習(xí)題八

8-1電量都是q的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn).試問：（1）

在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡

（即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫侖力之和都為零）？（2）這種平衡與三角形

的邊長有無關(guān)系？

解：如題8-1圖示

（1）以A處點(diǎn)電荷為研究對象，由力平衡知：/為負(fù)電荷

2—!—^cos30°=———菖—

47t%a4ne0J3,2

解得

(2)與三角形邊長無關(guān).

8-2兩小球的質(zhì)量都是都用長為/的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電

量，靜止時(shí)兩線夾角為2。，如題8-2圖所示.設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可

以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量.

解：如題8-2圖示

Tcos0=mg

1

TsinO=Fe

4兀4(2/sin6)2

解得q=21sin44=gtan6

8-3根據(jù)點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E=」一當(dāng)被考察的場點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近（r

4^0r

一0）時(shí)，則場強(qiáng)一8,這是沒有物理意義的，對此應(yīng)如何理解?

解：后僅對點(diǎn)電荷成立，當(dāng)rr0時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電

4n￡0r

荷，再用上式求場強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶

電體上的分布求出的場強(qiáng)不會是無限大.

8-4在真空中有A,8兩平行板，相對距離為d,板面積為S,其帶電量分

2

別為+4和-4.則這兩板之間有相互作用力f,有人說f=-,又有人

4兀￡/-

說，因?yàn)閒=qE,E=〃~,所以/=口.試問這兩種說法對嗎?為什么？

￡（）S￡0S

f到底應(yīng)等于多少？

解：題中的兩種說法均不對.第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對

的，第二種說法把合場強(qiáng)E=看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場強(qiáng)

￡（）S

也是不對的.正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場為后=一9一，另一板受它的作用

24S

力/="'一="一,這是兩板間相互作用的電場力.

2%S2snS

8-5一電偶極子的電矩為p=qT,場點(diǎn)到偶極子中心0點(diǎn)的距離為r,矢量了

與/的夾角為6,（見題8-5圖），且一>>/.試證映的場強(qiáng)E在r方向上的分

量Er和垂直于r的分量E〃分別為

pcosOpsin。

「罰尸’廣布了

證：如題8-5所示，將萬分解為與尸平行的分量psin。和垂直于干的分量

psine.

r?/

，場點(diǎn)P在r方向場強(qiáng)分量

PCOS0

E,

2兀q/3

垂直于r方向，即6方向場強(qiáng)分量

「psinO

題8-5圖

8-6長/=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度A=5.0x10-9C?m'的

正電荷.試求：(1)在導(dǎo)線的延長線上與導(dǎo)線B端相距q=5.0cm處尸點(diǎn)的場強(qiáng);

(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距乙=5.0cm處。點(diǎn)的場強(qiáng).

解：如題8-6圖所示

(1)在帶電直線上取線元dx,其上電量dq在P點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)為

dEp=—1——

4兀4(a—x)~

Adx

Ep=JdEp=

47l6,0(a—x)2

Al

2

兀4(4〃2-/)

用/=15cm,A=5.0x109Cm-1,a=12.5cm代入得

2-1

EP=6.74xl0N-C方向水平向右

(2)同理dE0=-------廠二方向如題8-6圖所示

471^Qx+d)

由于對稱性jd￡&v=0,即后°只有y分量,

1air

d%=

4兀4/+d；西+d2

2

dx

T

2（/+擊）2

Al

2%）J/?+4d：

-1

以4=5.0x10"C-cm,/=15cm,d2=5cm代入得

21

￡e=￡ev=14.96xlON-C-,方向沿y軸正向

8-7一個(gè)半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為人，求環(huán)心處O點(diǎn)的場

強(qiáng).

解：如8-7圖在圓上取d/=Rd”

dq=Adi=RAdtp,它在O點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)大小為

dE='"d。方向沿半徑向外

2

4ne0R

A

則dE-dEsincp-sin喝°

x47r4R

-4

dE.,=dEcos(/r-0)=-----cos6od69

4兀

積分￡\=f---sin”!。=---

」)471^/?2兀

產(chǎn)一A

-----cos0d0=0

4b4兀

2

E=E=-----，方向沿x軸正向.

x2?！辏ǎ??

8-8均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長為/,總電量為4.（1）求這正方形軸

線上離中心為r處的場強(qiáng)E；（2）證明：在『>>/處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷q產(chǎn)生

的場強(qiáng)

解：如8-8圖示，正方形一條邊上電荷（在尸點(diǎn)產(chǎn)生場強(qiáng)d后p方向如圖，大

小為

COS%=-COS。］

d^p在垂直于平面上的分量=dEpcos?

題8-8圖

由于對稱性，P點(diǎn)場強(qiáng)沿OP方向，大小為

4協(xié)

Ep=4xdf±=

________qr

EP=方向沿。尸

2

47t%（/+：）//+/

2

8-9(1)點(diǎn)電荷4位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場中穿

過立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場源點(diǎn)電荷移動到該立方體的一個(gè)

頂點(diǎn)匕這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在

點(diǎn)電荷q的電場中取半徑為R的圓平面.q在該平面軸線上的A點(diǎn)處，求:

通過圓平面的電通量.(a=arctanA)

x

解：⑴由高斯定理

立方體六個(gè)面，當(dāng)夕在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等

...各面電通量①

6%

⑵電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長2。的立方體，使q處于邊長2。的

立方體中心，則邊長2a的正方形上電通量①,=〃-

6?

對于邊長。的正方形，如果它不包含所在的頂點(diǎn)，則①,，=」一

24%

如果它包含4所在頂點(diǎn)則①e=0.

⑶通過半徑為R的圓平面的電通量等于通過半徑為yjR2+x2的球冠面

的電通量，球冠面積*

V

5=2兀(/;2+/)口_]

^R2+X2

中="---------[1__x]

￡?4n(/?2+x2)2%J/?2+/

*關(guān)于球冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖

5=2"sina?rda

=2Tlz2Jsinada

=27tr2(l-cosa)

8-10均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm,外半徑10cm,電荷體密度為2X10一‘C?m

求距球心5cm,8cm,12cm各點(diǎn)的場強(qiáng).

解：高斯定理（（瓦（1?=立，￡4"2

?44

當(dāng)r=5cm時(shí)，，q=0,后=0

、、/I

r=8cm時(shí)，>=夕7(/_4)

P”(f)

3

E=—?3.48X104N-C-1,方向沿半徑向外.

4兀

r=12cmDt,=(以一G

4兀/

P.［「外3

E=———2-?4.10xl0^N.C-沿半徑向外.

4ns0r

8-11半徑為鳥和我2（/?2＞與）的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別

帶有電量4和-4,試求：（Dr＜&;（2）招＜「＜/?2；⑶「＞此處各點(diǎn)

的場強(qiáng).

解：高斯定理4后.dS=￥

取同軸圓柱形高斯而，側(cè)面積5=2?！?/p>

則《后*=E2nrl

對⑴r</?,>=0，￡=。

⑵/?!<r<R2￡夕=/%

2

???E=-----沿徑向向外

2兀

（3）r>R2￡q=0

E=0

題8-12圖

8-12兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為％和er2,

試求空間各處場強(qiáng).

解：如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為必與er2，

-1

兩面間，E=—一cr,）萬

2分

_1

?面外，E=------（CT|+。2）五

2%

一1

。2面夕卜，E=---（CF]+02）力

2%

n：垂直于兩平面由6面指為外面.

8-13半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為夕，若在球內(nèi)挖去一塊半

徑為r<R的小球體，如題8T3圖所示.試求：兩球心。與。'點(diǎn)的場強(qiáng)，

并證明小球空腔內(nèi)的電場是均勻的.

解：將此帶電體看作帶正電0的均勻球與帶電一2的均勻小球的組合，見

題8T3圖（a）.

（1）+。球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場Go=o,

43

兀廠p

-p球在。點(diǎn)產(chǎn)生電場E20=」——T00'

203

4nc0d

-廠30----

???。點(diǎn)電場七。=——00,；

34d

4-J3

—7idp____

(2)+0在。'產(chǎn)生電場居。,=￡——-00'

47c6-0d'

一夕球在O'產(chǎn)生電場與0,二0

O'點(diǎn)電場Eff=-^-OO'

(3)設(shè)空腔任一點(diǎn)P相對O'的位矢為尸，相對。點(diǎn)位矢為尸(如題873(b)

圖)

則

F討

啜任-尸)嗤而喂

.??腔內(nèi)場強(qiáng)是均勻的.

8-14一電偶極子由q=L0X10A：的兩個(gè)異號點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離

d=0.2cm,把這電偶極子放在LOXIOW，”的外電場中，求外電場作用于

電偶極子上的最大力矩.

解：V電偶極子P在外場E中受力矩

M=pxE

???"max=PE=q/E代入數(shù)字

“max=l.OxlO-6x2xio_3xl.OxlO5=2.0x1O-4N-m

S

8-15兩點(diǎn)電荷的=L5X10'C,92=3.0X10C,相距八=42的，要把它們之

間的距離變?yōu)?=255,需作多少功？

解：A=「戶"=「^<=如（!一，）

丸￡例￡or-4ne0r,r2

=-6.55x10-6j

外力需作的功A,'--A—-6.55x106J

題8-16圖

8-16如題8T6圖所示，在A,8兩點(diǎn)處放有電量分別為+g,-4的點(diǎn)電荷,

AB間距離為2A,現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷備從。點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到C點(diǎn)，

求移動過程中電場力作的功.

解：如題8-16圖示

1（4q）=q

4?！辍?RR6TI￡（）R

A=%)。0一〃)=q“q

6rtE0R

8-17如題877圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為/的正電荷，兩直

導(dǎo)線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心。點(diǎn)處的場強(qiáng)和電勢.

解：(D由于電荷均勻分布與對稱性，A8和CO段電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)

互相抵消，取d/=Rd。

則dq=/lRd。產(chǎn)生。點(diǎn)dE如圖，由于對稱性，。點(diǎn)場強(qiáng)沿y軸負(fù)方向

rf

E邛紇cosO

2

L；4it￡0R

A

[sin(--)-sin-]

4兀22

—A,

271^/?

(2)AB電荷在。點(diǎn)產(chǎn)生電勢，以。8=0

U、=---=I---------=-------m2

心4兀4工"4兀工471^

同理CQ產(chǎn)生U,=-^—ln2

~471^0

兀7?丸_2

半圓環(huán)產(chǎn)生

4兀47?4%

2j

U。/+，+〃=-----ln2+—

%44%

8-18?電子繞一帶均勻電荷的長直導(dǎo)線以2X10'm?s'的勻速率作圓周運(yùn)

動.求帶電直線上的線電荷密度.（電子質(zhì)量相。=9.IX10"kg,電子電量

^=1.60X10l9C）

解：設(shè)均勻帶電直線電荷密度為2,在電子軌道處場強(qiáng)

E=—^—

27t￡Qr

電子受力大小

.ekv2

??---------m—

2jt￡Qrr

得人生紐竺工12.5x10*一

e

8-19空氣可以承受的場強(qiáng)的最大值為E=30kV?cm'，超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣

要發(fā)生火花放電.今有一高壓平行板電容器，極板間距離為d=O.5cm,求此

電容器可承受的最高電壓.

解：平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場

U=Ed=1.5x10、

8-20根據(jù)場強(qiáng)后與電勢U的關(guān)系后=-\7。，求下列電場的場強(qiáng)：（1）點(diǎn)電

荷4的電場；（2）總電量為q,半徑為R的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*（3）偶

極子p=q/的r>>/處（見題8-20圖）.

PS8)

解：（1）點(diǎn)電荷U=—!—題8-20圖

4ns0r

...它=~70=—~^0痣為r方向單位矢量.

dr°4兀獷°

(2)總電量q,半徑為火的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢

U=

4s2+x2

dUv_qx

24?！闛（/?2+/『2

(3)偶極子p=ql在r?/處的一點(diǎn)電勢

q〔1_____________]qlcos0

U=

4"%（r-gcos。）（1+geos6）4兀4廠2

「dUpcosd

LL,.-------------------------■

,

dr2n￡nr

\dU_psind

r504?！辏?3

8-21證明：對于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來說，(1)相

向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反：(2)相背的兩面上，

電荷的面密度總是大小相等而符號相同.

證：如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體A、B的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度

依次為6，a2,(r3,CT4

題8-21圖

(1)則取與平面垂直且底面分別在A、5內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有

J后>dS=(<T2+f3)AS=0

cr2+(T3=0

說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反；

(2)在A內(nèi)部任取一點(diǎn)P,則其場強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)

生的場強(qiáng)疊加而成的，即

(7]cr,o~

24=0

2s02s02s02%

又：cr2+cr3=0

??b]=

說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同.

8-22三個(gè)平行金屬板4,8和C的面積都是200cmIA和8相距4.0mm,A

與C相距2.0mm.B,C都接地，如題8-22圖所示.如果使A板帶正電3.0

X10"C,略去邊緣效應(yīng)，向8板和C板匕的感應(yīng)電荷各是多少？以地的電勢

為零，則A板的電勢是多少？

解：如題8-22圖示，令4板左側(cè)面電荷面密度為必，右側(cè)面電荷面密度為

%

JCi,ALB

題8-22圖

⑴???即

**^AC^AC=^AB^AB

?_EAC

??———乙

EAB_d^AA_C_0

且巧+。2=等*3

丁_2(

得

_3S'?—3S

而7

qc=-b|S==-2x10C

7

qB=-<72S=-1X10-C

⑵UA=EACdAC=^dAC=2.3x10^

￡o

8-23兩個(gè)半徑分別為與和/?2(/<&)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼

帶電+q,試計(jì)算：

⑴外球殼上的電荷分布及電勢大??；

(2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及

電勢；

*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變

量.

解：(D內(nèi)球帶電+4；球殼內(nèi)表面帶電則為-g,外表面帶電為+4，且均

勻分布，其電勢

題8-23圖

u山g-

拓丸4兀4廠4兀//?

⑵外殼接地時(shí)，外表面電荷+q入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為

-q.所以球殼電勢由內(nèi)球+與內(nèi)表面一夕產(chǎn)生：

U=-4----------4—=0

兀名為

4TT6,0/?24

⑶設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為/；則外殼內(nèi)表面帶電量為一9'，外殼外表面帶

電量為-4+q'(電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼電勢為零，且

“3----------=o

TIO兀

4￡R]44/?24ns0R2

得，=?q

K2

外球殼上電勢

r,q'q'「q+q'(R「R為

UB=------------------------------1--------------=--------------Z-

4兀々??24兀/??2471//?24K6：0/?2

8-24半徑為R的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為

d=3R處有一點(diǎn)電荷+q,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量.

解：如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為/,則球接地時(shí)電勢〃。=0

山電勢疊加原理有：

3"帚

8-25有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1,2帶有等量同號電荷，相距甚遠(yuǎn)，

其間的庫侖力為試求：

(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1,2后移去，小球1,2之間的庫

侖力；

(2)小球3依次交替接觸小球1,2很多次后移去，小球1,2之間的庫侖力.

q2

解：由題意知

4兀

⑴小球3接觸小球1后，小球3和小球1均帶電

小球3再與小球2接觸后，小球2與小球3均帶電

”3

q=：q

4

此時(shí)小球1與小球2間相互作用力

32

14兀％/4?！辍．a(chǎn)8°

⑵小球3依次交替接觸小球1、2很多次后，每個(gè)小球帶電量均為名.

3

22

W4

小球1、2間的作用力F,=三二一=一心

2

4nsor9

*8-26如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S,相距為1,分別

維持電勢UB=O不變.現(xiàn)把一塊帶有電量q的導(dǎo)體薄片平行地放在

兩極板正中間，片的面積也是S,片的厚度略去不計(jì).求導(dǎo)體薄片的電勢.

解：依次設(shè)A,C,8從上到下的6個(gè)表面的面電荷密度分別為巧，（T2,

%，。4,4，%如圖所示.由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持=U

可得以下6個(gè)方程

題8-26圖

巧+/="At7

12S1f

q

cr+。4

3s

_qB_%u

-5d

=0

=0

0=%+%+*+4+/

解得q

2S

；=晅一工

d2S

%=_%=也+"

45d2S

所以C8間電場區(qū)=里上+4

%d2EQS

Uc=UCB=E2-=-(U+-^~)

cCB22224S

注意：因?yàn)?。片帶電，所以UcW^，若。片不帶電，顯然U0=9

22

8-27在半徑為與的金屬球之外包有一層外半徑為R2的均勻電介質(zhì)球殼,

介質(zhì)相對介電常數(shù)為金屬球帶電。.試求:

(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場強(qiáng)；

(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢；

⑶金屬球的電勢.

解：利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理《力?dSnZ4

⑴介質(zhì)內(nèi)(4<r</?2)場強(qiáng)

Q?

Q=Q產(chǎn)F

介質(zhì)外(r</?2)場強(qiáng)

33

4nr4iteQr

(2)介質(zhì)外(r>/?2)電勢

〃=「&卜木=島

介質(zhì)內(nèi)(與<r</?2)電勢

U=1%?指+『&卜d『

=」一(一+，

4兀￡()￡「rR24兀4??2

4兀4￡「rR2

⑶金屬球的電勢

U=1&?山+￡&卜Y亍

二pQdr?pQdr

，4兀4￡?h4兀4/

=q」+3)

4?！辍%R2

8-28如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為

￡；?的電介質(zhì).試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度

的比值.

解：如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場強(qiáng)為七2,真空部分場強(qiáng)為石，自

由電荷面密度分別為與a\

由d力YS=z%得

D}=crl,D2=a2

而D]=￡（）E],D?—￡o*>E2

+-Q

Q

I

I￡

-I---、

題8-28圖題8-29圖

8-29兩個(gè)同軸的圓柱面,長度均為/,半徑分別為中和&（&＞8），且

兩柱面之間充有介電常數(shù)￡的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等

量異號電荷。和-Q時(shí)，求:

⑴在半徑r處（與＜，＜&=，厚度為dr,長為/的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電

場能量密度和整個(gè)薄殼中的電場能量；

⑵電介質(zhì)中的總電場能量；

⑶圓柱形電容器的電容.

解：取半徑為r的同軸圓柱面（S）

則<^D-d5=2nrlD

當(dāng)（舄<r</?2）時(shí)，￡q=Q

DO

(1)電場能量密度w=產(chǎn)一

2s8兀2夕2/2

薄殼中dW=wd。=2nrdrl=旦業(yè)-

8rt2夕47t夕/

(2)電介質(zhì)中總電場能量

...r,,..濁Q2drQ~.R

W=|dW=[———=—2

)卜14TC￡TI471nR1

⑶電容：：w=—

2C

2

.rQ271n

~2W~ln(/?2//?,)

*8-30金屬球殼A和8的中心相距為r,A和8原來都不帶電.現(xiàn)在4的

中心放一點(diǎn)電荷力，在B的中心放一點(diǎn)電荷/，如題8-30圖所示.試求：

(1)內(nèi)對“2作用的庫侖力，仍有無加速度；

(2)去掉金屬殼8,求處作用在%上的庫侖力，此時(shí)私有無加速度.

解：(D/作用在外的庫侖力仍滿足庫侖定律，即

『二1q。

1

4ns0r

但％處于金屬球殼中心，它受自力為零，沒有加速度.

(2)去掉金屬殼B,小作用在紜上的庫侖力仍是F=」一華，但此時(shí)私

4%)r

受合力不為零，有加速度.

題8-30圖題8-31圖

8-31如題8-如圖所示,G=0.25〃F,C2=0.15/zF,C3=0.20//F.C,h

電壓為50V.求：UAB?

解：電容G上電量

Qi=GG

電容。2與。3并聯(lián)。23

其上電荷023=2

.Q”CM25x50

??=—=-----=-------