高西全-丁玉美-數(shù)字信號(hào)處理課件第一頁(yè)，共572頁(yè)。緒論數(shù)字信號(hào)處理的對(duì)象是數(shù)字信號(hào).數(shù)字信號(hào)處理是采用數(shù)值計(jì)算的方法完成對(duì)信號(hào)的處理.第二頁(yè)，共572頁(yè)。數(shù)字信號(hào)處理的特點(diǎn)靈活性高精度和高穩(wěn)定性便于大規(guī)模集成可以實(shí)現(xiàn)模擬系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的諸多功能第三頁(yè)，共572頁(yè)。第1章時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)掌握常見(jiàn)時(shí)域離散信號(hào)的表示及運(yùn)算。掌握時(shí)域離散系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、因果性及穩(wěn)定性的含義及判別方法。掌握采樣定理。第四頁(yè)，共572頁(yè)。1.1引言信號(hào)的定義：載有信息的，隨時(shí)間變化的物理量或物理現(xiàn)象。信號(hào)的分類：

時(shí)域連續(xù)信號(hào)模擬信號(hào)時(shí)域離散信號(hào)數(shù)字信號(hào)第五頁(yè)，共572頁(yè)。系統(tǒng)定義：系統(tǒng)分類：時(shí)域連續(xù)系統(tǒng)模擬系統(tǒng)時(shí)域離散系統(tǒng)數(shù)字系統(tǒng)第六頁(yè)，共572頁(yè)。一．單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào)的定義為延時(shí)的單位階躍信號(hào)第七頁(yè)，共572頁(yè)。二．單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的狄拉克(Dirac)定義從下面三點(diǎn)來(lái)理解沖激信號(hào)(1)除了之外取值處處為零；(2)在處為無(wú)窮大；(3)在包含出現(xiàn)的位置的任意區(qū)間范圍內(nèi)面積為1。第八頁(yè)，共572頁(yè)。二．單位沖激信號(hào)延時(shí)的單位沖激信號(hào)沖激信號(hào)可以由滿足下面條件的一些脈沖信號(hào)極限得到脈沖信號(hào)是偶函數(shù)；脈沖寬度逐漸變小，直至無(wú)窮??；脈沖高度逐漸變大，直至無(wú)窮大；脈沖面積一直保持為1。第九頁(yè)，共572頁(yè)。二、沖激函數(shù)的性質(zhì)（1）抽樣性（2）奇偶性

（3）比例性（4）卷積性質(zhì)第十頁(yè)，共572頁(yè)。三、抽樣信號(hào)(SamplingSignal)

性質(zhì)：①②③④⑤偶函數(shù)第十一頁(yè)，共572頁(yè)。四．沖激響應(yīng)1．定義

系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。說(shuō)明:在時(shí)域，對(duì)于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵(lì)看響應(yīng)，不同，說(shuō)明其系統(tǒng)特性不同，

沖激響應(yīng)可以衡量系統(tǒng)的特性。第十二頁(yè)，共572頁(yè)。稱為的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積，記為設(shè)有兩個(gè)函數(shù)，積分五、卷積（Convolution）主要利用卷積來(lái)求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。第十三頁(yè)，共572頁(yè)。1.2時(shí)域離散信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)（序列）只在離散時(shí)刻給出函數(shù)值，是時(shí)間上不連續(xù)的序列。實(shí)際中遇到的信號(hào)一般是模擬信號(hào)，對(duì)它進(jìn)行等間隔采樣便可以得到時(shí)域離散信號(hào)。假設(shè)模擬信號(hào)為xa(t)，以采樣間隔T對(duì)它進(jìn)行等間隔采樣，得到：注意：n為整數(shù)思考：序列的表示方法有哪些？第十四頁(yè)，共572頁(yè)。一、典型序列1．單位采樣序列δ(n)第十五頁(yè)，共572頁(yè)。單位采樣序列的作用：表示任意序列例1.寫出圖示序列的表達(dá)式第十六頁(yè)，共572頁(yè)。2、單位階躍序列u(n)第十七頁(yè)，共572頁(yè)。第十八頁(yè)，共572頁(yè)。3．矩形序列RN(n)

第十九頁(yè)，共572頁(yè)。第二十頁(yè)，共572頁(yè)。4．實(shí)指數(shù)序列第二十一頁(yè)，共572頁(yè)。5．正弦序列6．復(fù)指數(shù)序列第二十二頁(yè)，共572頁(yè)。7．周期序列定義： 如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N。第二十三頁(yè)，共572頁(yè)。例2、求下列周期第二十四頁(yè)，共572頁(yè)。二、序列的運(yùn)算1．加法和乘法

序列之間的加法和乘法，是指同一時(shí)刻的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加和相乘。第二十五頁(yè)，共572頁(yè)。第二十六頁(yè)，共572頁(yè)。2．移位

移位序列x(n－n0)，當(dāng)n0>0時(shí),稱為x(n)的延時(shí)序列；當(dāng)n0<0時(shí)，稱為x(n)的超前序列。例3已知x(n)波形，畫(huà)出x(n-2)及x(n+2)波形圖。第二十七頁(yè)，共572頁(yè)。第二十八頁(yè)，共572頁(yè)。3.翻轉(zhuǎn)以縱軸為對(duì)稱翻轉(zhuǎn)。例4、已知x(n)波形，畫(huà)出x(-n)的波形圖。第二十九頁(yè)，共572頁(yè)。4.尺度變換（抽取和零值插入） 抽取：x(Dn)是x(n)序列每連續(xù)D點(diǎn)取一點(diǎn)形成的序列，D為正整數(shù)。 零值插入：x[(1/C)n]表示把序列的兩個(gè)相鄰抽樣值之間插入C-1個(gè)零值，C為正整數(shù)。第三十頁(yè)，共572頁(yè)。例5、已知x(n)波形，畫(huà)出x(2n)及x(n/2)波形圖。思考：x(3n)及x(n/3)呢？第三十一頁(yè)，共572頁(yè)。5.卷積和定義：計(jì)算方法：（1）圖示法（圖解法）：換元->反轉(zhuǎn)->平移->相乘->求和（2）列表法（3）解析法第三十二頁(yè)，共572頁(yè)。卷積和性質(zhì)：代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)（交換律、結(jié)合律、分配律）延遲性質(zhì)典型信號(hào)的卷積第三十三頁(yè)，共572頁(yè)。第三十四頁(yè)，共572頁(yè)。1.3時(shí)域離散系統(tǒng)第三十五頁(yè)，共572頁(yè)。一、線性系統(tǒng)

系統(tǒng)的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即第三十六頁(yè)，共572頁(yè)。例7、判斷y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù)）所代表系統(tǒng)的線性性質(zhì)。第三十七頁(yè)，共572頁(yè)。二、時(shí)不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間變化，或者說(shuō)系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與信號(hào)加于系統(tǒng)的時(shí)間無(wú)關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，用公式表示如下：第三十八頁(yè)，共572頁(yè)。例8、判斷y(n)=nx(n)代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。第三十九頁(yè)，共572頁(yè)。三、LTI系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系單位脈沖響應(yīng)LTI系統(tǒng)的輸出第四十頁(yè)，共572頁(yè)。解釋：LTI系統(tǒng)第四十一頁(yè)，共572頁(yè)。系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)：第四十二頁(yè)，共572頁(yè)。系統(tǒng)的并聯(lián)：第四十三頁(yè)，共572頁(yè)。四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：當(dāng)且僅當(dāng)信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)時(shí)，才產(chǎn)生響應(yīng)的系統(tǒng)，也稱為不超前響應(yīng)系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)具有因果性的充要條件：判斷一個(gè)系統(tǒng)是否為因果，有兩種方法。定義法和充要條件，后者只對(duì)LTI系統(tǒng)有效。

第四十四頁(yè)，共572頁(yè)。穩(wěn)定性：有界輸入（指幅度有界）

，有界輸出LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即第四十五頁(yè)，共572頁(yè)。例9、設(shè)LTI系統(tǒng)的單位系統(tǒng)脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。第四十六頁(yè)，共572頁(yè)。1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法——線性常系數(shù)差分方程

N階線性常系數(shù)差分方程表示：式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bj均為常數(shù).第四十七頁(yè)，共572頁(yè)。

線性常系數(shù)差分方程的求解經(jīng)典解法（實(shí)際中很少采用）遞推解法（方法簡(jiǎn)單，但只能得到數(shù)值解，不易直接得到公式解）變換域法（Z域求解，方法簡(jiǎn)便有效）第四十八頁(yè)，共572頁(yè)。遞推解法例10、設(shè)因果系統(tǒng)用差分方程

y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，輸入x(n)=δ(n)若初始條件y(-1)=0，求輸出序列y(n)。第四十九頁(yè)，共572頁(yè)。第五十頁(yè)，共572頁(yè)。若初始條件改為y(-1)=1，求y(n)第五十一頁(yè)，共572頁(yè)。例11、設(shè)差分方程如下，求輸出序列y(n)。

非因果系統(tǒng)第五十二頁(yè)，共572頁(yè)。結(jié)論差分方程本身不能確定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件進(jìn)行限制。一個(gè)線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性時(shí)不變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。第五十三頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)1、以下序列是LTI系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(n)，判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。答案（1）非因果、穩(wěn)定（2）非因果、不穩(wěn)定。第五十四頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)第五十五頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)3、判斷題：一個(gè)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件是，單位序列響應(yīng)h(n)是因果序列。答案：錯(cuò)第五十六頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)4、將序列x(n)用一組幅度加權(quán)和延遲的沖激序列的和來(lái)表示。第五十七頁(yè)，共572頁(yè)。

5、判斷下面的序列是否是周期的;若是周期的，確定其周期。

(1)(2)解：（1）因?yàn)棣?

π,所以,這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期T=14。（2）因?yàn)棣?

,所以=16π,這是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。課堂練習(xí)第五十八頁(yè)，共572頁(yè)。

6、設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入x(n)分別有以下幾種情況，分別求輸出y(n)。（1）h(n)=R4(n),x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n),x(n)=δ(n)－δ(n－2)

解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}

（2）{2，2，0，0，-2，-2}課堂練習(xí)第五十九頁(yè)，共572頁(yè)。頻譜分析：把信號(hào)表示為不同頻率正弦分量或復(fù)指數(shù)分量的加權(quán)和，簡(jiǎn)稱信號(hào)的譜分析。傅立葉分析：用頻譜分析的觀點(diǎn)來(lái)分析系統(tǒng)，或稱為系統(tǒng)的頻域分析。頻域分析法在系統(tǒng)分析中極其重要，主要是因?yàn)椋?1)頻域分析法易推廣到復(fù)頻域分析法，同時(shí)可以將兩者統(tǒng)一起來(lái)；(2)利用信號(hào)頻譜的概念便于說(shuō)明和分析信號(hào)失真、濾波、調(diào)制等許多實(shí)際問(wèn)題，并可獲得清晰的物理概念；(3)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析為離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

(4)簡(jiǎn)化了求解微分方程的過(guò)程傅立葉分析第六十頁(yè)，共572頁(yè)。周期信號(hào)，周期為，角頻率該信號(hào)可以展開(kāi)為下式復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)。復(fù)指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)其中(一)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)式中稱為傅立葉系數(shù)，是復(fù)數(shù)。第六十一頁(yè)，共572頁(yè)。例：

將圖示周期矩形脈沖信號(hào)展成指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)解：直接代入公式有所以(一)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)

第六十二頁(yè)，共572頁(yè)。1.周期信號(hào)的頻譜為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。(二)周期信號(hào)的頻譜在傅立葉分析中，把各個(gè)分量的幅度隨頻率或角頻率的變化稱為信號(hào)的幅度譜。而把各個(gè)分量的相位隨頻率或角頻率的變化稱為信號(hào)的相位譜。幅度譜和相位譜通稱為信號(hào)的頻譜。三角形式的傅立葉級(jí)數(shù)頻率為非負(fù)的，對(duì)應(yīng)的頻譜一般稱為單邊譜，指數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)頻率為整個(gè)實(shí)軸，所以稱為雙邊譜。第六十三頁(yè)，共572頁(yè)。頻譜圖：若把相位為零的分量的幅度看作正值，把相位為±π的分量的幅度看作負(fù)值，那么幅度譜和相位譜可合二為一。幅度譜相位譜(二)周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的傅立葉系數(shù)為

第六十四頁(yè)，共572頁(yè)。對(duì)周期信號(hào)，如果令T趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)將經(jīng)過(guò)無(wú)窮大的間隔才重復(fù)出現(xiàn)，周期信號(hào)因此變?yōu)榉侵芷谛盘?hào).從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換

當(dāng)T增加時(shí)，基波頻率變小、離散譜線變密，頻譜幅度變小，但頻譜的形狀保持不變。在極限情況下，周期T為無(wú)窮大，其譜線間隔與幅度將會(huì)趨于無(wú)窮小。這樣，原來(lái)由許多譜線組成的周期信號(hào)的離散頻譜就會(huì)聯(lián)成一片，形成非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。第六十五頁(yè)，共572頁(yè)。上兩式稱為傅立葉變換對(duì)，采用下列記號(hào)：傅立葉正變換傅立葉反變換(三)傅立葉變換自定義第六十六頁(yè)，共572頁(yè)。矩形脈沖信號(hào)典型信號(hào)的傅立葉變換第六十七頁(yè)，共572頁(yè)。時(shí)域卷積性質(zhì)若

則頻域卷積性質(zhì)（四）傅里葉變換的性質(zhì)第六十八頁(yè)，共572頁(yè)。拉氏變換對(duì)正變換反變換記作，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)采用系統(tǒng)，相應(yīng)的單邊拉氏變換為考慮到實(shí)際信號(hào)都是有起因信號(hào)拉普拉斯變換的定義第六十九頁(yè)，共572頁(yè)。

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件；拉普拉斯變換的定義第七十頁(yè)，共572頁(yè)。1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法采樣定理；采樣前的模擬信號(hào)和采樣后得到的采樣信號(hào)之間的頻譜關(guān)系；如何由采樣信號(hào)恢復(fù)成原來(lái)的模擬信號(hào)；實(shí)際中如何將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)。第七十一頁(yè)，共572頁(yè)。什么是信號(hào)抽樣第七十二頁(yè)，共572頁(yè)。為什么進(jìn)行信號(hào)抽樣(1)信號(hào)穩(wěn)定性好:

數(shù)據(jù)用二進(jìn)制表示，受外界影響小。(4)系統(tǒng)精度高:

可通過(guò)增加字長(zhǎng)提高系統(tǒng)的精度。(5)系統(tǒng)靈活性強(qiáng):

改變系統(tǒng)的系數(shù)使系統(tǒng)完成不同功能。(2)信號(hào)可靠性高:

存儲(chǔ)無(wú)損耗，傳輸抗干擾。離散信號(hào)與系統(tǒng)的主要優(yōu)點(diǎn)：(3)信號(hào)處理簡(jiǎn)便:

信號(hào)壓縮，信號(hào)編碼，信號(hào)加密等第七十三頁(yè)，共572頁(yè)。對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣可以看做一個(gè)模擬信號(hào)通過(guò)一個(gè)電子開(kāi)關(guān)S。第七十四頁(yè)，共572頁(yè)。實(shí)際抽樣電子開(kāi)關(guān)合上時(shí)間τ→0，則形成理想采樣第七十五頁(yè)，共572頁(yè)。理想抽樣第七十六頁(yè)，共572頁(yè)。理想采樣設(shè)

對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，得到

第七十七頁(yè)，共572頁(yè)。理想采樣采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的，且頻譜幅度為1/T。信號(hào)時(shí)域的離散化導(dǎo)致其頻域的周期化第七十八頁(yè)，共572頁(yè)。采樣信號(hào)頻譜頻譜混疊第七十九頁(yè)，共572頁(yè)。采樣信號(hào)的恢復(fù)第八十頁(yè)，共572頁(yè)。采樣信號(hào)的恢復(fù)第八十一頁(yè)，共572頁(yè)。采樣信號(hào)的恢復(fù)

低通濾波器G(jΩ）的單位沖激響應(yīng)g(t)為：第八十二頁(yè)，共572頁(yè)。采樣信號(hào)的恢復(fù)第八十三頁(yè)，共572頁(yè)。采樣信號(hào)的恢復(fù)第八十四頁(yè)，共572頁(yè)。奈奎斯特采樣定理對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣形成采樣信號(hào)，采樣信號(hào)的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以采樣頻率Ωs為周期進(jìn)行周期性延拓形成的。設(shè)連續(xù)信號(hào)xa(t)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs≥2Ωc，那么讓采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)xa(t)。否則,Ωs<2Ωc會(huì)造成采樣信號(hào)的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無(wú)失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。第八十五頁(yè)，共572頁(yè)。抽樣定理的工程應(yīng)用許多實(shí)際工程信號(hào)不滿足帶限條件抗混低通濾波器第八十六頁(yè)，共572頁(yè)?；殳B誤差與截?cái)嗾`差比較抽樣定理的工程應(yīng)用第八十七頁(yè)，共572頁(yè)。重要公式第八十八頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)7、設(shè)LTI系統(tǒng)由下面差分方程描述：設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。第八十九頁(yè)，共572頁(yè)。解：令x(n)=δ(n),則n=0時(shí)，n=1時(shí)，第九十頁(yè)，共572頁(yè)。n=2時(shí)，

n=3時(shí)，所以第九十一頁(yè)，共572頁(yè)。8、數(shù)字信號(hào)是指__________的信號(hào)。

時(shí)間幅度都離散的

第九十二頁(yè)，共572頁(yè)。9、若用單位序列及其移位加權(quán)和表示x(n)=____________________。第九十三頁(yè)，共572頁(yè)。10、序列是周期序列的條件是____________________。第九十四頁(yè)，共572頁(yè)。11、序列{2，3，2，1}與序列{2，3，5，2，1}相加為_(kāi)___，相乘為_(kāi)____。{4，6，7，3，1}{4，9，10，2}第九十五頁(yè)，共572頁(yè)。12、判斷正誤

數(shù)字信號(hào)處理的主要對(duì)象是數(shù)字信號(hào)，且是采用數(shù)值運(yùn)算的方法達(dá)到處理目的的。()

對(duì)第九十六頁(yè)，共572頁(yè)。13、判斷正誤

單位階躍序列與矩形序列的關(guān)系是

錯(cuò)第九十七頁(yè)，共572頁(yè)。14、判斷正誤因果系統(tǒng)一定是穩(wěn)定系統(tǒng)。()

錯(cuò)第九十八頁(yè)，共572頁(yè)。15、判斷正誤

如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間變化，則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。（）

對(duì)第九十九頁(yè)，共572頁(yè)。16、判斷正誤所謂穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入、有界輸出的系統(tǒng)。（）

對(duì)第一百頁(yè)，共572頁(yè)。17、判斷正誤

差分方程本身能確定該系統(tǒng)的因果和穩(wěn)定性。()

錯(cuò)。差分方程本身不能確定該系統(tǒng)的因果和穩(wěn)定性，還需要用初始條件進(jìn)行限制。第一百零一頁(yè)，共572頁(yè)。18、判斷正誤

若連續(xù)信號(hào)屬帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，如果采樣角頻率Ωs<2Ωc，那么讓采樣信號(hào)通過(guò)一個(gè)增益為T、截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，可以唯一地恢復(fù)出原連續(xù)信號(hào)。()

錯(cuò)第一百零二頁(yè)，共572頁(yè)。引言時(shí)域分析頻域分析復(fù)頻域分析連續(xù)信號(hào)信號(hào)：連續(xù)變量時(shí)間的函數(shù)系統(tǒng)：微分方程傅里葉變換拉普拉斯變換離散信號(hào)信號(hào)：離散信號(hào)（序列）系統(tǒng)：差分方程傅里葉變換Z變換第一百零三頁(yè)，共572頁(yè)。一、時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義正變換：序列x(n)的傅里葉變換（離散時(shí)間傅里葉變換DTFT）定義為：序列的傅里葉變換存在的充分條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件，即第一百零四頁(yè)，共572頁(yè)。一、時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的定義反變換

X(ejω)的傅里葉反變換為：性質(zhì)：傅里葉變換的周期性、線性性質(zhì)時(shí)移與頻移性質(zhì)、對(duì)稱性時(shí)域卷積定理、頻域卷積定理帕斯維爾定理第一百零五頁(yè)，共572頁(yè)。例1、設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里葉變換。

當(dāng)N=4時(shí)，其幅度與相位隨頻率ω的變化曲線如圖所示：第一百零六頁(yè)，共572頁(yè)。第一百零七頁(yè)，共572頁(yè)。1、傅里葉變換的周期性傅里葉分析規(guī)律：則離散非周期序列的傅里葉變換是：

連續(xù)周期的。離散連續(xù)周期性非周期性第一百零八頁(yè)，共572頁(yè)。1、傅里葉變換的周期性傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。說(shuō)明：由于傅里葉變換的周期是2π，一般只分析－π~＋π或0~2π的范圍。第一百零九頁(yè)，共572頁(yè)。1、傅里葉變換的周期性第一百一十頁(yè)，共572頁(yè)。2、線性性質(zhì)第一百一十一頁(yè)，共572頁(yè)。3、時(shí)移與頻移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)：頻移性質(zhì)：第一百一十二頁(yè)，共572頁(yè)。4、傅里葉變換的對(duì)稱性（1）共軛對(duì)稱的定義設(shè)序列xe(n)滿足：則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。第一百一十三頁(yè)，共572頁(yè)。4、傅里葉變換的對(duì)稱性結(jié)論：共軛對(duì)稱序列的實(shí)部是偶對(duì)稱的，虛部是奇對(duì)稱的。第一百一十四頁(yè)，共572頁(yè)。4、傅里葉變換的對(duì)稱性（2）共軛反對(duì)稱定義設(shè)序列xo(n)滿足：則稱xo(n)為共軛反對(duì)稱序列。第一百一十五頁(yè)，共572頁(yè)。4、傅里葉變換的對(duì)稱性結(jié)論：共軛反對(duì)稱序列的實(shí)部是奇對(duì)稱的，虛部是偶對(duì)稱的。第一百一十六頁(yè)，共572頁(yè)。（3）一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示，即又則4、傅里葉變換的對(duì)稱性第一百一十七頁(yè)，共572頁(yè)。同理4、傅里葉變換的對(duì)稱性第一百一十八頁(yè)，共572頁(yè)。

（4）傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)將上式進(jìn)行傅里葉變換，得到:4、傅里葉變換的對(duì)稱性第一百一十九頁(yè)，共572頁(yè)。結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部?jī)刹糠?，?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性；虛部和j一起對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。4、傅里葉變換的對(duì)稱性第一百二十頁(yè)，共572頁(yè)。將序列分成共軛對(duì)稱部分xe(n)和共軛反對(duì)稱部分xo(n)，即

x(n)=xe(n)+xo(n)

則4、傅里葉變換的對(duì)稱性第一百二十一頁(yè)，共572頁(yè)。結(jié)論：序列x(n)的共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著X(ejω)的實(shí)部Re[X(ejω)]；序列x(n)的共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著X(ejω)的虛部乘j，即jIm[X(ejω)]。4、傅里葉變換的對(duì)稱性第一百二十二頁(yè)，共572頁(yè)。5、時(shí)域卷積定理若y(n)=x(n)*h(n),則第一百二十三頁(yè)，共572頁(yè)。6、頻域卷積定理

若y(n)=x(n)h(n),則第一百二十四頁(yè)，共572頁(yè)。7、帕斯維爾定理定理表明：時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。第一百二十五頁(yè)，共572頁(yè)。2.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式掌握周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)掌握周期序列的傅里葉變換第一百二十六頁(yè)，共572頁(yè)。一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，其離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)是則)(~kX第一百二十七頁(yè)，共572頁(yè)。例2、設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到周期序列，周期為8，求DFS［］一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)第一百二十八頁(yè)，共572頁(yè)。一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)第一百二十九頁(yè)，共572頁(yè)。幅度特性一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)第一百三十頁(yè)，共572頁(yè)。各種傅里葉變換的定義及特點(diǎn)類別時(shí)域特點(diǎn)頻域特點(diǎn)公式連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)周期離散非周期連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)非周期連續(xù)非周期第一百三十一頁(yè)，共572頁(yè)。各種傅里葉變換的定義及特點(diǎn)類別時(shí)域特點(diǎn)頻域特點(diǎn)公式離散傅里葉級(jí)數(shù)離散周期離散周期離散時(shí)間傅里葉變換離散非周期連續(xù)周期第一百三十二頁(yè)，共572頁(yè)。二、周期序列的傅里葉變換因?yàn)橹芷谛蛄胁粷M足絕對(duì)可和的條件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的，可以展成離散傅里葉級(jí)數(shù)，引入奇異函數(shù)δ(W)，其FT可以用公式表示出來(lái)。（知識(shí)回顧）連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換對(duì)離散信號(hào)中存在傅里葉變換對(duì)第一百三十三頁(yè)，共572頁(yè)。周期序列的傅里葉變換第一百三十四頁(yè)，共572頁(yè)。周期序列的傅里葉變換第一百三十五頁(yè)，共572頁(yè)。二、周期序列的傅里葉變換第一百三十六頁(yè)，共572頁(yè)。二、周期序列的傅里葉變換第一百三十七頁(yè)，共572頁(yè)。二、周期序列的傅里葉變換第一百三十八頁(yè)，共572頁(yè)。二、周期序列的傅里葉變換例3、設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到周期序列，周期為8，求FT［］解：已知得：第一百三十九頁(yè)，共572頁(yè)。其幅度頻譜為：對(duì)比例2二、周期序列的傅里葉變換第一百四十頁(yè)，共572頁(yè)。第一百四十一頁(yè)，共572頁(yè)。二、周期序列的傅里葉變換第一百四十二頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)第一百四十三頁(yè)，共572頁(yè)。2、序列的傅里葉變換為_(kāi)_____________。第一百四十四頁(yè)，共572頁(yè)。

3．設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n),0<a<1，輸入序列為

x(n)=δ(n)+2δ(n－2)完成下面各題：

(1)求出系統(tǒng)輸出序列y(n)；

(2)分別求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里葉變換。

第一百四十五頁(yè)，共572頁(yè)。(2)第一百四十六頁(yè)，共572頁(yè)。4、設(shè)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為h(n)，則系統(tǒng)因果的充要條件為（）A．當(dāng)n>0時(shí)，h(n)=0B．當(dāng)n>0時(shí)，h(n)≠0C．當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0D．當(dāng)n<0時(shí)，h(n)≠0C第一百四十七頁(yè)，共572頁(yè)。5、下列關(guān)系正確的為（）D第一百四十八頁(yè)，共572頁(yè)。6、判斷正誤

時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換存在的充分條件是序列絕對(duì)可和。（）

對(duì)第一百四十九頁(yè)，共572頁(yè)。7、判斷正誤序列的傅里葉變換是頻率ω非周期函數(shù)。（）

錯(cuò)

。序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。

第一百五十頁(yè)，共572頁(yè)。2.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系第一百五十一頁(yè)，共572頁(yè)。時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系第一百五十二頁(yè)，共572頁(yè)。2.5序列的Z變換掌握Z(yǔ)變換的正變換和逆變換定義，以及收斂域與序列特性之間的關(guān)系。理解主要的Z變換的定理和性質(zhì)。第一百五十三頁(yè)，共572頁(yè)。一、Z變換的定義1、定義雙邊Z變換

單邊Z變換

defdef第一百五十四頁(yè)，共572頁(yè)。Z變換的收斂域2、收斂域?qū)θ我饨o定序列x(n)，使其z變換收斂的所有z值的集合稱為收斂域。

z變換存在的條件是級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即滿足不等式的z變量的取值范圍就是收斂域。

對(duì)于雙邊z變換，其象函數(shù)與收斂域共同惟一確定序列。第一百五十五頁(yè)，共572頁(yè)。零點(diǎn)與極點(diǎn)3、零點(diǎn)與極點(diǎn)常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：零點(diǎn):分子多項(xiàng)式P(z)的根。極點(diǎn):分母多項(xiàng)式Q(z)的根。

在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。

第一百五十六頁(yè)，共572頁(yè)。z變換與傅里葉變換的關(guān)系4、z變換與傅里葉變換的關(guān)系

單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。

思考：

Z變換的收斂域不包含單位圓時(shí)序列的傅里葉變換存在嗎？第一百五十七頁(yè)，共572頁(yè)。Z變換例5、x(n)=u(n),求其Z變換。解：當(dāng)|z|>1時(shí)

X(z)存在，因此收斂域?yàn)閨z|>1第一百五十八頁(yè)，共572頁(yè)。二、序列特性對(duì)收斂域的影響1．有限長(zhǎng)序列其z變換為：有限長(zhǎng)序列的收斂域一般是0<|z|<∞，有時(shí)也包括z=0或z=∞處。其它第一百五十九頁(yè)，共572頁(yè)。有限長(zhǎng)序列

n1<0,n2≤0時(shí)，ROC為：

n1<0,n2>0時(shí)，ROC為：

n1≥0,n2>0時(shí)，ROC為：0≤|z|<∞0<|z|<∞0<|z|≤∞第一百六十頁(yè)，共572頁(yè)。有限長(zhǎng)序列例6、求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解：收斂域?yàn)椋?<|z|≤∞第一百六十一頁(yè)，共572頁(yè)。右邊序列2、右邊序列*第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)第一百六十二頁(yè)，共572頁(yè)。右邊序列收斂域:所以：右邊序列的收斂域?yàn)椋海▓A外，但不包括無(wú)窮遠(yuǎn)處）第一百六十三頁(yè)，共572頁(yè)。右邊序列之因果序列

特殊情況還可擴(kuò)大：

因果序列：

它是一種最重要的右邊序列,收斂域?yàn)椋海▓A外，且包括無(wú)窮遠(yuǎn)處）第一百六十四頁(yè)，共572頁(yè)。右邊序列之因果序列因果序列是一種最重要的右邊序列，收斂域?yàn)椋簗Z|=∞處Z變換收斂是因果序列的特征。在∞處收斂的序列必為因果序列。第一百六十五頁(yè)，共572頁(yè)。左邊序列（3）左邊序列

*第一項(xiàng)為z的正冪級(jí)數(shù)，第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列第一百六十六頁(yè)，共572頁(yè)。左邊序列收斂域:所以：左邊序列的收斂域?yàn)椋海▓A內(nèi)，但不包括0）第一百六十七頁(yè)，共572頁(yè)。左邊序列

反因果序列：

收斂域?yàn)椋海▓A內(nèi)，且包括0）第一百六十八頁(yè)，共572頁(yè)。雙邊序列（4）雙邊序列雙邊序列可看做左邊序列和右邊序列之和。第一百六十九頁(yè)，共572頁(yè)。雙邊序列收斂域:所以：雙邊序列的收斂域?yàn)椋海ōh(huán)域）第一百七十頁(yè)，共572頁(yè)。序列特性對(duì)收斂域的影響收斂域特殊情況收斂域有限長(zhǎng)序列右邊序列左邊序列雙邊序列

因果序列反因果序列當(dāng)收斂域不存在第一百七十一頁(yè)，共572頁(yè)。序列特性對(duì)收斂域的影響例7、求序列

的Z變換及收斂域。解：這是無(wú)窮等比級(jí)數(shù),公比是，在什么情況下收斂？零點(diǎn)？極點(diǎn)？第一百七十二頁(yè)，共572頁(yè)。序列特性對(duì)收斂域的影響本例，極點(diǎn)為。收斂域內(nèi)不能有極點(diǎn)?；蚴諗坑蛞詷O點(diǎn)為邊界。因果序列的收斂域一定在模最大的極點(diǎn)所在的圓外。第一百七十三頁(yè)，共572頁(yè)。序列特性對(duì)收斂域的影響例8、求序列 z變換及收斂域。

解：反因果序列的收斂域一定在模最小的極點(diǎn)所在的圓內(nèi)。本例，極點(diǎn)為：第一百七十四頁(yè)，共572頁(yè)。序列特性對(duì)收斂域的影響例9、求序列 z變換及收斂域。解：雙邊序列的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域,且以極點(diǎn)為邊界。本例，極點(diǎn)為：

第一百七十五頁(yè)，共572頁(yè)。三、逆z變換一.z反變換的定義：已知X(z)及其收斂域,反過(guò)來(lái)求序列x(n)的變換稱作z反變換。求z反變換的方法：

1、圍線積分法（留數(shù)法）；

2、部分分式展開(kāi)法；

3、長(zhǎng)除法。第一百七十六頁(yè)，共572頁(yè)。1、留數(shù)法根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域內(nèi)解析，則在此區(qū)域可展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)的形式：其中：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.第一百七十七頁(yè)，共572頁(yè)。

但直接計(jì)算圍線積分比較麻煩，一般都用留數(shù)定理來(lái)求解。對(duì)比和z變換的定義可知：1、留數(shù)法第一百七十八頁(yè)，共572頁(yè)。

留數(shù)定理：若函數(shù)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)Zk，在c外有M個(gè)極點(diǎn)ZM（K,M為有限值），則有：注意：應(yīng)用第二式計(jì)算時(shí)，要求的分母多項(xiàng)式中z的階次比分子多項(xiàng)式z的階數(shù)高二階或以上。1、留數(shù)法第一百七十九頁(yè)，共572頁(yè)。求留數(shù)的方法：1、當(dāng)Zk為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：2、當(dāng)Zk為m階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：1、留數(shù)法第一百八十頁(yè)，共572頁(yè)。例10、已知X(z)=(1－az－1)－1，|z|>a,求其逆Z變換x(n)。解n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z1=a；n<0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有2個(gè)極點(diǎn)：z1=a,z2=0（高階）；1、留數(shù)法第一百八十一頁(yè)，共572頁(yè)。則n≥0時(shí)，n<0時(shí)，圍線內(nèi)有高階極點(diǎn)，由于F(z)的分母階次比分子階次高二階以上，因而求圓外極點(diǎn)留數(shù)。由于圍線外無(wú)極點(diǎn)，故n<0時(shí)，x(n)=0

所以

x(n)=anu(n)1、留數(shù)法第一百八十二頁(yè)，共572頁(yè)。例11、已知,求其逆變換x(n)。解：先確定收斂域。

X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，這樣收斂域有三種選法，它們是：（1）|z|>|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，對(duì)應(yīng)的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，對(duì)應(yīng)的x(n)是雙邊序列。1、留數(shù)法第一百八十三頁(yè)，共572頁(yè)。

（1）收斂域?yàn)閨z|>|a－1|:這種情況的原序列是因果序列，無(wú)須求n<0時(shí)的x(n)。當(dāng)n≥0時(shí)，F(xiàn)(z)在c內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)：z=a和z=a－1，因此1、留數(shù)法第一百八十四頁(yè)，共572頁(yè)。最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。1、留數(shù)法第一百八十五頁(yè)，共572頁(yè)。

（2）收斂域?yàn)閨z|<|a|:原序列是左序列，無(wú)須計(jì)算n≥0情況。實(shí)際上，當(dāng)n≥0時(shí)，圍線積分c內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，因此x(n)=0。n<0時(shí)，c內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z=0，且是n階極點(diǎn)，改求c外極點(diǎn)留數(shù)之和。即

最后將x(n)表示成封閉式：x(n)=(a－n－an)u(－n－1)1、留數(shù)法第一百八十六頁(yè)，共572頁(yè)。

（3）收斂域?yàn)閨a|<|z|<|a－1|:

x(n)是雙邊序列。根據(jù)被積函數(shù)F(z)，按n≥0和n<0兩種情況分別求x(n)。

n≥0時(shí)，c內(nèi)只有1個(gè)極點(diǎn)：z=a,則

x(n)=Res［F(z),a］=ana1/a收斂域1、留數(shù)法第一百八十七頁(yè)，共572頁(yè)。

n<0時(shí)，c內(nèi)極點(diǎn)有2個(gè)，其中z=0是n階極點(diǎn)，且由于F(z)的分母多項(xiàng)式比分子多項(xiàng)式的最高次數(shù)高2階以上，故改求c外極點(diǎn)留數(shù)，c外極點(diǎn)只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后將x(n)表示為即x(n)=a|n|1、留數(shù)法第一百八十八頁(yè)，共572頁(yè)。2、部分分式展開(kāi)法通常，X(z)可表示成有理分式形式：

如果能將X(z)展開(kāi)成幾個(gè)簡(jiǎn)單的分式的和的形式，而簡(jiǎn)單形式的z反變換可通過(guò)查表直接求得。第一百八十九頁(yè)，共572頁(yè)。觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在極點(diǎn)z=zm的留數(shù)就是系數(shù)Am。求出Am系數(shù)后，查表可得x(n)序列。2、部分分式展開(kāi)法第一百九十頁(yè)，共572頁(yè)。解：由留數(shù)法求系數(shù)得

因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)?，為因果序列，從而求?/p>

解：將X(z)變?yōu)閄(z)/z的形式并化為部分分式2、部分分式展開(kāi)法第一百九十一頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)1、的Z變換為_(kāi)___，收斂域?yàn)開(kāi)_____。1/(1-az-1)，∣z∣>∣a∣

第一百九十二頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)2、的Z變換為_(kāi)___，收斂域?yàn)開(kāi)_____。1/(1-az-1)，∣z∣<∣a∣

第一百九十三頁(yè)，共572頁(yè)。3、判斷題序列z變換的收斂域內(nèi)可以含有極點(diǎn)。()

錯(cuò)課堂練習(xí)第一百九十四頁(yè)，共572頁(yè)。4、已知

求z反變換。解:所以當(dāng)n<0時(shí)，x(n)=0。只需考慮n≥0時(shí)的情況。課堂練習(xí)第一百九十五頁(yè)，共572頁(yè)。如圖所示，取收斂域的一個(gè)圍線c，可知當(dāng)n≥0時(shí),C內(nèi)有兩個(gè)一階極點(diǎn) ，所以

課堂練習(xí)第一百九十六頁(yè)，共572頁(yè)。5、已知，

求z反變換。課堂練習(xí)第一百九十七頁(yè)，共572頁(yè)。如圖所示，取收斂域的一個(gè)圍線c，分兩種情況討論：（1）n≥－1時(shí)，C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn)

課堂練習(xí)第一百九十八頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)第一百九十九頁(yè)，共572頁(yè)。（2）當(dāng)n<-1時(shí)，

C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階),z=0（高階）；而在C外僅有z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn)，且F(z)的分母多項(xiàng)式比分子多項(xiàng)式的最高次數(shù)高2階以上，

課堂練習(xí)第二百頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)第二百零一頁(yè)，共572頁(yè)。四、Z變換的性質(zhì)和定理如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性第二百零二頁(yè)，共572頁(yè)。2.序列的移位四、Z變換的性質(zhì)和定理第二百零三頁(yè)，共572頁(yè)。3、時(shí)域卷積定理四、Z變換的性質(zhì)和定理第二百零四頁(yè)，共572頁(yè)。1、理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換

連續(xù)信號(hào)

序列抽樣信號(hào)五、z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系第二百零五頁(yè)，共572頁(yè)。2、z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系比較理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換和序列的z變換，可得：

用公式表示為：s平面和z平面具體是怎樣的映射關(guān)系？

當(dāng)時(shí)，序列x(n)的z變換就等于理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換。z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系第二百零六頁(yè)，共572頁(yè)。3、s平面和z平面之間的映射關(guān)系

s平面用直角坐標(biāo)表示為：

z平面用極坐標(biāo)表示為：又由于所以：因此:

即：z的模只與s的實(shí)部相對(duì)應(yīng),z的相角只與s虛部Ω相對(duì)應(yīng)。s平面和z平面之間的映射關(guān)系第二百零七頁(yè)，共572頁(yè)。（1）r與σ的關(guān)系：σ=0,σ>0,σ<0,r=1,即s平面的虛軸映射到z平面單位圓上；r>1,即s平面的右半平面映射到z平面單位圓外；r<1,即s平面的左半平面映射到z平面單位圓內(nèi)；s平面和z平面之間的映射關(guān)系第二百零八頁(yè)，共572頁(yè)。（2）ω與Ω的關(guān)系（ω=ΩT）

s平面寬的水平條帶對(duì)應(yīng)ω整個(gè)z平面。Ω=0，ω=0，s平面的實(shí)軸對(duì)應(yīng)z平面正實(shí)軸；s平面和z平面之間的映射關(guān)系第二百零九頁(yè)，共572頁(yè)。

s平面寬的水平條帶，同樣對(duì)應(yīng)ω整個(gè)z平面。s平面和z平面之間的映射關(guān)系第二百一十頁(yè)，共572頁(yè)。六、z變換與理想抽樣信號(hào)傅立葉變換的關(guān)系序列的z變換為：

傅立葉變換是拉普拉斯變換在虛軸的特例理想抽樣信號(hào)的拉普拉斯變換為：第二百一十一頁(yè)，共572頁(yè)。z變換與傅立葉變換的關(guān)系可得z變換與傅立葉變換之間的關(guān)系：

抽樣序列在單位圓上的z變換,就等于理想抽樣信號(hào)傅立葉變換。單位圓上的z變換稱為序列的傅里葉變換(頻譜)，也稱為離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)。第二百一十二頁(yè)，共572頁(yè)。2.6利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻響特性一、系統(tǒng)函數(shù)在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，h(n)表示系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)的特性。H(z)稱作線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。

第二百一十三頁(yè)，共572頁(yè)。系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。令，得h(n)的傅立葉變換（系統(tǒng)的頻率響應(yīng)）。第二百一十四頁(yè)，共572頁(yè)。二、因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換收斂域判斷）

回顧因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)的充要條件是？因果：h(n)是因果序列。穩(wěn)定：h(n)絕對(duì)可和。故，線性時(shí)不變系統(tǒng)因果穩(wěn)定的充要條件是：h(n)是因果序列且絕對(duì)可和，即：h(n)序列絕對(duì)可和，即h(n)的傅里葉變換存在，則其z變換收斂域必須包括。單位圓第二百一十五頁(yè)，共572頁(yè)。因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換收斂域判斷）

所以：一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域必須在從單位圓到∞的整個(gè)z域內(nèi)收斂。

或：系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)都必須在單位圓內(nèi)。思考：判斷系統(tǒng)因果穩(wěn)定的方法有幾種？第二百一十六頁(yè)，共572頁(yè)。

解H(z)的極點(diǎn)為z=a,z=a－1。（1）收斂域?yàn)閍－1<|z|≤∞:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）收斂域?yàn)?≤|z|<a:對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。（3）收斂域?yàn)閍<|z|<a－1:對(duì)應(yīng)一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。

例14、已知分析其因果性和穩(wěn)定性。因果穩(wěn)定系統(tǒng)（從z變換收斂域判斷）第二百一十七頁(yè)，共572頁(yè)。三、系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系線性移不變系統(tǒng)常用差分方程表示：取z變換得：第二百一十八頁(yè)，共572頁(yè)。系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系分析：

在已知收斂域的條件下系統(tǒng)的特性由系數(shù)bm、ak決定。在已知收斂域的條件下系統(tǒng)的特性由系數(shù)cm、dk決定。注：僅有差分方程，不能唯一確定系統(tǒng)第二百一十九頁(yè)，共572頁(yè)。四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義

系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h(n)的傅立葉變換稱作系統(tǒng)頻率響應(yīng)。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)：第二百二十頁(yè)，共572頁(yè)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的意義若輸入為正弦信號(hào)，輸出也為正弦信號(hào)。第二百二十一頁(yè)，共572頁(yè)。五、頻率響應(yīng)的幾何確定1、頻率響應(yīng)的零極點(diǎn)表達(dá)式第二百二十二頁(yè)，共572頁(yè)。頻率響應(yīng)的幾何確定第二百二十三頁(yè)，共572頁(yè)。頻率響應(yīng)的幾何確定2、幾點(diǎn)說(shuō)明

(1)單位圓附近的零點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的谷點(diǎn)的位置與深度有明顯影響，當(dāng)零點(diǎn)位于單位圓上時(shí)，谷點(diǎn)為零。零點(diǎn)可在單位圓外。

(2)單位圓附近的極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)的峰點(diǎn)的位置和高度有明顯影響，極點(diǎn)越接近單位圓，峰值就越尖銳。極點(diǎn)在單位圓上，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第二百二十四頁(yè)，共572頁(yè)。頻率響應(yīng)的幾何確定零點(diǎn)在單位圓上0和pi處；極點(diǎn)在處。第二百二十五頁(yè)，共572頁(yè)。頻率響應(yīng)的幾何確定解：系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：

例15、已知系統(tǒng)的差分方程為：指出系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)并分析系統(tǒng)的頻響特性。解：∴極點(diǎn)為z=b，零點(diǎn)為z=0第二百二十六頁(yè)，共572頁(yè)。

例16、已知H(z)=1－z－N，試定性畫(huà)出系統(tǒng)的幅頻特性。解極點(diǎn)：H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。零點(diǎn)：零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定。即頻率響應(yīng)的幾何確定第二百二十七頁(yè)，共572頁(yè)。N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖所示：頻率響應(yīng)的幾何確定第二百二十八頁(yè)，共572頁(yè)。重要公式傅里葉變換的正變換傅里葉變換的逆變換注意正變換存在的條件是：序列服從絕對(duì)可和的條件。第二百二十九頁(yè)，共572頁(yè)。離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)可用于表現(xiàn)周期序列的頻譜特性。第二百三十頁(yè)，共572頁(yè)。周期序列的傅里葉變換

如果周期序列的周期是N，則其頻譜由N條譜線組成，注意畫(huà)圖時(shí)要用帶箭頭的線段表示。第二百三十一頁(yè)，共572頁(yè)。Z變換的正變換雙邊Z變換注意收斂域第二百三十二頁(yè)，共572頁(yè)。課堂練習(xí)1、若H（Z）的收斂域包括∞點(diǎn)，則

h（n）一定是__________序列。因果第二百三十三頁(yè)，共572頁(yè)。2、線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)是因果系統(tǒng)的充要條件是____________________。h(n)=0,n<0或收斂域在某圓的外面第二百三十四頁(yè)，共572頁(yè)。3、線性時(shí)不變系統(tǒng)h(n)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是____________________。h(n)絕對(duì)可和或收斂域包括單位圓

第二百三十五頁(yè)，共572頁(yè)。4、時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為若要求系統(tǒng)穩(wěn)定，則a的取值域?yàn)開(kāi)___

和b的取值域?yàn)開(kāi)_____________。|a|≠1,|b|≠1第二百三十六頁(yè)，共572頁(yè)。5、時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為若要求系統(tǒng)因果穩(wěn)定，則a的取值域?yàn)開(kāi)___和b的取值域?yàn)開(kāi)____。0≤|a|<1,0≤|b|<1

第二百三十七頁(yè)，共572頁(yè)。6、序列的傅里葉變換等于序列在(

)上的Z變換。A.單位圓

B.實(shí)軸C.正虛軸

D.負(fù)虛軸A第二百三十八頁(yè)，共572頁(yè)。7、下列哪一個(gè)單位抽樣響應(yīng)所表示的系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)?()A.δ(n)B.h(n)=u(n)C.h(n)=u(n)-u(n-1)D.h(n)=u(n)-u(n+1)D第二百三十九頁(yè)，共572頁(yè)。8、如果系統(tǒng)函數(shù)用下式表示:則下列關(guān)于收斂域的說(shuō)法正確的是（）A．該系統(tǒng)無(wú)法通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)氖諗坑蚴乖撓到y(tǒng)因果穩(wěn)定B．收斂域?yàn)闀r(shí)，系統(tǒng)因果穩(wěn)定C．收斂域?yàn)闀r(shí)，系統(tǒng)因果穩(wěn)定D．收斂域?yàn)闀r(shí)，系統(tǒng)因果穩(wěn)定

D第二百四十頁(yè)，共572頁(yè)。9、已知某數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：（1）畫(huà)出零極點(diǎn)分布圖（2）利用幾何確定法分析幅度特性，畫(huà)出幅度特性圖；（3）試判斷濾波器的類型（低通、高通、帶通、帶阻）。

第二百四十一頁(yè)，共572頁(yè)。解：（1）將系統(tǒng)函數(shù)寫成下式:

系統(tǒng)的零點(diǎn)為z=0，極點(diǎn)為z=0.9，零點(diǎn)在z平面的原點(diǎn)，零極點(diǎn)分布圖為：第二百四十二頁(yè)，共572頁(yè)。（2）不影響頻率特性，而惟一的極點(diǎn)在實(shí)軸的0.9處，幅度特性圖為：（3）濾波器的通帶中心在ω=0處，這是一個(gè)低通濾波器。第二百四十三頁(yè)，共572頁(yè)。DFT要解決兩個(gè)問(wèn)題： 一是頻譜的離散化； 二是算法的快速計(jì)算(FFT)。這兩個(gè)問(wèn)題都是為了使計(jì)算機(jī)能夠?qū)崟r(shí)處理信號(hào)。引言第二百四十四頁(yè)，共572頁(yè)。時(shí)域周期化→頻域離散化時(shí)域離散化→頻域周期化離散連續(xù)周期性非周期性引言第二百四十五頁(yè)，共572頁(yè)。序列的傅里葉變換離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅立葉變換（序列的傅立葉變換）x(n)-1012t

時(shí)域離散、非周期頻域連續(xù)、周期連續(xù)：不適合計(jì)算機(jī)處理第二百四十六頁(yè)，共572頁(yè)。由DTFT到DFT離散時(shí)間、離散頻率的傅立葉變換（DFT）由上述分析可知，對(duì)DTFT，要想在頻域上離散化，那么在時(shí)域上必須作周期延拓。對(duì)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列x(n)，以N為周期延拓（N≥M）。

注意：離散傅里葉變換（DFT）只對(duì)有限長(zhǎng)序列作周期延拓或周期序列成立。第二百四十七頁(yè)，共572頁(yè)?！诙偎氖隧?yè)，共572頁(yè)。3.1離散傅里葉變換的定義及物理意義一、DFT的定義設(shè)x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，則定義x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換為第二百四十九頁(yè)，共572頁(yè)。旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì)第二百五十頁(yè)，共572頁(yè)。例1、已知，分別求8和16點(diǎn)DFT解：頻率采樣點(diǎn)數(shù)不同，DFT的長(zhǎng)度不同，DFT的結(jié)果也不同。第二百五十一頁(yè)，共572頁(yè)。

1、求模（余數(shù)）運(yùn)算如果整數(shù)則稱n1是n對(duì)N的模（余數(shù)），記作：或n模N等于n175二、DFT的隱含周期性第二百五十二頁(yè)，共572頁(yè)。2、有限長(zhǎng)序列x(n)和周期序列的關(guān)系周期序列是有限長(zhǎng)序列x(n)的周期延拓。有限長(zhǎng)序列x(n)是周期序列的主值序列?；蚨?、DFT的隱含周期性第二百五十三頁(yè)，共572頁(yè)。如：nN-1x(n)0......n0N-1定義從n=0到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。二、DFT的隱含周期性第二百五十四頁(yè)，共572頁(yè)。周期序列是有限長(zhǎng)序列X(k)的周期延拓。有限長(zhǎng)序列X(k)是周期序列的主值序列。3、頻域周期序列與有限長(zhǎng)序列X(k)的關(guān)系二、DFT的隱含周期性第二百五十五頁(yè)，共572頁(yè)。這里的周期延拓僅看作數(shù)學(xué)處理方法，或者說(shuō)借助時(shí)域周期延拓實(shí)現(xiàn)有限長(zhǎng)序列頻譜的離散化。在DFT中，有限長(zhǎng)序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來(lái)表示的，總是隱含周期性。二、DFT的隱含周期性第二百五十六頁(yè)，共572頁(yè)。

若x(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N即

三、DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系

比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)時(shí)第二百五十七頁(yè)，共572頁(yè)。DFT與Z變換的關(guān)系所以X(k)也就是對(duì)X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值。第二百五十八頁(yè)，共572頁(yè)。DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系

若x(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N第二百五十九頁(yè)，共572頁(yè)。X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為ωN=2π/NDFT與序列傅里葉變換的關(guān)系第二百六十頁(yè)，共572頁(yè)。3.2DFT的基本性質(zhì)一、線性1、如果兩序列都是N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列時(shí)，且有

則有：2.和的長(zhǎng)度N1和N2不等時(shí)，怎辦？

選擇為變換長(zhǎng)度,短者進(jìn)行補(bǔ)零達(dá)到N點(diǎn)。第二百六十一頁(yè)，共572頁(yè)。二、循環(huán)移位性質(zhì)1、序列的循環(huán)移位（圓周移位）定義：一個(gè)有限長(zhǎng)序列的圓周移位定義為

第二百六十二頁(yè)，共572頁(yè)。n0N-1n0周期延拓N-1循環(huán)移位第二百六十三頁(yè)，共572頁(yè)。循環(huán)移位第二百六十四頁(yè)，共572頁(yè)。2、循環(huán)移位的含義（1）主值區(qū)間:n=0～N-1；

（3）如果把x(n)首尾排列(n=0~N-1)在一個(gè)N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于x(n)在圓上旋轉(zhuǎn)，故又稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時(shí)，看到的就是周期序列

（2）當(dāng)某序列值從此區(qū)間一端移出時(shí)，與它相同的序列值又從此區(qū)間的另一端移進(jìn)來(lái);循環(huán)移位第二百六十五頁(yè)，共572頁(yè)。時(shí)域圓周移位的性質(zhì)3、時(shí)域圓周移位的性質(zhì)第二百六十六頁(yè)，共572頁(yè)。頻域圓周移位的性質(zhì)4、頻域圓周移位的性質(zhì)（調(diào)制特性）

或：

時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。第二百六十七頁(yè)，共572頁(yè)。1、兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積設(shè)序列h(n)和x(n)的長(zhǎng)度分別為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為其中L為循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度，L≥max(N，M)

表示方法:

或三、循環(huán)卷積定理L*第二百六十八頁(yè)，共572頁(yè)。2、循環(huán)卷積的計(jì)算方法——矩陣相乘x(n)序列:{x(0),x(1),x(2)…,x(L－1)}x(n)的循環(huán)倒相序列：令n=0,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列為

循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二百六十九頁(yè)，共572頁(yè)。令n=1,m=0,1,…,L-1，x((n-m))L形成的序列為該序列相當(dāng)于x(n)的循環(huán)倒相序列向右循環(huán)移1位。再令n=2,m=0,1,…,L－1，此時(shí)得到的序列又是上面的序列向右循環(huán)移1位。依次類推，當(dāng)n和m均從0變化到L-1時(shí)，得到一個(gè)關(guān)于x((n－m))L的矩陣如下：

循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二百七十頁(yè)，共572頁(yè)。循環(huán)卷積矩陣：循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二百七十一頁(yè)，共572頁(yè)。說(shuō)明：1、如果x(n)或h(n)的長(zhǎng)度小于L，則需要在序列末尾補(bǔ)0，使序列長(zhǎng)度為L(zhǎng)。2、循環(huán)卷積滿足交換律。循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二百七十二頁(yè)，共572頁(yè)。

例2、計(jì)算下面給出的兩個(gè)長(zhǎng)度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。解:

h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二百七十三頁(yè)，共572頁(yè)。h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為循環(huán)卷積的計(jì)算方法第二百七十四頁(yè)，共572頁(yè)。三、循環(huán)卷積定理2、時(shí)域循環(huán)卷積定理設(shè)和為長(zhǎng)度分別為N1和N2的有限長(zhǎng)序列，N≥max（N1,N2）且，則N第二百七十五頁(yè)，共572頁(yè)。3、頻域循環(huán)卷積定理設(shè)和均為長(zhǎng)度分別為N1和N2的有限長(zhǎng)序列，N≥max（N1,N2）且，則三、循環(huán)卷積定理N第二百七十六頁(yè)，共572頁(yè)。例3、一個(gè)有限長(zhǎng)序列為

（1）計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT求序列y(n)

綜合例題第二百七十七頁(yè)，共572頁(yè)。

（2）X(k)乘以WNkm相當(dāng)于是x(n)循環(huán)移位m點(diǎn)。本題中m=-2,x(n)向左循環(huán)移位了2點(diǎn)，則y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)

（3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的循環(huán)卷積。結(jié)果為｛3,3,1,1,1,3,3,2,2,2｝

綜合例題第二百七十八頁(yè)，共572頁(yè)。四、復(fù)共軛序列的DFT證明：第二百七十九頁(yè)，共572頁(yè)。五、DFT的共軛對(duì)稱性序列的傅里葉變換的共軛對(duì)稱性，其對(duì)稱性是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱性。共軛對(duì)稱：共軛反對(duì)稱：在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長(zhǎng)序列，且定義區(qū)間為0到N－1，所以，這里的對(duì)稱性是指關(guān)于N/2

點(diǎn)的對(duì)稱性。第二百八十頁(yè)，共572頁(yè)。1．有限長(zhǎng)共軛對(duì)稱序列2．有限長(zhǎng)共軛反對(duì)稱序列五、DFT的共軛對(duì)稱性第二百八十一頁(yè)，共572頁(yè)。3、任意有限長(zhǎng)序列都可以表示成一個(gè)共軛對(duì)稱分量和一個(gè)共軛反對(duì)稱分量之和，即五、DFT的共軛對(duì)稱性第二百八十二頁(yè)，共572頁(yè)。同理，對(duì)于頻域函數(shù)X(k)也可以表示成一個(gè)共軛對(duì)稱分量和一個(gè)共軛反對(duì)稱分量之和，即五、DFT的共軛對(duì)稱性第二百八十三頁(yè)，共572頁(yè)。4、DFT的共軛對(duì)稱性有限長(zhǎng)序列實(shí)部的DFT等于序列DFT的共軛對(duì)稱分量；有限長(zhǎng)序列虛部乘j后的DFT等于序列DFT的共軛反對(duì)稱分量。（1）將序列分成實(shí)部和虛部的形式五、DFT的共軛對(duì)稱性第二百八十四頁(yè)，共572頁(yè)。（2）將序列表示成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量有限長(zhǎng)序列共軛對(duì)稱分量的DFT等于序列DFT的實(shí)部；有限長(zhǎng)序列共軛反對(duì)稱分量的DFT等于序列DFT的虛部乘j。五、DFT的共軛對(duì)稱性第二百八十五頁(yè)，共572頁(yè)。實(shí)際中經(jīng)常需要對(duì)實(shí)序列進(jìn)行DFT，利用上述對(duì)稱性質(zhì)，可減少DFT的運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。（1）若x(n)是實(shí)序列，則X(k)只有共軛對(duì)稱分量，即滿足

X(k)=X*(N-k)k=0,1,…,N-1（2）若x(n)是純虛序列，則X(k)只有共軛反對(duì)稱分量，即滿足

X(k)=-X*(N-k)k=0,1,…,N-15、其他共軛對(duì)稱性五、DFT的共軛對(duì)稱性第二百八十六頁(yè)，共572頁(yè)。(3)如果x(n)是實(shí)偶序列，即x(n)=x(N－n)，則X(k)是實(shí)偶對(duì)稱，即

X(k)=X(N－k)

(4)如果x(n)是實(shí)奇序列，即x(