第五節(jié)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)3/16/20231

主要內(nèi)容幅角定理奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)奈氏穩(wěn)定判據(jù)在Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)中的應(yīng)用在波德圖或尼柯?tīng)査箞D上判別系統(tǒng)穩(wěn)定性奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)是用開(kāi)環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不僅能判斷系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且可根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定的概念，討論閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，指出改善系統(tǒng)性能的途徑。3/16/20232一、幅角定理：設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，其中： 為前向通道傳遞函數(shù)，為反饋通道傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，如下圖所示：令：則開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(a)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：……………(b)3/16/20233顯然，輔助方程即是閉環(huán)特征方程。其階數(shù)為n階，且分子分母同階。則輔助方程可寫成以下形式：。式中，為F(s)的零、極點(diǎn)。由上頁(yè)(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的極點(diǎn)為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)為閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；將閉環(huán)特征方程與開(kāi)環(huán)特征方程之比構(gòu)成一個(gè)輔助方程，得：……………..(c)3/16/20234F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對(duì)于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以在F(s)平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)，稱為在F(s)平面上的映射。同樣，對(duì)于s平面上任意一條不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對(duì)應(yīng)的封閉曲線（為的映射）。[例]輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見(jiàn)下圖：3/16/20235同樣我們還可以發(fā)現(xiàn)以下事實(shí)：s平面上曲線映射到F(s)平面的曲線為，如下圖：示意圖曲線是順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的，且包圍了F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0），不包圍其零點(diǎn)（-2）；曲線包圍原點(diǎn)，且逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)。再進(jìn)一步試探，發(fā)現(xiàn)：若順時(shí)針包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)（0）和一個(gè)零點(diǎn)（-2），則不包圍原點(diǎn)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)；若順時(shí)針只包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)（-2），則包圍原點(diǎn)且順時(shí)針運(yùn)動(dòng)。這里有一定的規(guī)律，就是下面介紹的柯西幅角定理。3/16/20236[柯西幅角定理]：s平面上不通過(guò)F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線包圍s平面上F(s)的z個(gè)零點(diǎn)和p個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)s以順時(shí)針?lè)较蜓胤忾]曲線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上相對(duì)應(yīng)于封閉曲線將以順時(shí)針?lè)较蚶@原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N圈。N，z，p的關(guān)系為：N=z-p。若N為正，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)；若N為0，表示順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，不包圍原點(diǎn)；若N為負(fù)，表示逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，包圍原點(diǎn)。3/16/20237二、奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)：對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。我們這里是應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開(kāi)環(huán)頻率特性是已知的。設(shè)想：如果有一個(gè)s平面的封閉曲線能包圍整個(gè)s右半平面，則根據(jù)柯西幅角定理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：當(dāng)已知開(kāi)環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時(shí)，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。3/16/20238這里需要解決兩個(gè)問(wèn)題：1、如何構(gòu)造一個(gè)能夠包圍整個(gè)s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N，并將它和開(kāi)環(huán)頻率特性相聯(lián)系？它可分為三部分：Ⅰ部分是正虛軸，Ⅱ部分是右半平面上半徑為無(wú)窮大的半圓；；Ⅲ部分是負(fù)虛軸，。第1個(gè)問(wèn)題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒(méi)有零、極點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蜃鲆粭l曲線包圍整個(gè)s右半平面，這條封閉曲線稱為奈魁斯特路徑。如下圖：ⅠⅡⅢ3/16/20239F(s)平面上的映射是這樣得到的：以代入F(s)并令從 變化，得第一部分的映射；在F(s)中取使角度由 ，得第二部分的映射；令從，得第三部分的映射。稍后將介紹具體求法。得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計(jì)算，式中： 是F(s)在s右半平面的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)。確定了N，可求出 。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。第2個(gè)問(wèn)題：輔助方程與開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系。我們所構(gòu)造的的輔助方程為，為開(kāi)環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：3/16/202310②F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(duì)(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對(duì)原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對(duì)應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。①由可求得，而是開(kāi)環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)時(shí)，，即F(s)=1。（對(duì)應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）3/7/202311F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ3/7/202312根據(jù)上面的的討論，如如果將柯西西幅角定理理中的封閉閉曲線取奈奈魁斯特路路徑，則可可將柯西幅幅角定理用用于判斷閉閉環(huán)控制系系統(tǒng)的穩(wěn)定定性。就是是下面所述述的奈魁斯斯特穩(wěn)定判判據(jù)。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有個(gè)極點(diǎn)，且開(kāi)環(huán)頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)包圍的次數(shù)為N，（N>0順時(shí)針，N<0逆時(shí)針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。若，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。[奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：在 平面上的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線極其映射當(dāng)從變化到時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞(-1,j0)點(diǎn)圈。對(duì)于開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是開(kāi)環(huán)頻率特性曲線極其映射不包圍(-1,j0)點(diǎn)。不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為：。3/7/202313[例5-6]開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為0，繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個(gè)數(shù)： 。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3/7/202314[例5-7]設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為-1，-1j2，都在s左半平面，所以。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時(shí)針圍繞(-1,j2)點(diǎn)2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點(diǎn)數(shù)為： ，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3/7/202315[例5-8]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和k的關(guān)系。-[解]：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個(gè)半徑為，圓心在的圓。顯然，k>=1時(shí)，包圍(-1,j0)點(diǎn)，k<1時(shí)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。由圖中看出：當(dāng)k>1時(shí)，奈氏曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，N=-1，而，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3/7/202316當(dāng)k=1時(shí)，奈氏氏曲線通通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，屬臨臨界穩(wěn)定定狀態(tài)。。當(dāng)k<1時(shí)，奈氏曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，N=0，，所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。上面討論論的奈魁魁斯特判判據(jù)和例例子，都都是假設(shè)設(shè)虛軸上上沒(méi)有開(kāi)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)，即開(kāi)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)都是0型的，，這是為為了滿足足柯西幅幅角定理理的條件件。但是是對(duì)于ⅠⅠ、Ⅱ型型的開(kāi)環(huán)環(huán)系統(tǒng)，，由于在在虛軸上上（原點(diǎn)點(diǎn)）有極極點(diǎn)，因因此不能能使用柯柯西幅角角定理來(lái)來(lái)判定閉閉環(huán)系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)定定性。為為了解決決這一問(wèn)問(wèn)題，需需要重構(gòu)構(gòu)奈魁斯斯特路徑徑。作業(yè)：5-6,5-7,5-83/7/202317三、奈魁魁斯特穩(wěn)穩(wěn)定判據(jù)據(jù)在Ⅰ、、Ⅱ型系系統(tǒng)中的的應(yīng)用：：具有開(kāi)環(huán)環(huán)0極點(diǎn)點(diǎn)系統(tǒng)，，其開(kāi)環(huán)環(huán)傳遞函函數(shù)為：：可見(jiàn)，在原點(diǎn)有重0極點(diǎn)。也就是在s=0點(diǎn)，不解析，若取奈氏路徑同上時(shí)（通過(guò)虛軸的整個(gè)s右半平面），不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)而仍然能包圍整個(gè)s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點(diǎn)為圓心，半徑為無(wú)窮小做右半圓。這時(shí)的奈氏路徑由以下四部分組成：3/7/202318Ⅰ部分：正虛軸，，Ⅱ部分為半徑為無(wú)窮大的右半圓；Ⅲ部分負(fù)虛軸，，Ⅳ部分為半徑為無(wú)窮小的右半圓，下面討論對(duì)于這種奈魁斯特路徑的映射：1、第Ⅰ和第Ⅲ部分：常規(guī)的奈氏圖，關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；3、第Ⅳ部分：(a)對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：ⅠⅡⅢⅣ3/7/202319(b)對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個(gè)圓（順時(shí)針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。3/7/202320[結(jié)論]用上述述形式的奈氏路路徑，奈氏判據(jù)據(jù)仍可應(yīng)用于ⅠⅠ、Ⅱ型系統(tǒng)。。[例5-9]設(shè)設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)開(kāi)環(huán)頻率特性如如下圖所示。開(kāi)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒(méi)有極極點(diǎn)，試用奈氏氏判據(jù)判斷閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。。[解]：顯然這這是1型系統(tǒng)。。先根據(jù)奈氏路路徑畫出完整的的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，逆時(shí)針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3/7/202321[例5-10]某Ⅱ型系統(tǒng)的的開(kāi)環(huán)頻率特性性如下圖所示示，且s右半平面無(wú)極點(diǎn)點(diǎn)，試用奈氏判判據(jù)判斷閉環(huán)系系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：首先畫畫出完整的奈氏氏曲線的映射曲曲線。如右圖：：從圖上可以看出：映射曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3/7/202322[特殊情況]：：1、若開(kāi)環(huán)系系統(tǒng)在虛軸上有有極點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)應(yīng)將奈氏路徑做做相應(yīng)的改變。。如下圖：以極點(diǎn)為圓心，做做半徑為無(wú)窮小小的右半圓，使使奈氏路徑不通通過(guò)虛軸上極點(diǎn)點(diǎn)（確保滿足柯柯西幅角定理?xiàng)l條件），但仍能能包圍整個(gè)s右半平面。映射射情況，由于較較復(fù)雜，略。2、如果開(kāi)環(huán)頻頻率特性曲線通通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，說(shuō)明閉環(huán)系系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)穩(wěn)定狀態(tài)，閉環(huán)環(huán)系統(tǒng)在虛軸上上有極點(diǎn)。3/7/202323通常，只畫出的開(kāi)環(huán)奈氏圖，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)為：。式中，為變化時(shí)，開(kāi)環(huán)奈氏圖順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)。不包圍(-1,j0)點(diǎn)，0型系統(tǒng)包圍(-1,j0)點(diǎn)，Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的奈魁斯特路徑分別為：3/7/202324這時(shí)奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在右半平面的極點(diǎn)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)從 時(shí)，頻率特性曲線在實(shí)軸段的正負(fù)穿越次數(shù)差為。頻率特性曲線對(duì)(-1,j0)點(diǎn)的包圍情況可用頻率特性的正負(fù)穿越情況來(lái)表示。當(dāng)增加時(shí)，頻率特性從上半s平面穿過(guò)負(fù)實(shí)軸的段到下半s平面，稱為頻率特性對(duì)負(fù)實(shí)軸的段的正穿越（這時(shí)隨著的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)。反之稱為負(fù)穿越。正穿越負(fù)穿越3/7/202325四、在在對(duì)數(shù)數(shù)坐標(biāo)標(biāo)圖上上判斷斷系統(tǒng)統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性性：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（奈氏圖）和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波德圖）有如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的零分貝線； 。2、奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的-180度相位線。奈氏圖頻率特性曲線在上的正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過(guò)-180度相位線稱為正穿越。因?yàn)橄嘟侵翟黾恿?。反之稱為負(fù)穿越。3/7/202326對(duì)照?qǐng)D圖如下下：正穿越負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越相角方向?yàn)檎黾訒r(shí)，相角增大對(duì)數(shù)坐坐標(biāo)圖圖上奈奈氏穩(wěn)穩(wěn)定判判據(jù)如如下：：設(shè)開(kāi)環(huán)頻率特性在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)