第1次習(xí)題課c/2aa如圖底面原子及與體心原子之間均緊密接觸則紅線的長(zhǎng)度為1、1、第一章習(xí)題2、理想晶體是由剛性原子球堆積而成，一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的致密度，即題中的x設(shè)n為一個(gè)晶胞中的剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，則致密度為(1)簡(jiǎn)單立方任意一個(gè)原子球有6個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則有a晶胞內(nèi)包含一個(gè)原子，所以有：任意一個(gè)原子球有8個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則體心原子與處在8個(gè)頂角位置處的原子球相切，因此，對(duì)角線長(zhǎng)度為(2)體心立方a晶胞體積為晶胞內(nèi)包含2個(gè)原子，所以有：(3)面心立方(4)六角密積a任意一個(gè)原子球有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面角處4個(gè)原子球相切，因此，面對(duì)角線長(zhǎng)度為晶胞體積為晶胞內(nèi)包含4個(gè)原子，所以有：任意一個(gè)原子球有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則面心原子與面上其它6個(gè)原子球相切，因此有晶胞體積為由第1題知晶胞內(nèi)包含2個(gè)原子，所以有：(5)金剛石結(jié)構(gòu)任意一個(gè)原子球有4個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，則空間對(duì)角線四分之一處的原子與三個(gè)面上的面心原子球及頂角處原子球相切，因此有晶胞體積為晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子，所以有：3、何謂布喇菲格子？畫(huà)出NaCl晶體的結(jié)點(diǎn)所構(gòu)成的布喇菲格子。為什么金剛石結(jié)構(gòu)是復(fù)式格子？布喇菲格子：晶體由完全相同的原子組成，原子與晶格的格點(diǎn)相重合，而且每個(gè)格點(diǎn)周?chē)那闆r都一樣。氯化鈉結(jié)構(gòu)：面心立方Na+布氏格子和面心立方Cl-的布氏格子套構(gòu)而成的復(fù)式格子。金剛石晶胞中由于位于四面體中心的原子和頂角原子價(jià)鍵的取向各不相同（即中心原子和頂角原子周?chē)那闆r不同），所以是復(fù)式格子，這種復(fù)式格子是兩個(gè)面心立方格子套構(gòu)而成的。4、基矢為的晶體為何種結(jié)構(gòu)？若又為何種結(jié)構(gòu)？方法1：先計(jì)算出原胞體積由原胞體積可推斷為體心結(jié)構(gòu)方法2：由已知的三個(gè)基矢構(gòu)造三個(gè)新的基矢由此可推斷為體心結(jié)構(gòu)5、指出立方晶格(111)面與(100)面的交線的晶向以及

(111)面與(110)面的交線的晶向。

(111)面與(100)面——晶向指數(shù)AB平移，A與O點(diǎn)重合(111)面與(100)面的交線的晶向B點(diǎn)位矢

兩面的交線AB(111)面與(110)面——晶向指數(shù)將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢(111)面與(110)面的交線的晶向兩面的交線AB6、如圖所示，B、C兩點(diǎn)是面心立方晶胞上的兩面心，求：（1）ABC面的密勒指數(shù)；（2）AC晶列的指數(shù)。BCA矢量與矢量的叉乘即是ABC面的法線矢量ABC面的密勒指數(shù)為（1）（2）AC晶列的指數(shù)BCA所以AC晶列的晶列指數(shù)為7、證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是體心立方

由倒格子定義體心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可見(jiàn)由為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子

——面心立方格子原胞基矢倒格子基矢同理可見(jiàn)由為基矢構(gòu)成的格子為體心立方格子

——8、證明倒格子原胞體積其中v0為正格子原胞體積

倒格子基矢倒格子體積9、正格子中晶面指數(shù)為的晶面和倒格矢正交倒格矢是晶面指數(shù)為所對(duì)應(yīng)的晶面族的法線意味著證明所以晶面族與和倒格矢正交同理可證10、如果基矢構(gòu)成簡(jiǎn)單正交系證明晶面族的面間距為說(shuō)明面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面，其面密度比較大，容易解理簡(jiǎn)單正交系倒格子基矢倒格子矢量晶面族的面間距——面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，其晶面的間距越大晶面上格點(diǎn)的密度越大，這樣的晶面越容易解理倒格子基矢11、對(duì)于六角密積結(jié)構(gòu)，固體物理學(xué)中的原胞的基矢為求其倒格子的基矢。原胞的體積為：

倒格子基矢：12、補(bǔ)充題二維金屬晶格，晶胞為簡(jiǎn)單矩形，試畫(huà)出第一、第二布里淵區(qū)第9次課12、證明兩種一價(jià)離子組成一維晶格的馬德隆常數(shù)假設(shè)參考離子帶負(fù)電荷，則正離子取“+”、負(fù)離子取“-”參考離子則有2源于參考離子左右各有兩個(gè)距離相等的離子利用第二章習(xí)題13、若一晶體兩個(gè)離子之間的相互作用能可以表示為計(jì)算1)平衡間距r02)結(jié)合能W（單個(gè)原子的）3)體彈性模量4)若取計(jì)算的值

1)平衡間距r0的計(jì)算平衡條件2)單個(gè)原子的結(jié)合能晶體內(nèi)能3)體彈性模量晶體的體積——A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能體彈性模量由平衡條件體彈性模量4)若取計(jì)算的值14、補(bǔ)充題

已知有N個(gè)離子組成的NaCl晶體，其結(jié)合能為現(xiàn)以來(lái)代替排斥項(xiàng)，且當(dāng)晶體處于平衡時(shí)，這兩者對(duì)互作用勢(shì)能的貢獻(xiàn)相同，試求n和的關(guān)系。

將結(jié)合能在平衡位置處展開(kāi)以代替后根據(jù)題意結(jié)合能兩式相比n和的關(guān)系15、計(jì)算面心立方簡(jiǎn)單格子的A6和A12(1)只計(jì)最近鄰；（2）計(jì)算到次近鄰。o111角頂o原子周?chē)?個(gè)這樣的晶胞標(biāo)號(hào)為1的原子是原子o的最近鄰，總共有12個(gè)最近鄰，以最近鄰距離度量，則aj=1222R為最近鄰距離若只計(jì)最近鄰則標(biāo)號(hào)為2的原子是原子o的次近鄰，總共有6個(gè)次近鄰，以最近鄰距離度量，則aj=21/2若計(jì)算到次近鄰則16、設(shè)某晶體中每對(duì)原子的平均結(jié)合能為平衡時(shí)r0=2.8x10-10m，其結(jié)合能為試計(jì)算A和B以及晶體的有效彈性模量。18、對(duì)一維雙原子分子鏈，原子質(zhì)量均為m，原子統(tǒng)一編號(hào)，任一原子與兩最近鄰的間距不同，力常數(shù)分別為1和2，晶格常數(shù)為a，求原子的運(yùn)動(dòng)方程以及色散關(guān)系。123n-1nn+1N-2N-1N第n-1與第n+1個(gè)原子屬于同一種原子n+2n+3第n與第n+2個(gè)原子屬于同一種原子于是第n個(gè)原子受的力為第n+1個(gè)原子受的力為第三章習(xí)題對(duì)每種原子，可寫(xiě)出其運(yùn)動(dòng)方程將方程的解寫(xiě)成角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的形式，即色散關(guān)系得到A、B非0解的條件是系數(shù)行列式必須為0，即由此得到代入19、問(wèn)長(zhǎng)光學(xué)支格波與長(zhǎng)聲學(xué)支格波在本質(zhì)上有何區(qū)別？長(zhǎng)光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對(duì)振動(dòng)，振動(dòng)頻率較高，包含了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式。長(zhǎng)聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒(méi)有相對(duì)位移，原胞做整體振動(dòng)，振動(dòng)頻率較低，包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng)模式。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡(jiǎn)單晶格晶體不存在光學(xué)支格波。20、（1）溫度一定時(shí)，問(wèn)一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目和一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目哪個(gè)多？（2）對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式，問(wèn)溫度高時(shí)的聲子數(shù)目和溫度低時(shí)的聲子數(shù)目哪個(gè)多？頻率為的格波的平均聲子數(shù)為（1）光學(xué)波的頻率總是比聲學(xué)波的頻率高，所以，溫度一定時(shí)，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目（2）溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多于溫度時(shí)的聲子數(shù)目21、按德拜模型試計(jì)算晶體中的聲子數(shù)目，并對(duì)高溫和很低溫度兩種情況分別進(jìn)行討論。頻率為的格波的聲子數(shù)對(duì)德拜模型，模式密度或頻率分布函數(shù)為則總的聲子數(shù)高溫所以高溫時(shí)聲子數(shù)為很低溫度作變量變換22、設(shè)一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維簡(jiǎn)單晶格，原子質(zhì)量為m，原子間距為a，原子間的相互作用勢(shì)可表示成試由簡(jiǎn)諧近似求（1）色散關(guān)系；（2）模式密度D（）；（3）晶格比熱。（1）色散關(guān)系恢復(fù)力常數(shù)代入得到色散關(guān)系為設(shè)單原子鏈長(zhǎng)度波矢取值每個(gè)波矢的寬度狀態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)——對(duì)應(yīng)q，取值相同，d間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目（2）模式密度D（）一維單原子鏈色散關(guān)系令兩邊微分得到d間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目代入——一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)（3）晶格比熱頻率為的格波的熱振動(dòng)能為整個(gè)晶格的熱振動(dòng)能為23、思考題：絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子與晶格是否交換能量？晶格的振動(dòng)形成格波，價(jià)電子與晶格交換能量，實(shí)際上是價(jià)電子與格波交換能量，格波的能量子稱(chēng)為聲子，因此，價(jià)電子與格波交換能量可看成是價(jià)電子與聲子交換能量。頻率為的格波的聲子數(shù)絕對(duì)零度時(shí)，任何頻率的格波的聲子全部消失，因此，絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子與晶格不再交換能量。第四章習(xí)題24、思考題：晶體膨脹時(shí)費(fèi)米能級(jí)如何變化？費(fèi)米能級(jí)晶體膨脹時(shí)，體積變大，但電子數(shù)目不變，故n變小，因此，費(fèi)米能級(jí)降低。25、思考題：兩塊同種金屬，溫度不同，接觸后，溫度未達(dá)到相等前是否存在電勢(shì)差？為什么？?jī)蓧K同種金屬，溫度分別為T(mén)1和T2，且T1>T2在這種情況下，溫度為T(mén)1的金屬高于EF0的電子數(shù)目，多于溫度為T(mén)2的金屬高于EF0的電子數(shù)目?jī)蓧K金屬接觸后，溫度為T(mén)1的金屬高于EF0的部分電子將流向溫度為T(mén)2的金屬，溫度未達(dá)到相等前，這種流動(dòng)一直持續(xù)在這個(gè)過(guò)程中，溫度為T(mén)1的金屬失去電子，帶正電，而溫度為T(mén)2的金屬得到電子，帶負(fù)電，因此，出現(xiàn)電勢(shì)差26、思考題：為什么價(jià)電子的濃度越高，電導(dǎo)率越高？從公式看，電導(dǎo)率正比于價(jià)電子的濃度，因此，價(jià)電子濃度越高，電導(dǎo)率就越高然而，并非所有價(jià)電子都參與導(dǎo)電，僅僅費(fèi)米面附近的電子才參與對(duì)導(dǎo)電的貢獻(xiàn)，因此，費(fèi)米球越大，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，而費(fèi)米球的半徑可見(jiàn)，電子濃度越高，費(fèi)米球就越大，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子什么也就越多，因此，電導(dǎo)率就越高27、二維電子氣的能態(tài)密度試證明費(fèi)米能為其中n為單位面積的電子數(shù)。單位面積金屬的電子總數(shù)為第12次課28、求一維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費(fèi)米能級(jí)、電子平均動(dòng)能以及一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)。設(shè)一維金屬中有N個(gè)導(dǎo)電電子，晶格常數(shù)為a，則狀態(tài)密度為能態(tài)密度則在k—k+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為在E—E+dE內(nèi)電子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有平均一個(gè)電子所具有的能量平均一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)為29、求二維金屬中自由電子的能態(tài)密度、費(fèi)米能級(jí)、電子平均動(dòng)能以及一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)。設(shè)二維金屬的面積為S，則狀態(tài)密度為能態(tài)密度則在k—k+dk范圍內(nèi)電子數(shù)為在E—E+dE內(nèi)電子數(shù)為絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)以下所有態(tài)被電子占據(jù)，故有平均一個(gè)電子所具有的能量平均一個(gè)電子對(duì)比熱的貢獻(xiàn)為30、證明，當(dāng)時(shí)，電子數(shù)目每增加一個(gè)，則費(fèi)米能變化為其中為費(fèi)米能級(jí)處的能態(tài)密度。電子數(shù)目每增加一個(gè)，費(fèi)米能的變化31、每個(gè)原子占據(jù)的體積為a3，絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子的費(fèi)米半徑為，計(jì)算每個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目根據(jù)自由電子氣模型，絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米半徑為而已知金屬絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米半徑為兩者比較可知電子密度為因此該金屬的原子具有兩個(gè)價(jià)電子——銀的質(zhì)量密度——原子量——電阻率

32、補(bǔ)充題：若將銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬計(jì)算以下各量1)

費(fèi)密能量和費(fèi)密溫度2)

費(fèi)密球半徑3)

費(fèi)密速度4)在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程

1)

費(fèi)密能量和費(fèi)密溫度費(fèi)密能量費(fèi)密溫度2)

費(fèi)密球半徑3)

費(fèi)密速度4)

在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程電導(dǎo)率馳豫時(shí)間平均自由程0K到室溫之間的費(fèi)密半徑變化很小平均自由程第18次課33、電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)

且a=4b，是常數(shù)。1)畫(huà)出此勢(shì)能曲線，并計(jì)算勢(shì)能的平均值；2)用近自由電子模型計(jì)算晶體的第一個(gè)和第二個(gè)帶隙寬度

第五章習(xí)題2a-b2a2a+b(n-1)a-b(n-1)a+b(n-1)ana-bna+bna(n+1)a-b(n+1)a+b(n+1)a-b0b

勢(shì)能的平均值勢(shì)能的平均值令近自由電子近似中，勢(shì)能函數(shù)的第n個(gè)傅里葉系數(shù)

禁帶寬帶第一帶隙寬度第二帶隙寬度求電子在這些態(tài)中的波矢34、一維周期勢(shì)場(chǎng)中電子的波函數(shù)滿足布洛赫定理。如果晶格常數(shù)為a,電子的波函數(shù)為

根據(jù)布洛赫定理一維情形布洛赫定理1)電子的波函數(shù)電子的波矢2)電子的波函數(shù)電子的波矢3)電子的波函數(shù)電子的波矢4)電子的波函數(shù)電子的波矢35、二維正方格子的周期勢(shì)場(chǎng)可表示為：a為晶格常數(shù)，試由近自由電子近似計(jì)算布里淵區(qū)邊界處的能隙能隙布里淵頂角(/a,/a)處的能隙布里淵頂角布里淵頂角處的能隙36、一維單原子鏈，原子間距a，總長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝Na1)用緊束縛近似方法求出與原子s態(tài)能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)2)求出其能帶密度函數(shù)的表達(dá)式3)如每個(gè)原子s態(tài)中只有一個(gè)電子，計(jì)算T=0K時(shí)的費(fèi)密能級(jí)和處的能態(tài)密度只計(jì)入最近鄰格點(diǎn)原子的相互作用時(shí)

s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)表示為對(duì)于一維情形,任意選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)——有兩個(gè)最近鄰的格點(diǎn)，坐標(biāo)為：a和－a能帶密度函數(shù)的計(jì)算對(duì)于一維格子，波矢為具有相同的能量此外考慮到電子自旋有2種取向，