2015普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試II

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分.

1.已知集合4={2一1<%<2},B={xl0<x<3},則AU8=

A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3)

【答案】A(考點(diǎn)：集合間的基本運(yùn)算)

【解析】

?■

【試題分析：因?yàn)镠=(.V2}>B=0<<：3：,所以T.,3=；?:-1<：<3；.故選A.

.'I.」考點(diǎn)：集合運(yùn)算.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬基礎(chǔ)題，主要考查數(shù)列的交集運(yùn)算.

2.若為。實(shí)數(shù)，且馬衛(wèi)=3+i,則。=

1+i

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】D(考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算)

【解析】試題分析：由題意可得2+ai=(l+i)(3+i)=2+4ina=4,所以選D.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，及復(fù)數(shù)相等，難度不大，但要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

3.根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化碳年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論中不

正確的是

A.逐年比較，2008年減少二氧化碳排放量的效果最顯著

B.2007年我國(guó)治理二氧化碳排放顯現(xiàn)成效

C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化碳年排放量呈減少趨勢(shì)

D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化碳年排放量與年份正相關(guān)

【答案】D(考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)圖表)

【解析】

情題分析：由柱形圖可知2006年以來(lái)，我國(guó)二氧化碳排放量基本成遞減趨勢(shì)，所又二氧化道排放量與年份?

諛相關(guān)，故選）.考點(diǎn)：柱形圖.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)柱形圖的理解，要求學(xué)生能從圖中讀出有用信息，背景比較新穎.【正相關(guān)】

自變量增長(zhǎng)，因變量也跟著增長(zhǎng)?！矩?fù)相關(guān)】因變量值隨自變量值的增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅┑?/p>

現(xiàn)象。

4.已知a=（0,-1）,b=（-1,2）,則（2a+A）-a=

A.-1B.0C.1D.2（考點(diǎn)：向量的數(shù)量積）

【答案】B【解析】試題分析：由題意可得/=1,ab=-2,所以（加+〃）“=2?2+。包=2-2=0.

考點(diǎn)：向量數(shù)量積.|a|2=X12+丫]2、a?b=X]X2+丫1丫2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)S“是等差數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，若4+/+%=3，則$5=

A.5B.7C.9D.II（考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)）

【答案】A【解析】試題解析：q+%+%=3%=3=%=1，S5=5m；%）=5%=5.考點(diǎn):等差數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前〃項(xiàng)和公式，具有小、巧、活的特點(diǎn).

6.一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體

積的比值為

主視圖、左視圖、俯視圖Au

（考點(diǎn)：空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖）

【答案】D【解析】試題分析：截去部分是正方體的一個(gè)角，其體積是正方體體積的,考點(diǎn)：三視圖

6

7.已知三點(diǎn)4（1,0）,8（0,6）,C（2,百），則AABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為

口V21「2V5

D.----------

33

【答案】B（P186；考點(diǎn)：點(diǎn)、線、圓的位置關(guān)系；1）

r.............................................................................-r..........................................................................

【解析:

試題分析：扇心在直線3U垂直平分線上即直線x=l上，設(shè)圓。。門.51，由D==D3芻

■

+=5=士￡,所以圓心到原點(diǎn)的距離d=卜+竺=嚀.

■_____________________________二_______________?___________________V.....…._.____?一...

考點(diǎn)：直線與圓的方程.

8.右邊程序框圖的算法思路來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序

框圖，若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a為（）

A05.2C.4D.14（考點(diǎn)：算法與程序框圖）

【答案】B【解析】試題分析：輸出的a是18、14的最大公約數(shù)（最大公因數(shù)）為2.

考點(diǎn)：1.更相減損術(shù)；2.程序框圖.

9.已知等比數(shù)列｛4｝滿足%=；,%%=4（%-1），則。2=

A.25.1C.-D.-

28

【答案】C（考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)）

【解析】

試題分析：",所以/q=s=""，故7="=二考點(diǎn)：等比數(shù)列.

10.已知A,6是球。的球面上兩點(diǎn)，44。8=90。，。為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐。-ABC體積的最

大值為36,則球。的表面積為

A、36兀B、64〃C、144〃D、256%

【答案】C（考點(diǎn)：空間幾何體的表面積）

【解析】試題分析：設(shè)球的半徑為此則△/①面積為‘心，三棱錐。-ABC體積最大時(shí)，C到平面

2

AOB距離最大且為此止匕時(shí)V=L/?3=36nR=6，所以球0的表面積S=4%朋=144乃.

6

考點(diǎn)：球與兒何體的切接.

11.如圖，長(zhǎng)方形的邊4戶2,於1,0是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)戶沿著邊比；切與的運(yùn)動(dòng)，記NBOP=x,

將動(dòng)點(diǎn)一到48兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則的圖像大致為

【答案】B(考點(diǎn)：函數(shù)圖象的識(shí)辨)

【解析】

試題分析：f4-=#+6=f4,</-，由此可把除C.D當(dāng)上―時(shí)：

*\?*4\2V44I

fI.rI=-tanx--------:可排除A.

cosx

--------1----------------------------------------------------------------------------------------------------------^考點(diǎn)：函數(shù)圖像.

12.設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+lxl)-----則使得/(x)>/(2x-l)成立的x的取值范圍是

1+X'?

B.-0°,1ju(i,+00)

【答案】A(考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性與周期性)

【解析】/(x)是偶函數(shù)，且在[0,+8)是增函數(shù)，所以

/(x)>/(2彳-1)=/(附〉=國(guó)>|2x_]=g<x<].考點(diǎn)：函數(shù)性質(zhì).

二、填空題：本大題共4道小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)〃x)=axL2x的圖像過(guò)點(diǎn)(-1,4),則手.(考點(diǎn)：函數(shù)的概念及其表示)

【答案】-2【解析】試題分析：由/(-1)=-。+2=4=。=-2.考點(diǎn)：函數(shù)解析式.

x+y-5<0

14..若x,y滿足約束條件2x-y-120,則z=2x+y的最大值為

x—2y+1W0

【答案】8（考點(diǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題）

r..................................................................................r..........................................■

【解析】

?試題分析：不等式表示的可行域是以門」IJ3：21為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，二=2x-.i的最大值心在頂.

點(diǎn)處取得，經(jīng)驗(yàn)算，工=3：j=2時(shí)二二=S.老占.緯桂：

■.J/VAV、?I工）

15.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)（4,6）,且漸近線方程為了=士;x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】jy』（考點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程）

[2

【解析】試題分析：根據(jù)雙曲線漸近線方程為y=土/，可設(shè)雙曲線的方程為亍-丁=加，把（4,6）

代入得m=1.考點(diǎn)：雙曲線幾何性質(zhì).

16.已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線y=?+（a+2）x+l相切，則a=.

【答案】8（考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義）

【解析】試題分析：曲線y=x+lnx在點(diǎn)（1,1）處的切線斜率為2,.?.切線方程為y=2x-l,與

y-ax2+(a+2)x+lALWax2+ax+2=Q,顯然。。()，所以由△=/一8a=Ona=8

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的兒何意義.

三.解答題：本大題共5道小題，每小題12分，共60分.

17.（12分）AABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分NBAC,BD=2DC.（I）求斗上巨（II）若N8AC=60°,求N5

sinZC

（考點(diǎn)：解三角形及其應(yīng)用）

18.（12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)

用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的

頻數(shù)分布表

頻率/組距B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

扁殖度評(píng)分

40506070809010°

B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度評(píng)分分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2814106

（I）做出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值

及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）

（II）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí):

滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大，說(shuō)明理由.

（考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)與概率）

19.（12分）如圖,長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中AB=16,BC=10,AA,=8,點(diǎn)E,F分別在AB,DC上，AE=DF=4.過(guò)

E,F的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.

（I）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫法和理由）;

（II）求平面a把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.

（考點(diǎn)：空間幾何體的體積）

20.（12分）橢圓C：￡+￡=i,（a>b>0）的離心率也，點(diǎn)（2,⑥在C上.

ab2

（1）求橢圓C的方程;

（2）直線，不過(guò)原點(diǎn)0且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直

線OM的斜率與1的斜率的乘積為定值.

（考點(diǎn)：圓錐曲線定點(diǎn)與定值問(wèn)題）

21.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）

（I）討論：f（x）的單調(diào)性；（ID當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.

（考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值）

請(qǐng)考生在22、23、24