絕密★考試結(jié)束前湖北省高中名校聯(lián)合體2022~2023學(xué)年第二學(xué)期高三診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試題卷共5頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上相應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.★?？荚図樌镆弧雾?xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選、不選、多選均不得分.1.已知，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.2.歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，是英國(guó)科學(xué)期刊《物理世界》評(píng)選出的十大最偉大的公式之一.根據(jù)歐拉公式可知，復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C. D.3.如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.4.已知是方程的兩根，有以下四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。?如果其中只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動(dòng)點(diǎn)M從B1點(diǎn)出發(fā)，在正方體表面沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周后，再回到B1的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M與平面A1DC1的距離保持不變，運(yùn)動(dòng)的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.6.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.7.已知，，．若，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.8.對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題意，全選得5分，漏選得2分，錯(cuò)選、不選均不得分.9.已知隨機(jī)變量的取值為不大于的非負(fù)整數(shù)，它的概率分布列為……其中滿足，且．定義由生成的函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，為隨機(jī)變量的期望．現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體型骰子，四個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4個(gè)點(diǎn)數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點(diǎn)數(shù)之和為，此時(shí)由生成的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.10.已知定義在上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定正確的是（）A. B.C. D.11.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.線段長(zhǎng)度的取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為D.設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn)（其中在的上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線于點(diǎn).則（）A.若，則直線的斜率為BC.若是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為D.若不是線段的三等分點(diǎn)，則一定有三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.正三角形中，為中點(diǎn)，為三角形內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為______.14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為___________.15.已知集合，對(duì)于集合的兩個(gè)非空子集，，若，則稱為集合的一組“互斥子集”.記集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為（視與為同一組“互斥子集”）.那么______.16.已知關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.18.如圖，在幾何體中，平面平面，.四邊形為矩形.在四邊形中，，，.（1）點(diǎn)在線段上，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.19.若正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意的，都有成立，求的最大值.20.某企業(yè)計(jì)劃新購(gòu)買100臺(tái)設(shè)備，并將購(gòu)買的設(shè)備分配給100名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益也不同.若用變量x表示不同技工的年齡，變量y為相應(yīng)的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，他們的工作效益滿足最小二乘法，且y關(guān)于x的線性回歸方程為.（1）試預(yù)測(cè)一名年齡為52歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益；（2）試根據(jù)r的值判斷使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性不強(qiáng)）；（3）若這批設(shè)備有A，B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬(wàn)元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬(wàn)元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬(wàn)元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.21.已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．22.已知函數(shù).（1）討論極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明:.絕密★考試結(jié)束前湖北省高中名校聯(lián)合體2022~2023學(xué)年第二學(xué)期高三診斷性考試數(shù)學(xué)試題本試題卷共5頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上相應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.★?？荚図樌镆弧雾?xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意，錯(cuò)選、不選、多選均不得分.1.已知，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B2.歐拉公式（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為虛數(shù)單位）是瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，是英國(guó)科學(xué)期刊《物理世界》評(píng)選出的十大最偉大的公式之一.根據(jù)歐拉公式可知，復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C. D.【答案】C3.如圖，在三棱錐，是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】B4.已知是方程的兩根，有以下四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。?如果其中只有一個(gè)假命題，則該命題是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B5.如圖為正方體ABCD﹣A1B1C1D1，動(dòng)點(diǎn)M從B1點(diǎn)出發(fā)，在正方體表面沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周后，再回到B1的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M與平面A1DC1的距離保持不變，運(yùn)動(dòng)的路程x與l＝MA1+MC1+MD之間滿足函數(shù)關(guān)系l＝f（x），則此函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C6.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D7.已知，，．若，則的最小值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D8.對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題意，全選得5分，漏選得2分，錯(cuò)選、不選均不得分.9.已知隨機(jī)變量的取值為不大于的非負(fù)整數(shù)，它的概率分布列為……其中滿足，且．定義由生成的函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，為隨機(jī)變量的期望．現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的正四面體型骰子，四個(gè)面分別標(biāo)有1，2，3，4個(gè)點(diǎn)數(shù)，這枚骰子連續(xù)拋擲兩次，向下點(diǎn)數(shù)之和為，此時(shí)由生成的函數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】CD10.已知定義在上的函數(shù)滿足，則下列不等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD11.如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，過(guò)的截面與棱、分別交于點(diǎn)、，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.線段長(zhǎng)度取值范圍是C.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四棱錐的體積為D.設(shè)截面、、的面積分別為、、，則的最小值為【答案】BC12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于兩點(diǎn)（其中在的上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線于點(diǎn).則（）A.若，則直線的斜率為B.C.若是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為D.若不是線段的三等分點(diǎn)，則一定有【答案】ABC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.正三角形中，為中點(diǎn)，為三角形內(nèi)滿足的動(dòng)點(diǎn)，則最小值為______.【答案】14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得，則雙曲線離心率取值范圍范圍為___________.【答案】15.已知集合，對(duì)于集合的兩個(gè)非空子集，，若，則稱為集合的一組“互斥子集”.記集合的所有“互斥子集”的組數(shù)為（視與為同一組“互斥子集”）.那么______.【答案】四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知及余弦定理可推出,利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)可得，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的結(jié)論將邊化角，結(jié)合三角恒等變換可得，由基本不等式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】證明：在中，由已知及余弦定理，得，即,由正弦定理，得，又，故.∵，∴,∵，∴，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，∴，，由（1），得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.18.如圖，在幾何體中，平面平面，.四邊形為矩形.在四邊形中，，，.（1）點(diǎn)在線段上，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）點(diǎn)在線段上，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.【答案】（1）存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為（2）【解析】【分析】（1）由題知平面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線求解即可；（2）結(jié)合（1）得平面的法向量，設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合空間向量求線面角即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面不妨設(shè)，則.以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)D與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，所以，.因?yàn)椋?，解?故存在實(shí)數(shù)，使得，且的值為【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)平面的法向量，則，即，不妨取，則.設(shè)，，則，.直線與平面所成的角為，則.…令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以.故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為.19.若正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意的，都有成立，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可推得，由此利用累加法求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，化簡(jiǎn)并結(jié)合基本不等式可推出，繼而判斷數(shù)列的單調(diào)性，可得，結(jié)合對(duì)于任意的，都有成立，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，且，解得，（舍去），，，化簡(jiǎn)可得時(shí)，，，，，，，累加可得，，又，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以，又因?yàn)?，所以，所以，，，時(shí)，適合該式，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，（此處不等關(guān)系是因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，故上式中等號(hào)取不到），，，因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以?shù)列是遞減數(shù)列，所以，因?yàn)?，都有成立，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列的函數(shù)特性，屬于較難題，解答時(shí)要注意：（1）利用累加法求出，再由與的關(guān)系求解；（2）利用基本不等式得，再證明數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，根據(jù)單調(diào)性求解.20.某企業(yè)計(jì)劃新購(gòu)買100臺(tái)設(shè)備，并將購(gòu)買的設(shè)備分配給100名年齡不同（視為技術(shù)水平不同）的技工加工一批模具，因技術(shù)水平不同而加工出的產(chǎn)品數(shù)量不同，故產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益也不同.若用變量x表示不同技工的年齡，變量y為相應(yīng)的效益值（元），根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，他們的工作效益滿足最小二乘法，且y關(guān)于x的線性回歸方程為.（1）試預(yù)測(cè)一名年齡為52歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益；（2）試根據(jù)r的值判斷使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性不強(qiáng)）；（3）若這批設(shè)備有A，B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02，0.03.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本不增加；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬(wàn)元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬(wàn)元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬(wàn)元.求這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，，.【答案】（1）元（2）很強(qiáng)（3）萬(wàn)元【解析】【分析】（1）將代入線性回歸方程,即可求解.（2）結(jié)合相關(guān)系數(shù)的公式,即可求解.（3）設(shè)增加的生產(chǎn)成本為（萬(wàn)元），則所有可能取值為,分別求出對(duì)應(yīng)的概率,再結(jié)合期望公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，.所以預(yù)測(cè)一名年齡為歲的技工使用該設(shè)備所產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益為元【小問(wèn)2詳解】由題得，所以，所以.因?yàn)椋耘c線性相關(guān)性很強(qiáng).所以使用該批設(shè)備的技工人員所產(chǎn)生的的效益與技工年齡的相關(guān)性強(qiáng).【小問(wèn)3詳解】設(shè)增加的生產(chǎn)成本為（萬(wàn)元)，則的可能取值為，，，.，，，.所以（萬(wàn)元)，所以這批設(shè)備增加的生產(chǎn)成本的期望為萬(wàn)元.21.已知橢圓一個(gè)頂點(diǎn)，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時(shí)，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)及四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)，故，因?yàn)樗膫€(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢