2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（模擬）數(shù)學(xué)2023.2注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則下列集合為空集的是（）A．B．C．D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，則的虛部是（）A．B．C．1D．3．某工廠隨機(jī)抽取20名工人，對(duì)他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)如下表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）件數(shù)7891011人數(shù)37541A．8.5B．9C．9.5D．104．已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．5．“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）．如圖，直角梯形，已知，則其重心到的距離為（）A．B．C．D．17．已知，則（）A．B．C．D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，且，則的離心率為（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知為定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式可以為（）A．B．C．D．10．已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A．線段長(zhǎng)的最大值為6B．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，C．以線段為直徑的圓不可能過原點(diǎn)D．的最大值為2011．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．B．延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則三點(diǎn)共線C．D．若平分，則12．已知正方體的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則（）A．直線是異面直線B．平面截正方體所得截面的面積為C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時(shí)，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測(cè)量10000株水稻，株高在的約有_______．（若，）14．的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_______．15．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則________．16．已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且，則的最小值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．18．（12分）為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，已知所有學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間，從中隨機(jī)抽取1000名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若此次活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生占參賽總?cè)藬?shù)30%，試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；（2）采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績(jī)不低于80的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，記成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，是與的等差中項(xiàng)，為的前項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式及；（2）集合為正整數(shù)集的某一子集，對(duì)于正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得，則，否則．記數(shù)列滿足求的前20項(xiàng)和．20．（12分）如圖，三棱錐，平面平面，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）若，求直線與平面所成角的正弦值；（2）若，求的長(zhǎng)．21．（12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是，點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，證明：的面積為定值．22．（12分）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；（2）證明：有且只有兩條直線與函數(shù)的圖象都相切．2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（模擬）數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023.2說明：一、本解答只給出了一種解法供參考，如考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)酌情賦分．二、當(dāng)考生的解答在某一步出錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改該題的內(nèi)容與難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確答案應(yīng)得分?jǐn)?shù)一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤或又出現(xiàn)錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．B2．D3．C4．C5．A6．C7．B8．D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．BD10．ABD11．AB12．ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．．15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：（1）由正弦定理得：，2分所以，即，所以，所以．4分（2）由余弦定理得：，即，6分所以，即．8分又，．10分18．解：（1）根據(jù)直方圖可知，成績(jī)?cè)诘念l率為，大于0.3，成績(jī)的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于之間．2分設(shè)分?jǐn)?shù)線為，使得成績(jī)?cè)诘母怕蕿?.3，即，可得，4分所以獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線劃定為82．5分（2）應(yīng)從和兩組內(nèi)分別抽取5人和2人，6分則的可能取值為0，1，2，7分，，，10分的分布列為012∴數(shù)學(xué)期望．12分19．解：（1）設(shè)的公比為是與的等差中項(xiàng)，，，2分，4分．6分（2）由題意知，，又，，即，8分故．又，10分11分．12分20．解：取得中點(diǎn)，由于，因此，又∵平面平面平面．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．1分，則．2分（1）當(dāng)時(shí)，，3分取平面的一個(gè)法向量為，4分，5分設(shè)直線與平面所成的角為，，∴直線與平面所成角的正弦值為．6分（2）由題意知．7分又，8分．9分即，10分在中，，．12分21．解：（1）由題意知，2分化簡(jiǎn)整理得曲線的軌跡方程為．4分（2）證明：設(shè)，由題意知．由，可知分別為的中點(diǎn)，所以，．5分由得，6分．同理，所以都在直線上．7分由得，8分又因?yàn)橹本€過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，9分又點(diǎn)到直線的距離，10分所以，．11分又，故．所以的面積為定值．12分22．（1）解：顯然，恒成立，即恒成立．1分只要恒成立，即恒成立，即恒成立．2分當(dāng)時(shí)，上式顯然成立，故上式恒成立，只需滿足時(shí)恒成立即可．3分設(shè)，則上式化為而，可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．因此（*）式恒成立，只需恒成立，4分即對(duì)恒成立．于是恒成立，即．5分設(shè)，則，可得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，于是，∴實(shí)數(shù)的最小值為．6分（2）證明：設(shè)直線分別切的圖象于點(diǎn)，由可得，得的方程為，即．