常微分方程初值問題初步第一頁，共四十頁，2022年，8月28日馬爾薩斯人口模型：假設(shè)某特定區(qū)域在t0時(shí)刻的人口p(t0)=p0為已知的，該區(qū)域人口的自然增長(zhǎng)率為α。人口的增長(zhǎng)與人口的總數(shù)成正比，所以t時(shí)刻的人口總數(shù)p(t)滿足如下的微分方程：生活中常常有這樣一類問題：?jiǎn)栴}的提出這些常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特殊類型的問題，實(shí)際問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法。第二頁，共四十頁，2022年，8月28日解析法：給出精確解析解。只適合少數(shù)簡(jiǎn)單情況。近似解法：給出解的近似表達(dá)式。如級(jí)數(shù)法,逐步逼近法。數(shù)值方法：給出方程在離散點(diǎn)上的近似解。它適合計(jì)算機(jī)求解,應(yīng)用廣泛,具有理論應(yīng)用價(jià)值。常微分方程的解法：內(nèi)容分類：定解問題初值問題邊值問題單步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般線性多部法線性多部法的收斂性與穩(wěn)定性第三頁，共四十頁，2022年，8月28日一階常微分方程初值問題的一般形式：?jiǎn)栴}:求函數(shù)滿足其中:f(x,y)為已知函數(shù),

α是已知值.(可能是觀察值或?qū)嶒?yàn)值)基本條件：

f(x,y)在D上連續(xù)；

f(x,y)在D上關(guān)于變量y滿足Lipschitz連續(xù)條件：設(shè)滿足解的存在唯一第四頁，共四十頁，2022年，8月28日對(duì)求解區(qū)域[a,b]做剖分構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想在區(qū)間[xk,xk+1]上對(duì)微分方程做積分,則有常用等步長(zhǎng):,則有將微分方程的準(zhǔn)確解記為y(x),稱為步長(zhǎng)。的近似解記為能不能將微分轉(zhuǎn)化為積分？第五頁，共四十頁，2022年，8月28日因此，建立節(jié)點(diǎn)處近似值yn滿足的差分公式稱之為Euler公式.

對(duì)右邊的積分應(yīng)用左矩形公式，則有第六頁，共四十頁，2022年，8月28日Euler公式的幾何意義特點(diǎn)：簡(jiǎn)單，精度低.第七頁，共四十頁，2022年，8月28日例求解初值問題解：

Euler公式的具體形式為取步長(zhǎng)h=0.1，那么即可計(jì)算該微分方程。具體結(jié)果見下頁。第八頁，共四十頁，2022年，8月28日xnyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y(xn)1.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321解析解：第九頁，共四十頁，2022年，8月28日(2)前向差分近似微分法前向差分近似

,得將近似號(hào)改為等號(hào)，結(jié)合初始條件即得：■前面Euler方法是通過左矩形積分方法推導(dǎo)出來的，實(shí)際上Euler方法還可以通過其他幾種方法推導(dǎo)出來。第十頁，共四十頁，2022年，8月28日(3)Taylor展開法忽略高階項(xiàng)，結(jié)合初值條件y(x0)=α即得將y(xk+1)在x=xk點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開11Euler公式的局部截?cái)嗾`差：第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日后退的Euler公式如果采用后向差分近似

,得將近似號(hào)改為等號(hào)，結(jié)合初始條件即得：未知這一類公式稱為隱式的，相對(duì)應(yīng)的前面介紹的Euler公式稱為顯式的第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日顯式：更加方便計(jì)算隱式：數(shù)值穩(wěn)定性更好顯式與隱式的特點(diǎn)：隱式方程的計(jì)算方法：隱式方程常用迭代法計(jì)算，而迭代的過程實(shí)質(zhì)是逐步顯式化。設(shè)用Euler公式給出迭代的初值，用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得然后再代入后退Euler公式第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日如此反復(fù)進(jìn)行得：如果迭代過程收斂，則極限值必滿足隱式方程，從而獲得后退Euler方法的解。后退Euler方法局部截?cái)嗾`差為第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日例用后退Euler方法求解初值問題解：

(1)取步長(zhǎng)h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，(2)用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09181.17741.25821.33511.40901.48031.54981.61781.68481.7512yn(2)1.09091.17461.25281.32641.39631.46331.52791.59081.65241.7133yn(3)1.09081.17421.25151.32391.39191.45621.51741.57591.63221.6868第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日Euler后退Euler■誤差如果將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分從而獲得更高的精度。這種平均化的方法通常稱為梯形方法，其計(jì)算公式為：第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日即為前面導(dǎo)出的梯形微分方程公式.若對(duì)上式右邊的積分應(yīng)用梯形求積公式，則可導(dǎo)出差分公式■梯形公式也可以通過積分的方法來獲得：將微分方程化為積分方程的形式第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日■梯形方法的求解梯形方法是隱式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一樣，仍用Euler方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為：第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日例用梯形方法求解初值問題解：

(1)取步長(zhǎng)h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，(2)用它代入梯形公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09591.18441.26711.34521.41971.49111.56021.62731.69301.7577yn(2)1.09571.18371.26561.34271.41581.48561.55271.61741.68031.7418yn(3)1.09571.18361.26551.34241.41521.48451.55081.61471.67631.7361第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日問題梯形法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在迭代公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù)f的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計(jì)算量很大，而且往往難以預(yù)測(cè)。1用Euler公式求得一個(gè)初步的近似值再用梯度公式將它校正一次為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算2預(yù)測(cè)值校正值這個(gè)方法也叫做：改進(jìn)的Euler公式或預(yù)估-校正公式第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日預(yù)測(cè)校正這個(gè)公式也可以寫為第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848改進(jìn)Euler1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.67821.7379第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日梯形法步驟：預(yù)估校正法步驟：Euler梯形梯形梯形Euler梯形Euler梯形第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日■Euler兩步方法如果采用后向差分近似

,得后向Euler方法如果采用前向差分近似

,得Euler方法如果采用中心差分近似

,得Euler兩步方法即第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日前面介紹過的數(shù)值方法，無論是Euler方法，后退的Euler方法，還是改進(jìn)的Euler方法，他們都是單步法，其特點(diǎn)是在計(jì)算yn+1時(shí)值用到前一步的信息yn；然而Euler兩步法中的公式除了yn外，還顯含更前面一部的信息yn-1，即調(diào)用了前面兩步的信息，Euler兩步法因此而得名?！鰡尾椒ǖ膬?yōu)點(diǎn)：?jiǎn)尾椒ǖ膬?yōu)點(diǎn)是“自開始的”，只要給出初值y0

，依計(jì)算公式可順次計(jì)算y1，y2…而兩步法除了給出初值y0，還需要求助于其他單步法再提供一個(gè)開始值y1，然后才能啟動(dòng)計(jì)算公式依次計(jì)算y2，y3…

第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日■兩步法的優(yōu)點(diǎn)：兩步法的優(yōu)點(diǎn)是它調(diào)用了兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的已知信息，從而能以較少的計(jì)算量獲得較高的精度。如果用Euler兩步公式與梯形公式相匹配，得到下列預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)：校正預(yù)測(cè)第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日例用Euler兩步法求解初值問題解：

(1)取步長(zhǎng)h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，(2)用它代入Euler兩步法公式，得第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler兩步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日例用Euler兩步法的預(yù)測(cè)校正方法求解初值問題解：

(1)取步長(zhǎng)h=0.1，首先用Euler方法計(jì)算初值，(2)用它代入Euler兩步法公式，得(3)用它代入梯形公式，得第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler2步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378預(yù)估校