-.z.初等代數(shù)研究課后習(xí)題數(shù)學(xué)院07（1）楊明1、證明自然數(shù)的順序關(guān)系具有對逆性與全序性，即（1）對任何，當(dāng)且僅當(dāng)時，.（2））對任何，在，，中有且只有一個成立.證明：對任何，設(shè)，（1）"”，則,使，,"”，則,使，,綜上對任何，（2）由（1）與不可能同時成立，假設(shè)與同時成立，則,使且，與B為有限集矛盾，與不可能同時成立，綜上，對任何，在，，中有且只有一個成立..2、證明自然數(shù)的加法滿足交換律.證明：對任何設(shè)M為使等式成立的所有b組成的集合先證，設(shè)滿足此式的組成集合k，顯然有1+1=1+1成立，設(shè)，，則，，取定，則，設(shè)，則對任何，3、證明自然數(shù)的乘法是唯一存在的證明：唯一性：取定，反證：假設(shè)至少有兩個對應(yīng)關(guān)系，對，有，設(shè)是由使成立的所有的組成的集合，設(shè)則，，即，乘法是唯一的存在性：設(shè)乘法存在的所有組成集合當(dāng)時，，，設(shè)，，有與它對應(yīng)，且，，對，令即乘法存在p24—5、解：滿足條件的有，，，，，，基數(shù)和為p24—6、證明：，中的與中的對應(yīng)，p24—8、證明：1）3+4=72）p24—12、證明：1）2）p26—36、已知對任何滿足求證：1）2）3）證明：1)當(dāng)時，結(jié)論成立，假設(shè)時，結(jié)論成立，即，當(dāng)時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立2）當(dāng)時，結(jié)論成立假設(shè)時，結(jié)論成立，即當(dāng)時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立3）當(dāng)時，結(jié)論成立假設(shè)時，結(jié)論成立，即當(dāng)時，所以對一切自然數(shù)結(jié)論都成立p62—1、證明定理2.1證明：，因為自然數(shù)加法滿足交換律而，以為自然數(shù)滿足加法結(jié)合律即整數(shù)加法滿足交換律和結(jié)合律p62—2、已知，求證的充要條件是證明："”已知則"”已知則，p62—4、已知，求證證明：p62—5、已知，求證證明：左邊右邊所以左邊等于右邊p62—7、已知，求證當(dāng)且僅當(dāng)時證明："”已知，因為是負數(shù)，"”已知則因為是負數(shù)，p62—9、已知，求證：1），2）證明：設(shè)1）而2）而p63—12、名棋手每兩個比賽一次，沒有平局，若第名勝負的次數(shù)各為，，求證：證明：對于，必存在一個使得p63—16、已知，，求證證明：由已知：使，p63—17、設(shè)2不整除，求證證明：因為2不整除，所以存在唯一一對，使，其中，p63—20、設(shè)，求證是奇數(shù)的平方證明：肯定一奇一偶肯定為偶數(shù)肯定為奇數(shù)p63—22、證明：前n個自然數(shù)之和的個位數(shù)碼不能是2、4、7、9證明：前n個自然數(shù)的和為因為：n個自然數(shù)的和仍為自然數(shù)1+n與n中必定一個為奇數(shù)一個為偶數(shù)若個位數(shù)碼為2則1+n與n的個位數(shù)碼只能是1,4或4,1而（1+n）-n=1個位數(shù)碼不能為2若個位數(shù)碼為4則1+n與n的個位數(shù)碼只能是1,8或8,1也不可能成立若個位數(shù)碼為7則1+n與n的個位數(shù)碼有2種可能，則2,7或1,14也不可能成立，若個位數(shù)碼為9則1+n與n的個位數(shù)碼有2種可能，即2,9或1,18也不可能成立，綜上，前n個自然數(shù)和的個位數(shù)碼不能是2,4,7,9p63—26、證明2.3定理1（）=（）證明：因為：（）是的公因數(shù)中的最大數(shù)所以R需考慮非負整數(shù)（）=（）p63—29、證明2.3定理4的推論的充要條件是有使得證明：因為不全為0"”由定理4使"”設(shè)則，p63—30、證明2.3定理6及其推論。定理6：若，則證明：若都為0，則顯然成立若不全為零，則使而因為，而推論：設(shè)是的公因數(shù)，則的充要條件是證明："”是的公因數(shù)"”因為，使，使p64—32、證明2.3定理七及其推論定理七：若，，中至少有一個不為0，則證明：中至少有一個不為0使因為因為推論：若，，則證明：因為，不為零p64—33、已知是奇數(shù)，，求證證明：因為，因為是奇數(shù)，p64—36、已知，求證證明：p64—40、已知，求證中的倍數(shù)的個數(shù)等于證明：當(dāng)時，結(jié)論成立，當(dāng)時，，令，，則可改寫為因為所以其中一定包括都是的倍數(shù)，共有個p64—42、已知是異于3的奇素數(shù)，求證證明：是異于3的奇素數(shù)，為偶數(shù)，其中都為合數(shù)，且都大于3都可被2、3中的一個整除，若，則由，因為p64—44、已知整數(shù)都大于1，是素數(shù)，求證且是素數(shù)證明：反證不是素數(shù)當(dāng)時不是素數(shù)與已知矛盾，所以是素數(shù)p64—45、求不大于50的一切素數(shù)解：平方不大于50的素數(shù)是2,3,5,7則不大于50的一切素數(shù)2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47p64—46、求下列各數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式：1）82798848解：82798848=p64—49、已知整數(shù)都大于1，求證證明：p66—69、已知是奇素數(shù)，求證1）2）證明：1）因為，，…因為2），，…p66—70、設(shè)是相異素數(shù)，求證證明：，，