2023屆高三下期入學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的模是（）A. B. C. D.22.已知集合，則（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.4.已知函數(shù)．若，，．則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.5.若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.6.函數(shù)和（，，）的部分圖象如圖所示，則不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，有如下命題：①將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；②將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；③與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；④與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則上述命題中正確的序號(hào)是（）A.②③ B.②④ C.①③ D.①④8.已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.9.在正項(xiàng)數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足，則（）A.72 B.80 C.90 D.8210.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A. B.2 C. D.811.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且的最小值為6，下列錯(cuò)誤的是（）A.該雙曲線的方程為 B.若，則直線PQ的斜率為C.的最小值為25 D.面積的最小值為1212.某市有四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來(lái)該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量表示該游客游覽的景點(diǎn)個(gè)數(shù)，錯(cuò)誤的是（）A.該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為 B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.復(fù)數(shù)z的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的模為2，則復(fù)數(shù)_______________.14.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為9，則a的值為_(kāi)_____．15.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則b=______．16.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑．已知在鱉臑中，平面ABC，．M為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面MAB的距離為_(kāi)_____．三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．18.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（1）求角B的大?。唬?）若，設(shè)面積為S，滿足，求b的值．19.如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上，若平面，求的值.20.國(guó)家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文、理科，采用模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專(zhuān)業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物門(mén)科目中自選門(mén)參加考試（選），每科目滿分分．為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)名學(xué)生（其中男生人，女生人）中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．（1）已知抽取的名學(xué)生中有女生人，求的值及抽取到的男生人數(shù)；（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的物理和地理兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假設(shè)每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)，說(shuō)明理由；（3）在抽取的選擇地理的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法再抽取名學(xué)生，然后從這名學(xué)生中抽取名學(xué)生了解學(xué)生對(duì)地理的選課意向情況，求名學(xué)生中至少有名男生的概率．選擇物理選擇地理總計(jì)男生女生總計(jì)參考數(shù)據(jù)及公式：，其中．21.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于?兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線上異于?的一點(diǎn)，且直線?的斜率?均存在，求證：為定值；（3）若過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.已知函數(shù)，是導(dǎo)數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．I.當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（）處切線方程；II.若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2023屆高三下期入學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的模是（）A. B. C. D.2【答案】A2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A3.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A4.已知函數(shù)．若，，．則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D5.若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】D6.函數(shù)和（，，）的部分圖象如圖所示，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B7.已知函數(shù)，有如下命題：①將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；②將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象；③與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；④與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則上述命題中正確的序號(hào)是（）A.②③ B.②④ C.①③ D.①④【答案】D8.已知AB是的直徑，C，D是半圓弧AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A9.在正項(xiàng)數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足，則（）A.72 B.80 C.90 D.82【答案】A10.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則（

）A. B.2 C. D.8【答案】C11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于P，Q兩點(diǎn)，且的最小值為6，下列錯(cuò)誤的是（）A.該雙曲線的方程為 B.若，則直線PQ的斜率為C.的最小值為25 D.面積的最小值為12【答案】B12.某市有四個(gè)景點(diǎn)，一位游客來(lái)該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽的概率都是，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立．用隨機(jī)變量表示該游客游覽的景點(diǎn)個(gè)數(shù)，錯(cuò)誤的是（）A.該游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率為 B.C. D.【答案】C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.復(fù)數(shù)z的虛部為，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量的模為2，則復(fù)數(shù)_______________.【答案】或14.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為9，則a的值為_(kāi)_____．【答案】115.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則b=______．【答案】316.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)為鱉臑．已知在鱉臑中，平面ABC，．M為PC的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面MAB的距離為_(kāi)_____．【答案】三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立．①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析【解析】【分析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：待定系數(shù)法+與關(guān)系式設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡(jiǎn)得對(duì)于恒成立．則有，解得．所以．選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)?，所以是等差?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：定義法設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)椋?，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：求解通項(xiàng)公式因?yàn)?，所以，，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【整體點(diǎn)評(píng)】這類(lèi)題型在解答題中較為罕見(jiàn)，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，平方后得到的關(guān)系式，利用得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出與的公差，寫(xiě)出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，，進(jìn)而得到；選①③時(shí)，按照正常的思維求出公差，表示出及，進(jìn)而由等差數(shù)列定義進(jìn)行證明；選②③時(shí)，法一：利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，直接設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.18.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（1）求角B的大??；（2）若，設(shè)的面積為S，滿足，求b的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）切化弦后由正弦定理化邊為角，并利用兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形可得角大?。唬?）由三角形面積公式得，再由正弦定理可求得．【小問(wèn)1詳解】由，得，根據(jù)正弦定理，得．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以，則．【小問(wèn)2詳解】由，得．又由正弦定理得，所以，解得．19.如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上，若平面，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件可證，，從而得到平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則可用表示，再根據(jù)其與平面的法向量垂直可得的值.【詳解】（1）證明：∵在三棱柱中，平面，因?yàn)槠矫?，故，同?因?yàn)?，故四邊形為菱形，?因?yàn)?，故，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平?（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上.設(shè)，，，則，，，即，，解得，，，∵平面，∴，解得.∴的值為.20.國(guó)家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文、理科，采用模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專(zhuān)業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物門(mén)科目中自選門(mén)參加考試（選），每科目滿分分．為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)名學(xué)生（其中男生人，女生人）中，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．（1）已知抽取的名學(xué)生中有女生人，求的值及抽取到的男生人數(shù)；（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的物理和地理兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)在（1）的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假設(shè)每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)，說(shuō)明理由；（3）在抽取的選擇地理的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法再抽取名學(xué)生，然后從這名學(xué)生中抽取名學(xué)生了解學(xué)生對(duì)地理的選課意向情況，求名學(xué)生中至少有名男生的概率．選擇物理選擇地理總計(jì)男生女生總計(jì)參考數(shù)據(jù)及公式：，其中．【答案】（1），抽到的男生人數(shù)為人；（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)，理由見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用分層抽樣可得出關(guān)于的等式，可求得的值，利用抽樣比乘以男生的總?cè)藬?shù)可得到抽到的男生人數(shù)；（2）結(jié)合題中信息完善列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（3）從名選擇地理的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取名學(xué)生，這名學(xué)生中有名男生，名女生，設(shè)男生編號(hào)為、，女生編號(hào)為、、、，列舉出所有的基本事件，并列舉出事件“所抽取的名學(xué)生中至少有名男生”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由題意得，，解得，則男生人數(shù)為；（2）列聯(lián)表如下：選擇物理選擇地理總計(jì)男生女生總計(jì)，所以有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)；（3）從名選擇地理的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取名學(xué)生，則這名學(xué)生中有名男生，名女生，設(shè)男生編號(hào)為、，女生編號(hào)為、、、，從名學(xué)生中抽取名學(xué)生，所有可能的結(jié)果為，共種可能的結(jié)果，至少有一名男生的結(jié)果為，共種可能的結(jié)果，所以名學(xué)生中至少有名男生的概率．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的方法有如下幾種：（1）列舉法；（2）樹(shù)狀圖法；（3）列表法；（4）排列組合數(shù)公式的應(yīng)用.21.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于?兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線上異于?的一點(diǎn)，且直線?的斜率?均存在，求證：為定值；（3）若過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）利用雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，建立方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，由點(diǎn)A,P在雙曲線上可得，，代入中化簡(jiǎn)即可；(3）先假設(shè)存在定點(diǎn)M，使MAMB恒成立，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積為0，求得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：解得：∴