.2.3簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.(2022浙江嘉興期末)若函數(shù)f(x)=3x+sin2x,則f'(x)=()A.3xln3+2cos2xB.3x+2cos2xC.3xln3+cos2xD.3xln3-2cos2x2.已知函數(shù)f(x)=ln(ax-1)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f'(2)=2,則實數(shù)a的值為()A.12B.23C.3.(多選)下列求導(dǎo)正確的是()A.(e2x)'=2exB.(3x+1)'=3C.(2x)'=1D.(xsinx)'=sinx+xcosx4.(2022安徽合肥一中期末)函數(shù)f(x)=excos2x的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=.

5.(2022山西懷仁一中期末)已知函數(shù)f(x)=e2x+f'(0)ln(x+4),則f'(0)=.

6.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=11?2x2;(2)y=esin(ax+(3)y=sin22x+π3;(4)y=5log2

題組二復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的綜合應(yīng)用7.(2022山西太原期末)已知一質(zhì)點的運動方程為s=ln(t2+1)+3t,其中位移s的單位為m,時間t的單位為s,則質(zhì)點在第1s末的瞬時速度為()A.1m/sB.2m/sC.4m/sD.728.設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex+a·e-x的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),若y=f'(x)是奇函數(shù),則a的值為()A.1B.-12C.19.(2022河北邯鄲第一中學(xué)期末)已知a∈R,函數(shù)f(x)=aex-1-xlnx的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為()A.-2B.-1C.2D.110.在一次降雨過程中,某市的降雨量y(mm)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=f(t)=10t,則在t=40時的降雨強(qiáng)度為()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/minD.111.(2022江蘇鎮(zhèn)江期末)已知函數(shù)f(x)=4x+1,則函數(shù)f(x)的圖象在x=2處的切線的斜率為12.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=e-x-2-x,則曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為.

13.已知曲線y=esinx在點(0,1)處的切線與直線l平行,且此切線與直線l間的距離為2,求直線l的方程.

能力提升練 題組復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.(2021江西南昌八一中學(xué)、洪都中學(xué)等七校期末聯(lián)考)設(shè)點P,Q分別是曲線y=xe-x(e是自然對數(shù)的底數(shù))和直線y=x+3上的動點,則P,Q兩點間距離的最小值為()A.2(4e?1)2C.3222.(多選)已知點P在曲線y=4ex+1上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則αA.π4B.π2C.3π3.(多選)(2022廣東惠州三調(diào))關(guān)于雙曲正弦函數(shù)sinh(x)=ex?e?x2和雙曲余弦函數(shù)cosA.sinh(-x)=-sinh(x)B.[cosh(x)]'=-sinh(x)C.cosh(-1)<cosh(2)D.[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=14.(2022河北保定月考)若曲線y=14sin2x+32cos2x在A(x1,y1),B(x2,y2)兩點處的切線互相垂直,則|x1-x2|的最小值為A.π3B.π2C.5.定義方程f(x)=f'(x)的實數(shù)根x0為函數(shù)f(x)的“新駐點”,若函數(shù)g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cosx(x∈(0,π))的“新駐點”分別為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多選)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,φ<π2的圖象如圖所示,令g(x)=f(x)+f'(A.函數(shù)g(x)的圖象的對稱軸方程為x=kπ-π12(kB.函數(shù)g(x)的最大值為2C.函數(shù)g(x)的圖象上存在點P,使得其在點P處的切線與直線l:y=3x-1平行D.若方程g(x)=2的兩個不同的解分別為x1,x2,則|x1-x2|的最小值為π7.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<π),若y=f(x)+f'(x)是偶函數(shù),則φ=.

8.已知函數(shù)f(x)=3x+cos2x+sin2x,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且a=f'π4,求過曲線y=x3上一點P(a,b)的切線方程

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.Af'(x)=(3x)'+(sin2x)'·(2x)'=3xln3+2cos2x.故選A.2.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=aax由f'(2)=2,可得a2a?1=2,解得a=3.BCD(e2x)'=2e2x,A錯誤;(3x+1)'=3+0=3,B正確;(2x)'=[(2x)12]'=2×1(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx,D正確.故選BCD.4.答案excos2x-2exsin2x解析f'(x)=(ex)'cos2x+ex(cos2x)'=excos2x-2exsin2x.5.答案8解析由題意得f'(x)=2e2x+f'(0)x+4,x>-4,當(dāng)x=0時,f'(0)=2+f'(0)46.解析(1)設(shè)y=u?12,u=1-2x2,則y'x=y'u·u'x=(u?12)'(1-2x2)'=?12u?32·(-4x)=-12(2)設(shè)y=eu,u=sinv,v=ax+b,則y'x=y'u·u'v·v'x=eu·cosv·a=acos(ax+b)·esin(ax+b).(3)設(shè)y=u2,u=sinv,v=2x+π3則y'x=y'u·u'v·v'x=2u·cosv·2=4sinvcosv=2sin2v=2sin4x(4)設(shè)y=5log2u,u=2x+1x>?12,則y'x=y'u·u'x=(5log2u)'·(2x+1)'=7.C由題意得s'=2tt2+1+3,故質(zhì)點在第1s末的瞬時速度為28.A易得f'(x)=ex-ae-x,因為y=f'(x)是奇函數(shù),所以f'(0)=1-a=0,解得a=1.經(jīng)檢驗符合題意.9.D由題意可得f'(x)=aex-1-lnx-1,切點坐標(biāo)為(1,a),則切線l的斜率k=f'(1)=a-1,所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),故l在y軸上的截距為a+(a-1)×(-1)=1.10.D由f(t)=10t,得f'(t)=1210t·(10t)'=102t,所以f故在t=40時的降雨強(qiáng)度為14mm/min11.答案2解析因為f(x)=4x+1,所以f'(x)=24x+1,所以f'(2)=24×2+1=23,所以函數(shù)f12.答案y=2x-1解析設(shè)x>0,則-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,∵f(x)為偶函數(shù),∴x>0時,f(x)=ex-2+x,則f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y-3=2(x-2),即y=2x-1.13.解析∵y=esinx,∴y'=esinxcosx,∴y'x=0=1.∴曲線y=esinx在點(0,1)處的切線方程為y-1=x,即x-y+1=0.又直線l與直線x-y+1=0平行,∴直線l的方程可設(shè)為x-y+m=0(m≠1).由m?1|12+(?1)2=∴直線l的方程為x-y-1=0或x-y+3=0.能力提升練1.C由題意知,求P,Q兩點間的距離的最小值,就是求在曲線y=xe-x上某點處和直線y=x+3平行的切線與直線y=x+3之間的距離.由y=xe-x得y'=(1-x)e-x,令y'=(1-x)e-x=1,解得x=0,當(dāng)x=0時,y=0,故P,Q兩點間的距離的最小值即為點(0,0)到直線y=x+3的距離,∴P,Q兩點間的距離的最小值為32=3222.CD因為y=4ex+1,所以y'=?4ex因為ex>0,所以ex+1ex≥2ex所以y'∈[-1,0),所以tanα∈[-1,0).又因為α∈[0,π),所以α∈3π4結(jié)合選項知選CD.3.ACsinh(-x)=e?x?ex2=-∴A正確;[cosh(x)]'=ex+e?x2'=ex?ecosh(2)-cosh(-1)=e2+e?22-e?1+e2=[sinh(x)]2-[cosh(x)]2=ex?e?x2故選AC.4.B∵y=14sin2x+32cos2x=14sin2x+32×1+cos2x2=12sin2∴曲線的切線的斜率在[-1,1]范圍內(nèi),又曲線在A、B兩點處的切線互相垂直,∴曲線在A,B兩點處的切線的斜率一個是1,另一個是-1.不妨設(shè)曲線在A點處的切線的斜率為1,則2x1+π3=2k1π(k1∈Z),2x2+π3=2k2π+π(k2∈Z),故x1-x2=(k1-k2)π-π2=kπ-π所以|x1?x25.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1x+2,設(shè)F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1x易知F(x)在(-2,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=-1時,F(-1)=-1<0,當(dāng)x=0時,F(0)=ln2-12=ln4-lne故-1<b<0.由φ(x)=cosx(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sinx,令cosx=-sinx,得sinx+cosx=0,則2sinx+又x∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=綜上可知,b<a<c.故選C.6.AD由題圖知A=2,T4=2π3-π6∴T=2π,ω=2πT=1當(dāng)x=π6時,ωx+φ=π6+φ=π2+2k∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin∴f'(x)=2cosx+∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sinx+π3+2cosx+π3=22sin令x+7π12=π2+kπ,k∈Z,解得x=-π12+k∴函數(shù)g(x)的圖象的對稱軸方程為x=-π12+kπ,k當(dāng)x+7π12=π2+2kπ,k∈Z時,函數(shù)g(x)取得最大值,為2易得g'(x)=22cosx+∵g'(x)≤22<3,∴g(x)的圖象上不存在點P,使得其在點P處的切線與直線l:y=3x-1平行,C錯誤;方程g(x)=2即22sinx+7π12=2,∴sinx+7π12=22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x∴方程的兩個不同的解分別為x1,x2時,|x1-x2|的最小值為π2,D正確.7.答案π解析∵f(x)=sin(3x+φ),∴f'(x)=3cos(3x+φ),∴f(x)+f'(x)=sin(3x+φ)+3cos(3x+φ),令g(x)=sin(3x+φ)+3cos(3x+φ),∴g(x)=2sin3x∵y=g(x)為偶函數(shù),∴φ+π3=kπ+π2,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=8.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,則a=f'π4=3-2sinπ2+2cosπ由y=x3得y'=3x2.∵點P在曲線y=x3上,∴b=a3=1,∴點P的坐標(biāo)為(1,1).當(dāng)P點為切