1（一）力學(xué)量的可能值（二）力學(xué)量的平均值（1）力學(xué)量算符本征函數(shù)組成完備系

（2）力學(xué)量的可能值和相應(yīng)幾率（3）力學(xué)量有確定值的條件算符與力學(xué)量的關(guān)系（三）例題上節(jié)課復(fù)習(xí)則任意函數(shù)ψ(x)可按φn(x)展開：ψ(x)態(tài)時(shí)，F(xiàn)具有確定值的充要條件是ψ(x)是F的一個(gè)本征態(tài)。2例1：已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)試問：（1）Ψ是否是L2

的本征態(tài)？ （2）Ψ是否是Lz

的本征態(tài)？ （3）求L2的平均值； （4）在Ψ

態(tài)中分別測量L2

和Lz

時(shí)得到的可能值及其相應(yīng)的幾率。解：

Ψ

沒有確定的L2的本征值，故Ψ

不是L2

的本征態(tài)。3Ψ是Lz

的本征態(tài)，本征值為。（3）求L2的平均值方法I驗(yàn)證歸一化：4歸一化波函數(shù)5方法II（4）6例2：（《周》3.6）設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為 (x)=A[sin2kx+(1/2)coskx]，求粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。解：可寫成單色平面波的疊加比較二式，因單色平面波動(dòng)量有確定值：或：7從而得：歸一化后。|c(pi)|2

表示粒子具有動(dòng)量為pi

的幾率，于是就可以計(jì)算動(dòng)量和動(dòng)能的平均值了。8（1）動(dòng)量平均值（2）動(dòng)能平均值9§3.7算符的對(duì)易關(guān)系

兩力學(xué)量有確定值的條件

測不準(zhǔn)關(guān)系（一）算符的對(duì)易關(guān)系（二）兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件（三）兩算符對(duì)易的物理含義

(四）力學(xué)量完全集合（五）測不準(zhǔn)關(guān)系10（一）算符的對(duì)易關(guān)系若?(?ψ)=(??)ψ=êψ則??=ê其中ψ是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運(yùn)算規(guī)則的唯一不同之處。對(duì)易關(guān)系若??≠??，則稱?與?不對(duì)易。顯然二者結(jié)果不相等，所以:對(duì)易關(guān)系11對(duì)易括號(hào)為了表述簡潔，運(yùn)算便利和研究量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，人們定義了對(duì)易括號(hào)：

[?,?]≡??-??這樣一來，坐標(biāo)和動(dòng)量的對(duì)易關(guān)系可改寫成如下形式：12角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系證：13角動(dòng)量升降階算符14由角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系：代入平均值公式：同理：例：證明在LZ本征態(tài)Ylm下，<Lx>=<Ly>=015（二）兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)（x）時(shí)，力學(xué)量F一般沒有確定值。如果力學(xué)量F有確定值，（x）必為F的本征態(tài)，即如果有另一個(gè)力學(xué)量G在態(tài)中也有確定值，則必也是G的一個(gè)本征態(tài)，即結(jié)論：當(dāng)在

態(tài)中測量力學(xué)量F和G時(shí)，如果同時(shí)具有確定值，那么必是二力學(xué)量共同本征函數(shù)。16（三）兩算符對(duì)易的物理含義所以？是特定函數(shù)，非任意函數(shù)！例如：=0的態(tài)，Ym=Y00

LxLz

同時(shí)有確定值。但是，如果兩個(gè)力學(xué)量的共同本征函數(shù)不止一個(gè)，而是一組且構(gòu)成完備系，此時(shí)二力學(xué)量算符必可對(duì)易。考察前面二式：17定理：若兩個(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備 的本征函數(shù)系，則二算符對(duì)易。證：由于n

組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù)(x)可以按其展開：則因?yàn)?x)是任意函數(shù)18逆定理：如果兩個(gè)力學(xué)量算符對(duì)易，則此二算符 有組成完備系的共同的本征函數(shù)。證：考察：n也是G的本征函數(shù)，同理F的所有本征函數(shù)n

（n=1，2，…)也都是G的本征函數(shù),因此二算符具有共同完備的本征函數(shù)系.僅考慮非簡并情況即：與n

只差一常數(shù)Gn19定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對(duì)易。例1：例2：20例3：例4：21（四）力學(xué)量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的力學(xué) 量算符的最小（數(shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：例3：一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)量就可