微專題強化練9空間幾何體一、單項選擇題1．(2022·唐山模擬)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比值為()A．1∶1 B．1∶2C．2∶1 D．2∶32．(2021·新高考全國Ⅰ)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)3.某同學(xué)為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字．該正方體紙盒水平放置的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如圖是該正方體的展開圖．若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是()A．最B．美C．逆D．行4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則三棱錐A－B1CD1的體積為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(8,3)C．4 D．65．(2022·河南聯(lián)考)小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上底口(半徑較大的圓)卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5eq\r(10)a，垃圾簍上底面直徑為24a，下底面直徑為18a，母線長為13a，則該籃球的表面積為()A．154πa2 B.eq\f(616,3)πa2C．308πa2 D．616πa26.(2022·湖北聯(lián)考)定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度．其中小雨(<10mm)，中雨(10mm～25mm)，大雨(25mm～50mm)，暴雨(50mm～100mm)，小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級()A．小雨 B．中雨C．大雨 D．暴雨7.(2022·八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體ABCD的棱長為1，過點B作截面α分別交側(cè)棱AC，AD于E，F(xiàn)兩點，且四面體ABEF的體積為四面體ABCD體積的eq\f(1,3)，則EF的最小值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)8．(2022·新高考全國Ⅰ)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3eq\r(3)，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18，\f(81,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(81,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))) D．[18,27]二、多項選擇題9．(2022·武漢模擬)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是()A．圓柱的側(cè)面積為4πR2B．圓錐的側(cè)面積為2πR2C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．球的體積是圓錐體積的兩倍10．設(shè)一空心球是在一個大球(稱為外球)的內(nèi)部挖去一個有相同球心的小球(稱為內(nèi)球)，已知內(nèi)球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上且所有面均與內(nèi)球相切，則()A．該正方體的棱長為2B．該正方體的體對角線長為3＋eq\r(3)C．空心球的內(nèi)球半徑為eq\r(3)－1D．空心球的外球表面積為(12＋6eq\r(3))π11.如圖，已知四棱臺ABCD－A1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB＝2eq\r(2)，A1B1＝eq\r(2)，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2，則下列敘述正確的是()A．該四棱臺的高為eq\r(3)B．AA1⊥CC1C．該四棱臺的表面積為26D．該四棱臺外接球的體積為eq\f(32π,3)12．(2022·聊城模擬)用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀，則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱．這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高．橢圓的面積等于長半軸長與短半軸長乘積的π倍，已知某圓柱的底面半徑為2，用與母線成45°角的兩個平行平面去截該圓柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是()A．底面橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)B．側(cè)面積為24eq\r(2)πC．在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36πD．底面積為4eq\r(2)π三、填空題13.(2022·湘潭模擬)陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅．陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由一個同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為h1，h2，r，且h1＝h2＝r，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為S1和S2，則eq\f(S1,S2)＝________.14．(2022·福州質(zhì)檢)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動點，則AF＋FC1的最小值為________．15.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個實心工藝品(如圖所示)．該工藝品可以看成是一個球體被一個棱長為4的正方體的6個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，其中一個截面圓的周長為3π，則該球的半徑為______；現(xiàn)給出定義：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積計算公式是S＝2πRh.由此可知，該實心工藝品的表面積是________．16．(2022·開封模擬)如圖，將一塊直徑為2eq\r(3)的半球形石材切割成一個正四棱柱，則正四棱柱的體積取最大值時，切割掉的廢棄石材的體積為________．參考答案1．A2.B3.B4.B5.D6.B7．D8．C[方法一如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，依題意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.由題意及圖可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2＝h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，,R2＝h－R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(l2,2R)＝\f(l2,6)，,a2＝2l2－\f(l4,18)，))所以正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l2－\f(l4,18)))·eq\f(l2,6)＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))(3≤l≤3eq\r(3))，所以V′＝eq\f(4,9)l3－eq\f(l5,54)＝eq\f(1,9)l3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(l2,6)))(3≤l≤3eq\r(3))．令V′＝0，得l＝2eq\r(6)，所以當(dāng)3≤l<2eq\r(6)時，V′>0；當(dāng)2eq\r(6)<l≤3eq\r(3)時，V′<0，所以函數(shù)V＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))(3≤l≤3eq\r(3))在[3，2eq\r(6))上單調(diào)遞增，在(2eq\r(6)，3eq\r(3)]上單調(diào)遞減，又當(dāng)l＝3時，V＝eq\f(27,4)；當(dāng)l＝2eq\r(6)時，V＝eq\f(64,3)；當(dāng)l＝3eq\r(3)時，V＝eq\f(81,4)，所以該正四棱錐的體積的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))).方法二如圖，設(shè)該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，依題意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.由題意及圖可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l2＝h2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，,R2＝h－R2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(l2,2R)＝\f(l2,6)，,a2＝2l2－\f(l4,18)，))又3≤l≤3eq\r(3)，所以該正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2l2－\f(l4,18)))·eq\f(l2,6)＝eq\f(l4,18)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))＝72×eq\f(l2,36)·eq\f(l2,36)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18)))≤72×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\f(l2,36)＋\f(l2,36)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(l2,18))),3)))3＝eq\f(64,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(l2,36)＝2－\f(l2,18)，即l＝2\r(6)時取等號))，所以正四棱錐的體積的最大值為eq\f(64,3)，排除A，B，D.方法三如圖，設(shè)該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，正四棱錐的側(cè)棱與高所成的角為θ，依題意，得36π＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3，所以正四棱錐的底面邊長a＝eq\r(2)lsinθ，高h＝lcosθ.在△OPC中，作OE⊥PC，垂足為E，則可得cosθ＝eq\f(\f(l,2),R)＝eq\f(l,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以l＝6cosθ，所以正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)a2h＝eq\f(1,3)(eq\r(2)lsinθ)2·lcosθ＝eq\f(2,3)(6cosθ)3sin2θcosθ＝144(sinθcos2θ)2.設(shè)sinθ＝t，易得t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則y＝sinθcos2θ＝t(1－t2)＝t－t3，則y′＝1－3t2.令y′＝0，得t＝eq\f(\r(3),3)，所以當(dāng)eq\f(1,2)<t<eq\f(\r(3),3)時，y′>0；當(dāng)eq\f(\r(3),3)<t<eq\f(\r(3),2)時，y′<0，所以函數(shù)y＝t－t3在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),2)))上單調(diào)遞減．又當(dāng)t＝eq\f(\r(3),3)時，y＝eq\f(2\r(3),9)；當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，y＝eq\f(3,8)；當(dāng)t＝eq\f(\r(3),2)時，y＝eq\f(\r(3),8)，所以eq\f(\r(3),8)≤y≤eq\f(2\r(3),9)，所以eq\f(27,4)≤V≤eq\f(64,3).所以該正四棱錐的體積的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(27,4)，\f(64,3))).]9．ACD10.BD11．AD[將四棱臺補為如圖所示的四棱錐P－ABCD，分別取BC，B1C1的中點E，E1，記四棱臺ABCD－A1B1C1D1的上、下底面中心分別為O1，O，連接AC，A1C1，BD1，B1D1，A1O，OE，OP，PE，由條件知A1，B1，C1，D1分別為四棱錐的側(cè)棱PA，PB，PC，PD的中點，則PA＝2AA1＝4，OA＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\r(2)A1B1＝2，所以O(shè)O1＝eq\f(1,2)PO＝eq\f(1,2)eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(3)，故該四棱臺的高為eq\r(3)，故A正確；由PA＝PC＝4，AC＝4，得△PAC為正三角形，則AA1與CC1所成角為60°，故B錯誤；四棱臺的斜高h′＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(1,2)eq\r(PO2＋OE2)＝eq\f(1,2)eq\r(2\r(3)2＋\r(2)2)＝eq\f(\r(14),2)，所以該四棱臺的表面積為(2eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＋4×eq\f(\r(2)＋2\r(2),2)×eq\f(\r(14),2)＝10＋6eq\r(7)，故C錯誤；由△PAC為正三角形，易知OA1＝OA＝OC＝OC1，OB1＝OD1＝OB＝OD，所以O(shè)為四棱臺外接球的球心，且外接球的半徑為2，所以該四棱臺外接球的體積為eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32π,3)，故D正確．]12．ABD[不妨過斜圓柱的最高點D和最低點B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的幾何體是圓柱，如圖，矩形ABCD是圓柱的軸截面，平行四邊形BFDE是斜圓柱的過底面橢圓的長軸的截面，由圓柱的性質(zhì)知∠ABF＝45°，則BF＝eq\r(2)AB，設(shè)橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，則2a＝eq\r(2)·2b，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2)＝eq\f(\r(2),2)a，所以離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，A正確；作EG⊥BF，垂足為G，則EG＝6，易知∠EBG＝45°，則BE＝6eq\r(2)，又CE＝AF＝AB＝4，所以斜圓柱側(cè)面積為S＝2π×2×(4＋6eq\r(2))－2π×2×4＝24eq\r(2)π，B正確；由于斜圓柱的兩個底面的距離為6，而圓柱的底面直徑為4，所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半徑為2，球的表面積為4π×22＝16π，C錯誤；易知2b＝4，則b＝2，a＝2eq\r(2)，所以橢圓面積為πab＝4eq\r(2)π，D正確．]13.eq\f(\r(2),2)14.eq\r(6)＋eq\r(2)解析依題意，把正三棱柱ABC－A1B1C1的上底面△A1B1C1與側(cè)面矩形ABB1A1放在同一平面內(nèi)，連接AC1，設(shè)AC1交A1B1于點F，如圖，此時點F可使AF＋FC1取最小值，大小為AC1，而∠AA1C1＝150°，則AC1＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋A1C\o\al(2,1)－2AA1·A1C1cos∠AA1C1)＝eq\r(22＋22－23cos150°)＝eq\r(8＋4\r(3))＝eq\r(6)＋eq\r(2)，所以AF＋FC1的最小值為eq\r(6)＋eq\r(2).15.eq\f(5,2)eq\f(47π,2)解析設(shè)截面圓半