，∴∠EAC＝∠ABD，∵AB＝3AC，BD＝3AE，∴，∴△ABD∽△CAE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．21．1896年，挪威生理學(xué)家古德貝發(fā)現(xiàn)，每個(gè)人有一條腿邁出的步子比另一條腿邁出的步子長(zhǎng)的特點(diǎn)，這就導(dǎo)致每個(gè)人在蒙上眼睛行走時(shí)，雖然主觀上沿某一方向直線前進(jìn)，但實(shí)際上走出的是一個(gè)大圓圈!這就是有趣的“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象．經(jīng)研究，某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑y(tǒng)/米是其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差x/厘米（x＞0）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)某人兩腿邁出的步長(zhǎng)之差為0.5厘米時(shí)，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為28米；（3）若某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差最多是多少厘米？【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝，解方程即可得到結(jié)論；（2）把x＝0.5代入反比例函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝，∴7＝，∴k＝14，∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝；（2）當(dāng)x＝0.5時(shí)，y＝＝28米，∴當(dāng)某人兩腿邁出的步長(zhǎng)之差為0.5厘米時(shí)，他蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑為28米；（3）當(dāng)y≥35時(shí)，即≥35，∴x≤0.4，∴某人蒙上眼睛走出的大圓圈的半徑不小于35米，則其兩腿邁出的步長(zhǎng)之差最多是0.4厘米，故答案為：28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．22．一天晚上，哥哥和弟弟拿兩根等長(zhǎng)的標(biāo)桿AB，CD直立在一盞亮著的路燈下，然后調(diào)整標(biāo)桿位置，使它們?cè)谠撀窡粝碌挠白覤E，DF恰好在一條直線上（如圖所示）．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出路燈燈泡P的位置；（2）哥哥和弟弟測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB＝CD＝1.6米，BE＝1米，DF＝2米，兩根標(biāo)桿的距離AC＝BD＝3.6米，且AC∥BD，請(qǐng)你根據(jù)以上信息計(jì)算燈泡P距離地面的高度．【分析】（1）作射線EA和射線FC，交于點(diǎn)P，即為所求；（2）由AC∥EF可得△PAC∽△PEF，據(jù)此知＝，將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入計(jì)算可得．解：（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求．（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥EF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，∵AC∥BD，∴PM⊥AC，∵AB∥CD，且AB⊥EF，∴四邊形ABDC和四邊形ABNM是矩形，則MN＝AB＝1.6，∵AC∥EF，∴△PAC∽△PEF，∴＝，即＝，解得：PN＝3.52．答：燈泡P距離地面的高度為3.52米．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握中心投影的定義和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．23．如圖，為美化環(huán)境，某校計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60米，寬為40米的長(zhǎng)方形空地上修建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的通道，設(shè)通道寬為a米．（1）用含a的式子表示花圃的面積；（2）如果通道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的，求出此時(shí)通道的寬．【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的長(zhǎng)和寬后利用其矩形面積公式列出式子即可；（2）根據(jù)通道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的，列出方程進(jìn)行計(jì)算即可；解：（1）由圖可知，花圃的面積為（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）＝×60×40，解得：a1＝5，a2＝45（舍去）．答：所以通道的寬為5米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出花圃的長(zhǎng)和寬．24．在正方形ABCD中，點(diǎn)P是射線CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，點(diǎn)M、N分別為BC、AP的中點(diǎn)，連接MN交PD于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，△QPM的形狀是等腰直角三角形；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2．①依題意補(bǔ)全圖2；②判斷△QPM的形狀并加以證明；（3）點(diǎn)P′于點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱，且點(diǎn)P′在線段BC上，連接AP′，若點(diǎn)Q恰好在直線AP′上，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)寫出求此時(shí)BP長(zhǎng)的思路（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）．【分析】（1）連接AC，由正方形的性質(zhì)得到∠DBC＝45°，再求出∠BQM＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的判定即可解答；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)充圖形即可；②△QPM的形狀是等腰三角形，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝BP，連接AE，證明△DCP≌△ABE，得到∠DPC＝∠E，再證明MN∥AE，得到∠NMP＝∠E，通過(guò)等量代換得到∠DPC＝∠NMP，根據(jù)等角對(duì)等邊得到QM＝QP，即可解答．（3）利用相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理、對(duì)稱的性質(zhì)，寫出解題思路．解：（1）如圖1，連接AC，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，∵點(diǎn)M、N分別為BC、AP的中點(diǎn)，∴MN∥AC，∴∠BQM＝∠BOC＝90°，∴∠QMB＝45°，∴△QPM是等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形．（2）①如圖2，②△QPM的形狀是等腰三角形，如圖3，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝BP，連接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，即CP＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE，∴∠DPC＝∠E，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，即MP＝ME，∴M為PE的中點(diǎn)，∵N為AP的中點(diǎn)，∴MN∥AE，∴∠NMP＝∠E，∴∠DPC＝∠NMP，∴QM＝QP，∴△QPM是等腰三角形．（3）求解思路如下：a，由題意畫出圖形，并延長(zhǎng)BC至E，使CE＝BP，連接AE，如圖4．b，由（2）可得QM∥AE，可證．c，由PP′∥AD，可證△P′PQ∽△ADQ，從而．d，可得．e，由點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱，得到BP′＝BP＝CE，設(shè)BP′＝BP＝CE＝x，由AD＝BC＝2，可分別表示P′M，ME，P′P，可求BP的長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、相似三角形的性質(zhì)定理與判定定理、全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線．25．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)．（1）問題解決：如圖①，連接BO，分別取CB，BO的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，則PQ與BO的數(shù)量關(guān)系是PQ＝BO，位置關(guān)系是PQ⊥BO；（2）問題探究：如圖②，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接CE，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．判斷△PQB的形狀，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：如圖③，△AO'E是將圖①中的△AOB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到的三角形，連接BO'，點(diǎn)P，Q分別為CE，BO'的中點(diǎn)，連接PQ，PB．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求△PQB的面積．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出BO⊥AC，BO＝CO，由中位線定理得出PQ∥OC，PQ＝OC，則可得出結(jié)論；（2）連接O'P并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F