等腰三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定；2、等邊三角形的定義、性質(zhì)和判定；3、直角三角形的性質(zhì)；【重點(diǎn)難點(diǎn)】1、等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定；2、等邊三角形的定義、性質(zhì)和判定；3、直角三角形的性質(zhì)；知識概覽圖定義：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形(1)等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(三線合一)判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)等邊三角形直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形等腰三角形性質(zhì)判定新課導(dǎo)引如右圖所示，在海上A，B兩處的兩艘救生船接到O處遇險船只的報警，當(dāng)時測得∠A＝∠B，如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點(diǎn)(不考慮風(fēng)浪因素)?【問題探究】若想判斷能否同時到達(dá)出事地點(diǎn)，就是要判斷OA與OB是否相等，如何判斷OA與OB的大小呢?【解析】如右圖所示，過點(diǎn)O作OC⊥AB，C為垂足，則在△AOC與△BOC中，故△AOC≌△BOC(AAS)，故AD＝BO．教材精華知識點(diǎn)1等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角．知識點(diǎn)2等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形是軸對稱圖形．性質(zhì)2：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”)．性質(zhì)3：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡稱等腰三角形“三線合一”)．拓展(1)當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0°時，則此等腰三角形為等腰直角三角形，它的兩條直角邊相等，兩個銳角都是45°．(2)利用等腰三角形的性質(zhì)2，可以證明兩個角相等．(3)利用等腰三角形“三線合一”可以證明線段相等、垂直或角相等．(4)另外，等腰三角形還有以下性質(zhì)：①等腰三角形兩腰上的中線、高線相等．②等腰三角形兩底角的平分線相等．③等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高．知識點(diǎn)3等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)．拓展(1)等腰三角形的判定有以下幾種方法：①定義．②判定定理．③垂直平分線的性質(zhì)．(2)“等邊對等角”是等腰三角形的性質(zhì)，先有邊相等，進(jìn)而得出角相等．“等角對等邊”是判定三角形為等腰三角形的依據(jù)，先有角相等，進(jìn)而得出邊相等，即為等腰三角形．“等邊對等角”或“等角對等邊”只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不成立．(3)等腰三角形的底角只能是銳角，頂角可以是銳角、直角或鈍角．(4)由三角形兩邊之和大于第三邊可知等腰三角形的腰長大于底邊的一半．知識點(diǎn)4等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形．性質(zhì)：等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°．判定：(1)三邊都相等的三角形是等邊三角形．(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形．(3)有兩個角是60°的三角形是等邊三角形．(4)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．拓展等邊三角形的判定條件不相同，選擇的方法也不相同．四種方法要靈活選用．知識點(diǎn)5含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．拓展此性質(zhì)的大前提是“在直角三角形中”，如果沒有這個條件，即使有30°角，結(jié)論也不成立．課堂檢測基礎(chǔ)知識應(yīng)用題1、已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶4，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A．20°B．120°C．20°或120°2、已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，則∠A＝．綜合應(yīng)用題3、如圖12－74所示．在等腰三角形ABC中，CH是底邊上的高線．點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)．連接AP交BC于點(diǎn)E，連接BP交AC于點(diǎn)F．(1)求證∠CAE＝∠CBF；(2)求證AE＝BF；(3)以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個新的三角形ABG(點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G)．記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG，如果存在點(diǎn)P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范圍．探索創(chuàng)新題4、如圖12－78所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝BC，AE＝AC．判斷∠DCE的大小是否與∠A有關(guān)．如果有關(guān)，說明理由；如果無關(guān)，求∠DCE的度數(shù)．體驗(yàn)中考1、如圖所示，△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，則腰長x的取值范圍是()A．0＜x＜3B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞62、下列性質(zhì)中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是()A．兩邊之和大于第三邊B．有一個角的平分線垂直于這個角的對邊C．有兩個銳角的和等于90°D．內(nèi)角和等于180°3、如圖所示，在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D，在BC的延長線上取一點(diǎn)E，使CE＝CD．求證BD＝DE．學(xué)后反思 附：課堂檢測及體驗(yàn)中考答案課堂檢測1、分析此題應(yīng)分兩種情況：當(dāng)頂角與底角度數(shù)之比為1∶4時，三個角的度數(shù)之比為1∶4∶4，因此三個內(nèi)角分別為180°×＝20°，180°×＝80°，180°×＝80°．當(dāng)頂角與底角度數(shù)之比為4∶1時，同理可求得三個內(nèi)角度數(shù)分別為120°，30°，30°．因此這個等腰三角形的頂角為120°或20°．故選C．本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，也可用排除法，因?yàn)橛袃煞N情況，所以可直接選C．2、分析本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用．因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C＝60°，因?yàn)椤螦＝180°－∠B－∠C，所以∠A＝180°－60°－60°＝60°．故填60°．3、分析本題考查了等腰三角形與全等三角形的綜合應(yīng)用．第(3)問應(yīng)注意進(jìn)行分類討論．證明：(1)∵△ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP．又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP，∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF．(2)∵∠ACE＝∠BCF，∠CAE＝∠CBF，AC＝BC，∴△ACE≌△BCF，∴AE＝BF．解：(3)由(2)知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形，∴S△ABC＝S△ABG等價于AE＝AC．①當(dāng)∠ACB為直角或鈍角時，在△ACE中，不論點(diǎn)P在CH何處，均有AE＞AC，∴結(jié)論不成立．②當(dāng)∠ACB為銳角時，∠BAC＝90°－∠ACB，而∠CAE＜∠BAC，要使AE＝AC，只需使∠ACB＝∠CEA，此時，∠CAE＝180°－2∠ACB，只需180°－2∠ACB＜90°－∠ACB，解得60°＜∠ACB＜90°．4、分析本題主要考查利用等腰三角形的性質(zhì)探索問題的能力．解：∠DCE的大小與∠A無關(guān)，∠DCE＝45°．理由如下：∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD．∴∠BDC＝(180°－∠B)＝90°－∠B．又∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE．∴∠AEC＝(180°－∠A)＝90°－∠A．∴∠AEC＋∠BDC＝(90°－∠A)＋(90°－∠B)＝180°－(∠A＋∠B)．又∵∠ACB＝90°，∴∠BDC＋∠AEC＝180°－×90°＝135°．∴∠DCE＝45°．體驗(yàn)中考1、分析本題考查等腰三角形中三邊之間的關(guān)系，由底邊BC＝6，兩腰長為x可知2x＞6，所以x＞3．故選B．2、分析本題主要考查等腰三角形特有的“三線合一”的性質(zhì)，選項(xiàng)A和選項(xiàng)D是所有三角形都具有的；選項(xiàng)C是直角三角形獨(dú)有的；選項(xiàng)B是等腰三角形獨(dú)有的．故選B．