中考數(shù)學(xué)壓軸題歸類分析

從各地的中考數(shù)學(xué)試題來(lái)看，壓軸題考查的知識(shí)點(diǎn)多，知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，其創(chuàng)造性思維要求較高，能充分體現(xiàn)考生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的創(chuàng)新能力。本文以2009年中考數(shù)學(xué)試題為例，將壓軸題進(jìn)行歸類分析，供參考，一、幾何問(wèn)題例1（常德市）如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M、N分別為EB、CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形。(1)當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由。(2)當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時(shí)，△ADE與△AMN的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。圖1圖2圖3解：(1)CD=BE。理由如下：因?yàn)椤鰽BC和△ADE為等邊三角形，所以AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°。因?yàn)椤螧AE=∠BAC-∠FAC=60°-∠EAC，∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，所以∠BAE=∠DAC，所以△ABE≌△ACD，所以BE=CD。(2)△AMN是等邊三角形。理由如下：因?yàn)椤鰽BE≌△ACD，M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，所以AM=AN，NC=NB。因?yàn)锳B=AC，所以△ABM≌△ACN，所以∠MAB=∠NAC，所以∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以△AMN是等邊三角形。設(shè)AD=a，則AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易證BE⊥AC，二、函數(shù)問(wèn)題圖4三、動(dòng)態(tài)問(wèn)題例3（吉林?。┤鐖D5所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米，∠B=60°，從初始時(shí)刻開(kāi)始，點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以1厘米／秒的速度沿A→C→B的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2厘米／秒的速度沿A→B→C→D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒時(shí)，△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米（這里規(guī)定：點(diǎn)和線段是面積為0的三角形）。解答下列問(wèn)題：圖5(1)點(diǎn)P、Q從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是______秒；(2)點(diǎn)P、Q從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止的過(guò)程中，當(dāng)△APQ是等邊三角形時(shí)x的值是______秒；(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式。(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E。圖6①過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長(zhǎng)？②連接EQ。在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得△CEQ是等腰三角形？請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的t值。觀察題中a、b的特征，以及你比較大小的過(guò)程，直接寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的一個(gè)一般結(jié)論。七、坐標(biāo)幾何型例7（深圳市）如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(0，k)是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P。圖7(1)連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)k為何值時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？解：(1)⊙P與x軸相切。理由如下：因?yàn)橹本€y=-2x-8與x軸交于A(-4，0)，與y軸交于B(0，-8)，所以O(shè)A=4，OB=8。由題意，OP=-k，所以PB=PA=8+k。在Rt△AOP中，，所以k=-3。所以O(shè)P等于⊙P的半徑，所以⊙P與x軸相切。圖8與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形。八、應(yīng)用題例8（南寧市）如圖9所示，要設(shè)計(jì)一個(gè)等腰梯形的花壇，花壇上底長(zhǎng)120米，下底長(zhǎng)180米，上下底相距80米，在兩腰中點(diǎn)連線（虛線）處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為x米。圖9(1)用含x的式子表示橫向甬道的面積；(2)當(dāng)三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時(shí)，求甬道的寬；(3)根據(jù)設(shè)計(jì)要求，甬道的寬不能超過(guò)6米，如果修建甬道的總費(fèi)用（萬(wàn)元）與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是5.7，花壇其余部分的綠化費(fèi)用為每平方米0.02萬(wàn)元，那么當(dāng)甬道的寬度為多少米時(shí)，所建花壇的總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少萬(wàn)元？解：(1)橫向甬道的面積為九、探索性問(wèn)題例9（重慶市）已知：如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過(guò)原點(diǎn)O作∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DC，交OA于點(diǎn)E。圖10(1)求過(guò)點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；(2)∠EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交于點(diǎn)G。如果DF與(1)中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。(3)對(duì)于(2)中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的△PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。