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數(shù)學(xué)物理書目這個書目是我從網(wǎng)上收集起來的,應(yīng)該算比較全面了,以前在這里發(fā)過一次，但現(xiàn)在找不到了，再次發(fā)在這里大家參考.。目錄：1數(shù)學(xué)書目2

1.1《數(shù)學(xué)分析--高等數(shù)學(xué)》3

1.2《高等代數(shù)--線性代數(shù)》4

1.3《空間解析幾何》5

1.4《常微分方程》6

1.5《單復(fù)變函數(shù)》8

1.6《關(guān)于自學(xué)數(shù)學(xué)》11

1.7《實變函數(shù)論與泛函分析》11

1.8《抽象代數(shù)》16

1.9《組合基礎(chǔ)》17

1.10《數(shù)學(xué)物理方程》19

1.11《拓撲學(xué)》21

1.12《微分幾何》22

1.13《微分流形》23

2數(shù)學(xué)參考書目25

2.1說明25

2.21.邏輯27

2.3組合，形式計算30

2.4數(shù)論31

2.5代數(shù)，同調(diào)代數(shù)，范疇，層32

2.6K-理論，C^*-代數(shù)33

2.7代數(shù)幾何34

2.8群，李群和李代數(shù)36

2.9代數(shù)拓撲，微分拓撲37

2.10微分幾何39

2.11動力系統(tǒng)40

2.12實分析，調(diào)和分析42

2.13泛函分析43

2.14復(fù)分析，解析幾何，奇性45

2.15線性偏微分方程，D-模46

2.16非線性偏微分方程47

2.17數(shù)學(xué)物理49

2.18數(shù)值分析50

2.19概率51

2.20統(tǒng)計52

2.21博弈論，經(jīng)濟數(shù)學(xué)，最優(yōu)化54

2.22數(shù)學(xué)史55

3物理學(xué)書單56

3.1量子力學(xué)57

3.2理論力學(xué)57

3.3電動力學(xué)58

3.4固體物理58

3.5數(shù)理方法59

3.6統(tǒng)計力學(xué)60

3.7一些補充60

4理論物理60

5物理經(jīng)典教材63

6APhysicsBooklist:RecommendationsfromtheNet65

6.1SubjectIndex66

6.2GeneralPhysics(soevenmathematicianscanunderstandit!)66

6.3ClassicalMechanics67

6.4ClassicalElectromagnetism68

6.5QuantumMechanics68

6.6StatisticalMechanicsandEntropy70

6.7CondensedMatter71

6.8SpecialRelativity71

6.9ParticlePhysics72

6.10GeneralRelativity73

6.11MathematicalMethods(sothatevenphysicistscanunderstandit!)74

6.12NuclearPhysics74

6.13Cosmology74

6.14Astronomy76

6.15PlasmaPhysics76

6.16NumericalMethods/Simulations76

6.17FluidDynamics77

6.18NonlinearDynamics,Complexity,andChaos77

6.19Optics(ClassicalandQuantum),Lasers78

6.20MathematicalPhysics78

6.21AtomicPhysics79

6.22LowTemperaturePhysics,Superconductivity80

7習(xí)題80

8推薦給大家的優(yōu)秀數(shù)學(xué)參考書80

9數(shù)理邏輯85

10現(xiàn)在在中國買得到的100本經(jīng)典物理學(xué)專著86--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:13:00

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1數(shù)學(xué)書目

--yjyao(bbb)

1.1《數(shù)學(xué)分析--高等數(shù)學(xué)》

1.菲赫今哥爾茨"微積分學(xué)教程","數(shù)學(xué)分析原理".

前一本書,俄文版共三卷,中譯本共8本;后一本書,俄文版共二卷,中譯本共4本.此書堪稱經(jīng)典."微積分學(xué)教程"其實連整理(莫斯科或者列寧格勒大學(xué)的教授,門下弟子無數(shù),包括后來得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的著名數(shù)學(xué)家Kantorovitch)都承認不太合適作為教材,為此他才給出了能夠做教材的后一套書,可以說是一個精簡的版本(有所補充的是在最后給出了一個后續(xù)課程的簡介).相信直到今天,很多老師在開課的時候還是會去找"微積分學(xué)教程",因為里面的各種各樣的例題實在太多了.如果想比較扎實的打基礎(chǔ)的話,可以考慮把里面的例題當做有答案的習(xí)題來做,當然不是每道題都可以這么辦的.如果你全部做完了那里的題目然后考試的時候碰到你做過的可別怪我.毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數(shù)學(xué)分析內(nèi)容(指不引入實變,泛函的觀念)的最高水平,考慮到在中國的印數(shù)就以十萬計,可能在世界范圍內(nèi)也只有Goursat的書可以與之相比了.

2.Apostol"MathematicalAnalysis"

在西方(西歐和美國),這應(yīng)該算得上是一本相當完整的課本了,在總書庫里面有.

3.W.Rudin"PrinciplesofMathematicalAnalysis"

(有中譯本:盧丁"數(shù)學(xué)分析原理",理圖里有)這也是一本相當不錯的書,后面我們可以看到,這位先生寫了一個系列的教材.該書的講法,(指一些符號,術(shù)語的運用)也是很好的.這里附帶說一句,因為在理基里面當年念的是后來復(fù)旦出版社出的秦老師和余躍年編的"高等數(shù)學(xué)",雖然我一向認為該書編的很是不好,但是在這里想引秦老師的一句話,希望能對非數(shù)學(xué)專業(yè)的ddmm有所幫助:就是學(xué)完"高等數(shù)學(xué)"以后,可以找一本西方advancedcalculus水平的書來看,基本上就能夠達到一般數(shù)學(xué)系的要求了.當時秦老師曾特別指出Rudin的書.

說到AdvacedCalculus,在這個標題下面有一本書也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的AdvancedCalculus,其第一版在總書庫里面有不少,第二版在理圖外國教材中心有一本,系資料室是不是有不清楚.這本書的觀點還是很高的,畢竟是人家Harvard的課本.

4."數(shù)學(xué)分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等

"數(shù)學(xué)分析習(xí)題集","數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教材".北大的這套課本寫得還是可以的,不過最好的東西還是兩本關(guān)于習(xí)題的東西.大家知道,吉米多維奇并不是很適合數(shù)學(xué)系的學(xué)生的,畢竟大多是計算題(一個比較有意思的地方是那套被廣大教師痛罵的習(xí)題解答其實有一個題的第二小題是沒答案的,原因好象是編書的人也沒做出來,好象是關(guān)于級數(shù)收斂的一個題目).相比之下北大的這本習(xí)題集就要好許多,的的確確值得一做.那本習(xí)題課教材也是很有意思的書,包括一些相當困難的習(xí)題的解答,

5.克萊鮑爾"數(shù)學(xué)分析"

記得那是一本以習(xí)題的形式講分析的書,題目也很不錯.理圖里有.

6.張筑生"數(shù)學(xué)分析新講"(共三冊)

我個人認為這是中國人寫的觀點最新的數(shù)學(xué)分析課本,張老師寫這書也實在是嘔心瀝血,手稿前后寫了差不多五遍.象他這樣身有殘疾的人做這樣一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后記中也引了"都云整理癡,誰解其中味".在這套書里,對于許多材料的處理都和傳統(tǒng)的方法不太一樣.非常值得一讀.唯一的遺憾是,按照張老師本人的說法,北大出版社找了家根本不懂怎么印數(shù)學(xué)書的印刷廠,所以版面不是很好看.[此貼子已經(jīng)被整理于2007-7-2513:14:17編輯過]--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:14:00

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下面的一些書可能是比較"新穎"的.

7a.尼柯爾斯基"數(shù)學(xué)分析(教程?)"

理圖里有,是清華的人翻譯的,好象沒翻全.那屬于80年代以后蘇聯(lián)的新潮流的代表,不管怎么說,人家是蘇聯(lián)科學(xué)院院士.

7b."數(shù)學(xué)分析"（卓里奇，V.A）

忘了是誰寫的了,也是蘇聯(lián)的,莫斯科大學(xué)的教材.理圖里面有第一卷的中譯本,分兩冊.那里面從極限的講法(對于拓撲基的)開始就能夠明顯得讓人感覺

到觀點非常的"高".

8.狄多涅"現(xiàn)代分析基礎(chǔ)(第一卷)"

那是一套二十世紀的大家寫的一整套教材的第一卷,用的術(shù)語相當"高深",可能等以后學(xué)了實變,泛函再回過頭來看感覺會更好一些.

9.說兩句關(guān)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué).

這里強烈推薦理圖里面幾本法國人寫的數(shù)學(xué)書.因為在法國高等教育系統(tǒng)里面,對于最好的學(xué)生,中學(xué)畢業(yè)以后念的是兩年大學(xué)預(yù)科,這樣就是不分系的,所以他們的高等數(shù)學(xué)(比如理圖里面有J.Dixmier院士的"高等數(shù)學(xué)"第一卷)或者叫"普通數(shù)學(xué)"(理圖里面有一套書就是這個標題),其水平基本上介于國內(nèi)數(shù)學(xué)系和物理系的數(shù)學(xué)課之間.--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:15:00

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1.1《高等代數(shù)--線性代數(shù)》

高等代數(shù)可以認為處理的是有限維線性空間的理論.如果嚴格一點,關(guān)于線性空間的理論應(yīng)該叫線性代數(shù),

再加上一點多項式理論(就是可以完完全全算做代數(shù)的內(nèi)容的)就叫高等代數(shù)了.這門課在西方的對應(yīng)一般叫LinearAlgebra,就是蘇聯(lián)人喜歡用高等這個詞,你可以在外國教材中心里面找到一本Kurosh(庫落什)的HigherAlgebra.

從這門課的內(nèi)容上說,是可以有很多種講法的.線性空間的重點自然是線性變換,那么如果在定義空間和像空間里面取定一組基的話,就有一個矩陣的表示.因此這門課的確是可以建立在矩陣論上的.而且如果要和數(shù)值搭界的話還必須這么做.復(fù)旦以前有兩本課本就是這么做的.

1.蔣爾雄,吳景琨等"線性代數(shù)"

這是那時候計算數(shù)學(xué)專業(yè)的課本,其教學(xué)要求據(jù)說是比數(shù)學(xué)專業(yè)相應(yīng)的課程要高的.因為是偏向計算的緣故,你可以找到一些比較常用的算法.我個人以為還是比較有意思的.

2.屠伯塤等"高等代數(shù)"

這就是在上?？萍汲霭娴囊徽讖?fù)旦數(shù)學(xué)系教材里講高等代數(shù)的那本.不記得圖書館里面有,不過系里可能可以買到翻印的.這本書將80%的篇幅貢獻給矩陣的有關(guān)理論.有大量習(xí)題,特別是每章最后的"選做題".能獨立把這里面的習(xí)題做完對于理解矩陣的各種各樣的性質(zhì)是非常有益的.當然這不是很容易的:據(jù)說屠先生退休的時候留下這么句話:"今后如果有誰

開高等代數(shù)用這本書做教材,在習(xí)題上碰到麻煩的話可以來找我."有此可見一斑.如果從習(xí)題方面考慮,覺得上面的書太難吃下去的話,那么下面這本應(yīng)該說是比較適當?shù)?

3.屠伯塤等"線性代數(shù)-方法導(dǎo)引"

這本書比上面那本可能更容易找到,里面的題目也更"實際"一些.值得一做.

另外,講到矩陣論.就必須提到

4.甘特瑪赫爾"矩陣論"（P.IAHTMAXEP）

我覺得這恐怕是這方面最權(quán)威的一本著作了.其中譯者是柯召先生.在這套分兩冊的書里面,講到了很多不納入通常課本的內(nèi)容.舉個例子,大家知道矩陣有Jordan標準型,但是化一個矩陣到它的Jordan標準型的變換矩陣該怎么求?請看"矩陣論".這書里面還有一些關(guān)于矩陣方程的討論,非常有趣.

5.許以超"線性代數(shù)和矩陣論"

雖然許先生對復(fù)旦不甚友好(高三那會他對我說要在中國念大學(xué)數(shù)學(xué)系要么去北大,要么去科大--他是北大畢業(yè)的,現(xiàn)在數(shù)學(xué)所工作--我可沒聽他的),但是必須承認這本書還是寫得很不錯的,習(xí)題也不錯.必須指出,這里面其實對于空間的觀念很重視.不管怎么樣,他還是算華先生的弟子的.

6.華羅庚"高等數(shù)學(xué)引論"

華先生做數(shù)學(xué)研究的特點是其初等直觀的方法別具一格,在矩陣理論方面他也有很好的工作.甘特瑪赫爾的書里面你只能找到兩個中國人的名字,一個是樊畿先生,另一個就是華先生.可能是他第一次把下述觀點引進中國的數(shù)學(xué)教材的(不記得是不是在這本書里面了):n階行列式是n個n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個把一組標準基映到1的反對稱線性函數(shù).這就是和多線性代數(shù)或者說張量分析的觀點很接近了.

高等代數(shù)的另外一種考慮可能是更加代數(shù)化的.比如

7.賈柯勃遜(N.Jacobson)LecturesonAbstractAlgebra,II:LinearAlgebraGTM(GraduateTextsinMathematics)No.31("抽象代數(shù)學(xué)"第二卷:線性代數(shù))

這里想說的是,這套書的中譯者黃緣芳先生,大概數(shù)學(xué)系里面已經(jīng)沒多少人還記得文革前復(fù)旦有這么一位代數(shù)學(xué)教授了.

8.Greub

LinearAlgebra(GTM23)

這里面其實更多講的是多線性代數(shù).里面的有些章節(jié)還是值得一讀的.

還有兩本書我覺得很好,不知道圖書館里面是不是有:

9.丘維聲"高等代數(shù)"(上,下)

北大94級的課本,相當不錯.特點是很全,雖然在矩陣那個方向沒有上面提到的幾本書將得深,但是在空間理論,具體的說一些幾何化的思想上講得還是非常清楚的.多項式理論那塊也講了不少.

10.李炯生,查建國"線性代數(shù)"

這是中科大的課本,可能是承襲華先生的一些傳統(tǒng)把,里面有一些內(nèi)容的處理在國內(nèi)可能書屬于相當先進的了.--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:15:00

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1.2《空間解析幾何》

空間解析幾何實在是一門太經(jīng)典,或者說古典的課.從教學(xué)內(nèi)容上說,可以認為它描述的主要是三維歐氏空間里面的一些基本常識,包括最基本的線性變換(那是線性代數(shù)的特例),和二階曲面的不變量理論.

在現(xiàn)行的復(fù)旦的教材,蘇先生,胡先生他們編的"空間解析幾何"里面,最后還有一章講射影幾何.這本書非常之薄.但是內(nèi)容還是比較豐富的.特別是有些習(xí)題并不是非常容易.最后一章射影的內(nèi)容還不是很好念的.

可以考慮的參考書包括:

1.陳(受鳥)"空間解析幾何學(xué)"

內(nèi)容基本上和課本差不多,不過要厚許多,自然要好念點.陳先生是吳大任先生(大猷先生的堂弟,南開多年的教務(wù)長)的夫人,也是中國早期留學(xué)海外的女學(xué)者.

2.朱鼎勛"解析幾何學(xué)"

這本書基本上只在歐氏空間里面討論問題.優(yōu)點是非常易懂,連二維的不變量理論也在附錄里面交代得異常清楚.那里面的習(xí)題也比較合理,不是非常的難(如果我沒有記錯的話).朱先生相當有才華,可惜英年早逝.

如果想了解比較"新"的動態(tài),可以考慮

3.Postnikov

"解析幾何學(xué)與線性代數(shù)(?)"(第一學(xué)期)這是莫斯科大學(xué)新的課本,從課程形式就可以看出,解析幾何這樣一門課如果不是作為對剛進大學(xué)的學(xué)生的一個引導(dǎo),給出一些具體的對象的話,遲早是要給吃到線性代數(shù)里面去的.海外教材中心有一本英文本.

我個人以為,現(xiàn)在教委的減輕學(xué)生負擔的做法遲早是要遭報應(yīng)的.中國的中學(xué)教育水平也就比美國最糟糕的中學(xué)好點,從整體上說,比整個歐洲都要差.我相信所謂三維的"解析"幾何的內(nèi)容總有一天要下放到高中里面去.

上面的書如果撐不飽你,你又不想學(xué)其它的課程的話.可以考慮下面兩本經(jīng)典.其好處是看過以后可以對很多幾何對象(當然具體說是指三維空間里面的二次曲面)有相當深刻的了解.

4.狄隆涅"(解析)幾何學(xué)"

這套三卷本的大書包括了許多非常有意思的討論,記得五年前看的時候感覺非常有意思.這位蘇聯(lián)科學(xué)院院士真是夠能寫的.

5.穆斯海里什維利"解析幾何學(xué)教程"

這套書在上面提到的陳先生的書里面就多次引用了.具體的說特別值得參考的是它里面關(guān)于射影的一些觀點和講法(比如認為橢圓也是有漸近線的,只不過是"虛"的而已).--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:15:00

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1.3《常微分方程》

從常微分方程開始,數(shù)學(xué)課就變成沒底的東西,每一個標題做下去都是數(shù)學(xué)研究里面龐大的一塊.對于一門基本課程應(yīng)該講些什么也始終討論不斷.

這里我打算還是從現(xiàn)行課本講起.常微分方程這門課,金福臨先生和李迅經(jīng)先生在六十年代寫過一本課本,后來在八十年代由控制那一塊的老師們修訂了一下,變成第二版,就是現(xiàn)在常用的課本.上?？萍汲霭嫔绯霭?應(yīng)該說,金先生他們的第一版在今天看來還是很好的一本課本(這本書估計受了下面的一本參考書的不小的影響),該書在理圖老分類的那一塊里有.但是第二版有那么點不敢恭維.不知為什么,似乎這本書對具體方程的求解特別感興趣,對于一些比較"現(xiàn)代"的觀點,比如定性的討論等等相當?shù)夭恢匾?最有那么點好笑的是在某個例子中(好象是介紹Green函數(shù)方法的),在解完了之后話鋒一轉(zhuǎn),說"這個題其實按下面的辦法解更簡單..."而這個所謂更簡單的辦法是根本不具一般性的.

下面開始說參考書,毫無疑問,我們還是得從我們強大的北方鄰國說起.

1.彼得羅夫斯基"常微分方程講義"

在20世紀數(shù)學(xué)史上,這位前莫斯科大學(xué)校長占據(jù)著一個非常特殊的地位.從學(xué)術(shù)上說,他在偏微那一塊有非常好的工作,五十年代谷先生去蘇聯(lián)讀學(xué)位的時候還參加過他主持的討論班.他從三十年代末開始就轉(zhuǎn)向行政工作.在他早年的學(xué)生里面有許多后來蘇共的高官,所以他就利用和這些昔日學(xué)生的關(guān)系為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)界構(gòu)筑了一個保護傘,他本人也以一個非共產(chǎn)黨員得以做到蘇聯(lián)最高蘇維埃主席團成員.下面將提到的那個天不怕地不怕的Arnold提起他來還是滿恭敬的.他這本書在相當長的時期里是標準教材,但是可能和性格,地位有關(guān)吧,對此書的一種評論是有學(xué)術(shù)官僚作風,講法不是非?；顫?

2.龐特里亞金"常微分方程"

龐特里亞金院士十四歲時因化學(xué)實驗事故雙目失明,在母親的鼓勵和幫助下,他以驚人的毅力走上了數(shù)學(xué)道路,別的不說,光看看他給后人留下的"連續(xù)群","最佳過程的數(shù)學(xué)理論",你就不得不對他佩服得五體投地,有六體也投下來了.他的這本課本就是李迅經(jīng)先生他們翻譯的.此書影響過很多我們的老師輩的人物,也很大的影響了復(fù)旦的課本.如果對沒有完全簡化的字不感冒的話絕對值得一讀.

下面轉(zhuǎn)到歐美方面,

3.Coddington&Levinson"TheoryofOrdinaryDiffernetialEquations"

這本書自五十年代出版以來就一直被奉為經(jīng)典,數(shù)學(xué)系里有.說老實話這書里東西太多,自己看著辦吧.

比較"現(xiàn)代"的表述有

4.Hirsh&Smale"DifferentialEquations,LinearAlgebraandDynamicalSystems"

(中譯本"微分方程,線性代數(shù)和動力系統(tǒng)")這兩位重量級人物寫的書其實一點都不難念,非常易懂.所涉及的內(nèi)容也是非常基本,重要的.關(guān)于整理嘛,可以提一句,Smale現(xiàn)在在香港城市大學(xué),身價是三年1000萬港幣.我想稱他為在中國領(lǐng)土上工作的最重要的數(shù)學(xué)家應(yīng)該沒有什么疑問.

5.Arnold"常微分方程"

必須承認,我對Arnold是相當崇拜的.作為Kolmogorov的學(xué)生,他們兩就占了KAM里的兩個字母.他寫的書,特別是一些教材以極富啟發(fā)性而著稱.實際上,他的習(xí)慣就是用他自己的觀點把相應(yīng)的材料全部重新處理一遍.從和他的幾個學(xué)生的交往中我也發(fā)現(xiàn)他教學(xué)生的本事也非常大.特別是他的學(xué)生之間非常喜歡討論,可能是受他言傳身教的作用吧.他自己做學(xué)生的時候就和其它幾個學(xué)生(都是跟不同的導(dǎo)師的)組織了討論班,互相教別人自己的專長,想想這里都走出來了些什么人物吧:Anosov,Arnold,Manin,Novikov,Shafarevich,Sinai...由此可見互相討論的重要性.從學(xué)術(shù)觀點上說,他更傾向于比較幾何化的想法,在這本書里面也得到了相當?shù)捏w現(xiàn).近年來,Arnold對于Bourbaki的指責已經(jīng)到了令大家瞠目結(jié)舌的程度.不過話說回來,在日常生活中他還是個非常平易近人的人,至少他的學(xué)生們都是這么說的.這本書理圖里有中譯本,不過應(yīng)當指出譯者的英文水平不是很高,竟然會把"北極光"一詞音譯,簡直笑話.再說一句,Arnold的另外一本書,中文名字叫"常微的幾何方法"的,程度要深得多.

看了半天,講來講去都是外國人寫的東西,有中國人自己的值得一看的課本嗎?答曰Yes.

6.丁同仁,李承治"常微分方程教程"

這絕對是中國人寫的最好的常微課本,內(nèi)容翔實,觀點也比較高.在復(fù)旦念這本書還有一個有利的地方,袁小平老師是丁先生的弟子,有不懂的話不愁找不到人問.附帶提一句,理圖里面有這書,但是是第一次(?)印刷的,里面有一個習(xí)題印錯了,在后來印刷的書里面有改動.

再說一句,就是真的對解方程感興趣的話不妨去看看

7.卡姆克(Kamke)常微分方程手冊

那里面的方程多得不可勝數(shù),理圖里有.

對于變系數(shù)常微分方程,有一類很重要的就是和物理里常用的特殊函數(shù)有關(guān)的.對于這些方程,現(xiàn)在絕對是物理系的學(xué)生比數(shù)學(xué)系的學(xué)生更熟悉.我的疑問是不是真有必要象現(xiàn)在物理系的"數(shù)學(xué)物理方法"課里那樣要學(xué)生全部完全記在心里.事實上,我很懷疑,不學(xué)點泛函的觀點如何理解這些特殊函數(shù)系的"完備性",象

8.Courant-Hilbert"數(shù)學(xué)物理方法"第一卷

可以說達到古典處理方法的頂峰了,但是看起來并不是很容易的.我的理解是學(xué)點泛函的觀點可以獲得一些統(tǒng)一的處理方法,可能比一個函數(shù)一個方法學(xué)起來更容易一些.而且，

9.王竹溪,郭敦仁"特殊函數(shù)概論"

的存在使人懷疑是不是可以只對特殊函數(shù)的性質(zhì)了解一些框架性的東西,具體的細節(jié)要用的時候去查書.要知道,查這本書并不是什么丟人的事情,看看揚振寧先生為該書英文版寫的序言吧:"(70年代末)...我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的\'特殊函數(shù)概論\'...從此這本書就一直在我的書架上,...經(jīng)常在里面尋找我需要的結(jié)論..."連他老先生都如此,何況我們?--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:15:00

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1.4《單復(fù)變函數(shù)》

單復(fù)變函數(shù)論從它誕生之日(1811年的某天Gauss給Bessel寫了封信,說"我們應(yīng)當給\'虛\'數(shù)i以實數(shù)一樣的地位...")就成為數(shù)學(xué)的核心,上個世紀的大師們基本上都在這一領(lǐng)域里留下了一些東西,因此數(shù)學(xué)的這個分支在本世紀初的時候已經(jīng)基本上成形了.到那時為止的成果基本上都是學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生必修的東西.

1.范莉莉,何成奇"復(fù)變函數(shù)論"

這是上?？萍汲霭娴哪翘讜锩娴膹?fù)變.今天回過頭來看,這本書講的東西也不是很難,包括那些數(shù)量很不少的習(xí)題.但是做為第一次學(xué)的課本,應(yīng)當說還不是很容易的.總的說來,從書的序言里面列的參考書目就可以看出兩位先生是借鑒了不少國際上的先進課本的.不知道數(shù)學(xué)系的學(xué)生還發(fā)這本書嗎?

如果要列參考書的話,單復(fù)變的課本真是多得不可勝數(shù),從比較經(jīng)典的講起吧:

2.普里瓦洛夫

"復(fù)變函數(shù)(論)引論"

這是我們的老師輩做學(xué)生的時候的標準課本.內(nèi)容翔實,具有傳統(tǒng)的蘇聯(lián)標準課本的一切特征.聽說過這么一個小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大學(xué)的教授,一次期末口試(要知道,口試可比筆試難多了,無論是從教師還是從學(xué)生的角度來說),有一個學(xué)生剛走進屋子,就被當頭棒喝般地問了一句"sinz有界無界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就馬上被開回去了,實在是不幸之至.

3.馬庫雪維奇

"解析函數(shù)論(教程?)"

這本厚似磚頭的書可以在總書庫里找到.它比上面這本要深不少.張老師說過,以前學(xué)復(fù)變的學(xué)生用2.做課本,學(xué)完后再看3.,然后就可以開始做研究了.這本書的一個毛病是它喜歡用自己的一套數(shù)學(xué)史,所以象Cauchy-Riemann方程它也給換了個名字,好象是Euler-D\'Alembert吧!

再說點西方的:

4.L.Alfors(阿爾福斯)"ComplexAnalysis(復(fù)分析)"

這應(yīng)該是用英語寫的最經(jīng)典的復(fù)分析教材.Alfors是本世紀最重要的數(shù)學(xué)家之一(僅有的四個既得過Fields獎又得過Wolf獎的人物之一),單復(fù)變及相關(guān)領(lǐng)域正好是他的專長.他的這本課本從六十年代出第一版開始就好評如潮,總書庫里面有英文的修訂本,理圖里面是不是有中譯本(好象是張馳譯的)記不清了,建議還是看英文的.這里需要說明的是,復(fù)分析在十九世紀的三位代表人物分別對應(yīng)三種處理方式:Cauchy--積分公式;Riemann--幾何化的處理;Weierstrass--冪級數(shù)方法.這三種方法各有千秋,一半的課本多少在其中互有取舍.Alfors的書的處理可以說是相當好的.

5.H.Cartan(亨利.嘉當)"解析函數(shù)論引論"

這位Bourbaki學(xué)派碩果僅存的第一代人物在二十世紀復(fù)分析的發(fā)展史上也占有很重要的地位.他在多復(fù)變領(lǐng)域的很多工作是開創(chuàng)性的.這本課本內(nèi)容不是很深,從處理方法上可以算是Bourbaki學(xué)派的上程之作(無論如何比那套"數(shù)學(xué)原理"好念多了:-))

6.J.B.Conway"FunctionsofOneComplexVariable"(GTM11)"FunctionsofOneComplexVariable,II"(GTM159)

(GTM=GraduateMathematicsTexts,是Springer-Verlag的一套叢書,后面的數(shù)字是編號)第一卷也是1.的參考書目之一.整理后來又寫了第二卷.當然那里面講述的內(nèi)容就比較深一點了.這本書第一卷基本上可以說是Cauchy+Weierstrass,

對于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套東西要到第二卷里面才能看到.

7.K.Kodaira(小平邦彥)"AnIntroductiontoComplexAnalysis"

這就是四年前張老師給我們94理基的7個人開課是用的課本.Kodaira也是一位復(fù)分析大師,也是Fields+Wolf.這本書屬于"不深,但該學(xué)的基本上都有了"的那種類型.總書庫或系資料室有.需要注意的是這本書(英譯本)的印刷錯誤相對多,250來頁的書我曾經(jīng)列出過100多處毛病.由此我對此書的英譯者F.Beardon極為不滿,因為同樣Beardon自己的一本"ComplexAnalysis"我就找不出什么錯.

人家的課本基本上就是這些了.下面說說習(xí)題

9.G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數(shù)學(xué)分析中的問題和定理"

第一卷的后半段就是單復(fù)變的相當高質(zhì)量的習(xí)題,第二卷的大部分也是,只不過那就有點太過專門了而已.看看這本書的序言就可以多少體會到單復(fù)變的地位了.一般來說,里面的題目都有答案或提示,不過我以為一般來說還是可以獨立做出來的.

10."解析函數(shù)論習(xí)題集"

實在不好意思,整理(大概是三個蘇聯(lián)人)的名字忘了,這本書里面的題目相當多.理圖里面有,系資料室有一本英文的.

其它的書我認為可以翻翻的包括

11.張南岳,陳懷惠"復(fù)變函數(shù)論選講"

這是北大出版的研究生課本,基本上可以說和上面提到的Conway的第二卷屬于同一水平.從內(nèi)容上來看,第一章"正規(guī)族",第二章"單連通區(qū)域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函數(shù)"同樣如此.看一點第七章"Gamma函數(shù)和Riemannzeta函數(shù)"(這部分內(nèi)容在6.里面也有),然后去看

12.J.-P.Serre(塞爾)"AcourseofArithmetics"(數(shù)論教程)

第二部分的十來頁東西就可以理解下述Dirichlet定理的證明了:"a,b互素,則{am+b}里有無窮多個素數(shù)"Serre也是本世紀杰出的復(fù)分析,代數(shù)幾何,代數(shù)專家.他28歲得Fields獎的記錄至今還沒有人能夠打破.他寫的書一向以清晰著稱.

國內(nèi)的復(fù)變教材還有北大莊圻泰的<<復(fù)變函數(shù)>>,不記得是不是和張南岳合寫的。應(yīng)該是不錯的，習(xí)題較多?？拼髧梨?zhèn)軍也有一本<<復(fù)變函數(shù)>>也不錯。

在不牽涉到復(fù)流形理論和多復(fù)變的情況下,理圖里面還有

13.莊圻泰,何育瓚等

"復(fù)變函數(shù)論(專題?)選講"

差不多的題目應(yīng)該有兩本,一本肯定理圖里面是有的,比較薄,從Cauchy積分公式的同倫,同調(diào)形式講起,屬提高性質(zhì).另外一本記憶中就覺得太專門了點.除此之外,講單復(fù)變的還有兩本書,不過可能第一遍學(xué)的時候不是很適合看.

14.W.Rudin

"RealandComplexAnalysis"

必須承認,Rudin很會寫書,這本書里面他把對應(yīng)與我們的復(fù)變,實變,泛函的許多東西都串在一起了.用泛函方法處理復(fù)變的基礎(chǔ)是某一個Riesz表示定理,在復(fù)旦的課本里面你要到研究生的泛函課本里(還不一定教)才能找到那個命題.所以還是到學(xué)泛函的時候再談吧!

15.L.Hormander

"AnIntroductiontoComplexAnalysisinSeveralVariables"

這是本標題下出現(xiàn)的第三位Fields+Wolf的人物.他的這本多復(fù)變的課本也是經(jīng)典,其工具主要是微分算子的L^2估計.這里有用的是它的第一章,可以說第一次看這部分講單復(fù)變的內(nèi)容一般都會有一種耳目一新的感覺.講個細節(jié),就是Cauchy積分公式對于一般可微函數(shù)的推廣叫Cauchy-Pompeiu公式,基本上多復(fù)變的課本都會提到而單復(fù)變的書都不講.其實只要你看一下它的形式就會知道這個公式的用處是很大的,不妨試試拿它來算一些奇異積分.

16.Titchmarch"函數(shù)論"

這是一本老書,相當有名.書中一半多的篇幅是講復(fù)變的,看看可以知道二十世紀上半葉的函數(shù)論是什么樣子.除此之外的意義是,程民德先生在他給陳建功先生做的傳中寫到:"(三十年代的浙大)陳先生開的復(fù)分析課程幾乎包括Titchmarch函數(shù)論除實函數(shù)外的全部內(nèi)容.."關(guān)于陳先生這位對今天復(fù)旦數(shù)學(xué)系的地位有至關(guān)重要影響的先驅(qū),等說實變的時候再談吧!

17.戈魯辛"復(fù)變函數(shù)幾何理論"

這本書也很老了.但是這本書的價值并不因時間的推移而改變.整理也是很好的數(shù)學(xué)家,夏道行先生當年在蘇聯(lián)做得最好的工作之一就是解決了戈魯辛的兩個猜想.總書庫里面應(yīng)該有,標題可能略有出入.

最后講一本書,不知道復(fù)旦有沒有:

17.R.Remmert"ComplexAnalysis"(GTM,readinginmathematics)

Remmert是德國的多復(fù)變專家,他的這本書一點也不深,其最大特色是收集了很多歷史資料,把許多概念的來龍去脈交代的異常清楚.

注：12.的整理J.-P.Serre成為第五位既得過Fields獎又得過Wolf獎的數(shù)學(xué)家.(前面四位是L.Alfors;K.Kodaira;L.Hormander;J.Milnor)

另注：單復(fù)變,北大原來的那本課本(莊圻泰老先生編的)其實非常好,我沒有列上去的原因是此書早已絕版,在北大94級念的時候就只能是一個寢室分一本了.方企勤的書沒有仔細翻過,不敢妄加評論.

1.5

《關(guān)于自學(xué)數(shù)學(xué)》

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一大特色即是已經(jīng)完全建立了一套自己的表達方式.沒有一個學(xué)科象數(shù)學(xué)這樣創(chuàng)造了這么多的概念.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的傳播的一大困難也在與此,要向一個非本行(哪怕是數(shù)學(xué)里另外一個分支的專家)解釋清楚一個概念恐怕也要費上半天口舌.但在另外一方面數(shù)學(xué)是如此有用,而且數(shù)學(xué)的抽象性使得一個數(shù)學(xué)觀點往往可以表征其它學(xué)科的許多看似毫無關(guān)系的對象.所以現(xiàn)代數(shù)學(xué)還是挺值得一學(xué)的.自學(xué)不是一件容易的事情,特別是自學(xué)數(shù)學(xué).從動機上說,如果是想系統(tǒng)學(xué)一下大學(xué)數(shù)學(xué)系的課程的話.我的建議還是跟班聽課,這比自己找書看要省力的多.在可以考慮的書籍方面,以前上?？萍汲霭嫔绯鲞^一套1."大學(xué)數(shù)學(xué)自學(xué)叢書"應(yīng)當說編得是不錯的.至于具體該怎么學(xué),這里我不敢多說,建議參考2.趙慈庚,朱鼎勛"大學(xué)數(shù)學(xué)自學(xué)指南"趙先生是上面那套書的主編,這本書基本上以上面那套書為藍本,也給出了一些參考書.關(guān)鍵是對每一門課的具體內(nèi)容都有一個詳細說明.好象是高等教育出的.--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:16:00

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1.6《實變函數(shù)論與泛函分析》

這是數(shù)學(xué)系的學(xué)生學(xué)到的第一門完全屬于二十世紀的課程.這門課程的重要性是不言而諭的.對于這門課程在中國的發(fā)展,許多和復(fù)旦有密切關(guān)系的前輩都做出過重要貢獻.在復(fù)旦開實分析課的第一人毫無疑問是陳建功先生(1893-1971).作為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)者,他在1914-1929年間三赴日本學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué),是在日本獲得理學(xué)博士學(xué)位的第一個外國學(xué)者.此后他回到浙大,和31年回國的蘇先生一起為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了極其重要的貢獻.即便是在抗戰(zhàn)最困難的時期,他們也沒有放棄學(xué)術(shù)研究.李約瑟當時稱贊西南聯(lián)大和浙大是東方的Oxford和Cambridge,陳先生在浙大的大弟子程民德先生說到"這一光輝的稱號,可以說是用難以數(shù)計的微弱的桐油燈光所照亮的".程先生為陳建功先生在

1."中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳"(第二卷)

里面做了一篇傳記,不可不讀.陳先生在浙大擔負著極重的教學(xué)任務(wù),在五十年代他把歷年使用的講義遍成書出版,這就是

2.陳建功"實函數(shù)論"

今天看來,這里面的內(nèi)容是相當古典的,但是其中很多東西的講法到今天還是很好的.

陳先生門下弟子無數(shù),早期(20年代)的學(xué)生包括中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的另兩位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后來從浙大到復(fù)旦,我們可以列出一串長長的名單:程民德,葉彥謙,秦元勛,張鳴鏞,夏道行,龔升,李訓(xùn)經(jīng)...前校長楊福家先生在某次會上說過"復(fù)旦人不會忘記,五十年代,復(fù)旦造了兩幢小樓,一幢是給陳建功先生的,一幢是給蘇步青先生的,正是他們使復(fù)旦的數(shù)學(xué)變了樣"那兩幢房子現(xiàn)在還在第九宿舍里面.一幢蘇先生家人還住著.另外的那幢在陳先生58年搬去杭州以后就空著,據(jù)說曾有某位今天在復(fù)旦也是大名鼎鼎的人物搬進去過,但不久就因為實在"擺不平"又搬了出來--陳先生和蘇先生的地位可見一斑.今天在數(shù)學(xué)系里還能找到陳先生的一些遺跡,比如那套Gauss全集就是陳先生出讓給浙大圖書館的(見內(nèi)頁題字)

現(xiàn)在用的課本是

3.夏道行,嚴紹宗,吳卓人,舒五昌"實變函數(shù)論與泛函分析"第二版,上,下冊

這是,在我看來,復(fù)旦為中國的數(shù)學(xué)事業(yè)貢獻的最重要的課本.從1978年第一版出版開始,這就是中國最標準的實變與泛函課本.受益與此書的學(xué)生不可計數(shù).夏先生是陳先生五十年代初的研究生.當年陳先生開實分析課的時候夏先生

做助教,也是跟班從頭聽到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是嗎?*_^)夏先生50年代中期赴蘇聯(lián)進修,師從I.M.Gelfand.那是泛函分析還處于發(fā)展的初期,Gelfand又是這個領(lǐng)域的泰山北斗.所以夏先生不僅在在蘇聯(lián)的兩年間做出了相當好的工作,而且回國后在復(fù)旦建立了一個相當強的泛函研究小組.具體可以看4.楊樂,李忠編"中國數(shù)學(xué)會六十年"里面嚴紹宗先生和李炳仁先生寫的文章.六十年代初,夏先生就已經(jīng)是"現(xiàn)代數(shù)學(xué)叢書"的編委了,那時候他才30出頭一點.今天的中國數(shù)學(xué)界,沒有一個這個年齡的數(shù)學(xué)家有夏先生當年的學(xué)術(shù)地位!夏先生做單復(fù)變和概率的功夫也是非常深的.在80年當選學(xué)部委員的時候,他的專業(yè)就寫的是這三樣.我們一章一章來看:第一章"集和直線上的點集"這是很美妙的東西,數(shù)學(xué)系的學(xué)生從這里開始嚴肅地接受關(guān)于無限的教育.具體的問題是教師一般都要在這一章上面花不少時間,部分是因為這些搞腦子的

東西學(xué)生以前根本沒有接觸過.我想今后可能的話應(yīng)該在第一二年的課程里面講一些這一章的內(nèi)容,象實數(shù)理論和極限論,等價關(guān)系,直線上的開,閉集,等等.這樣一是可以省下很多時間,其次的確你翻翻許多數(shù)學(xué)分析的書也能看到這些內(nèi)容.大概一定要留到這里來講的包括Zorn引理,在

5.E.Hewitt,K.Stromberg"RealandAbstractAnalysis"(GTM25)

里面有相當清晰簡潔的關(guān)于選擇公理及其等價命題的敘述.那里寫到"Theaxiomofchoicedoesnotperhapsplayacentralroleinanalysis,butwhenitisneeded,itisneededmosturgently".這是很有道理的.這個方向上擴展出去可以看

6.那湯松"實變函數(shù)論"

在下冊里面還有關(guān)于超限歸納法的描述.這本書是徐瑞云先生翻譯的.據(jù)說當年陳建功先生對他的這位女弟子的譯做贊不絕口.徐先生不幸于文革中自殺身亡.

另外,對于很多具體的點集的例子,有許多書可以參考,比如

7.汪林"實分析中的反例"

這是本非常非常好的書,在以后的幾章里面我們也都要引用這本書.整理是程民德先生的弟子.要記住的是,這不僅僅是一本講例子的書!理圖里有.

和一些習(xí)題集和解答,比如

8."實變函數(shù)論習(xí)題解答"

這是那湯松的書的習(xí)題解答.質(zhì)量一般,不過好歹是本習(xí)題解答吧.

9."實變函數(shù)論的定理與習(xí)題"

記不清是誰寫的了,應(yīng)該是某個蘇聯(lián)人.里面有詳細的解答,質(zhì)量相當高.第二章"測度"這是這本書上冊的核心.

測度在這里的講法,從環(huán)上的測度講到測度的擴展,基本上屬于

10.P.R.Halmos"MeasureTheory"(GTM18)

(中譯本:測度論)的框架里面.這本書實在不敢評論,自己看吧!這本書里面還有一些精選的習(xí)題,有膽子和時間的話值得一做.

集環(huán)的理論一本相當有趣的書可以看看,就是

11.J.OxtobyMeasureandCategory(GTM2)

這里的"category"不是指代數(shù)里面的范疇,而是集合的"綱",講了很多有趣的東西.

現(xiàn)在可以來談?wù)?/p>

12.周民強"實變函數(shù)"(第二版)

這本書寫得不錯,總的說來最大的好處恐怕就是習(xí)題很多,而且都是能做的習(xí)題--復(fù)旦的課本里面的習(xí)題初學(xué)好象是難了點,特別是在沒有答案的情況下:)

還有一本很好的書,可惜至今只打過幾個照面,但是可以肯定的是絕對是好書:

13.程民德,鄧東皋"實分析"

我見過這書里面的一個測度的題目:$m^*(E_1\\capE_2)+m^*(E1\\cupE_2)\\leqm^*(E_1)+m^*(E_2)$,

還是很有趣的,還難住過我們的一個老師哦!此外,上一章里面的參考書都可以搬過來.需要注意的一點是,有些書是純講Lebesgue積分的,比如6.12.等,有些細節(jié)上注意一下L與L-S的差別還是有用的.第三章這就是真正的實分析了.這里面應(yīng)該說每一節(jié)都是重要的.

在全面引用上兩章的參考書的同時,還可以考慮下面的:

14.I.E.Segal,R.A.Kunze"IntegralsandOperators"和

15.A.N.Kolmogorov,S.V.Fomin"函數(shù)論與泛函分析初步"

這些整理應(yīng)該說都是相當好的數(shù)學(xué)家了.比較遺憾的是一般由于課時安排等種種原因,最后三節(jié)都不能好好講.其實這些都是很有趣的東西.廣義測度和R-N定理更是非掌握不可的.

最后問個小問題:"L^1(R)是R上全體可積函數(shù)全體構(gòu)成的空間"這句話對嗎?在直線(或者更一般的局部緊群上),是有可能

先建立積分理論再導(dǎo)出測度的.比如下面將要講到的

16.夏道行,嚴紹宗,舒五昌,童裕孫"泛函分析第二教程"

里面就有一些這方面的內(nèi)容.此外還有象

17.夏道行,嚴紹宗"實變函數(shù)與泛函分析概要(?)"

(上海科技出的那套教材里面的一本,理圖里面有)好象就是按照先積分再測度的辦法講的.

另外用這一體系的書好象還有

18.F.Riesz,B.Sz.-Nagy"泛函分析講義"(Leconsd\'analysefonctionnelle)

這也是不錯的書.

對測度感興趣的話,還可以看一些動力系統(tǒng)里面講遍歷理論(ergodictheory)的書,"那是真正的測度論"(J.M.Bony).

第四章從這里開始算泛函分析的課了.不過這一章是不是一定要以這樣的篇幅在這里講值得討論.其實很多度量空間的概念在數(shù)學(xué)分析課里面就可以解決掉,在這里應(yīng)該只要強調(diào)有限維和無限維的差別就可以了.上面的許多參考書在這里一樣可以用,還應(yīng)該加上的是:

19.汪林"泛函分析中的反例"

第十節(jié)一般不講,不過這東西實在是基本,整個泛函的體系都可以建立在上面,理圖里面有一本

20.夏道行,楊亞立"拓撲線性空間"

不過那書基本上是第二整理寫的,所以建議有興趣的化還是看下面幾本

21.N.Bourbaki"TopologicalVectorSpace"Chpt.1-5

布爾巴基寫書是一章一章出的,這書能一次就包含五章,實屬罕見.而且估計今后也不會有后續(xù)的內(nèi)容了.

GTM里面也有兩本是講拓撲線性空間這個題目的:

22.H.H.SchaeferTopological[VectorSpaces](GTM3)

23.J.L.Kelley,I..Namioka[LinearTopologicalSpaces](GTM36)

16.里面有一章也是講這東西的.其它許多以"泛函分析"為標題的書也是以此為出發(fā)點的,比如

24.S.K.Berberian"lecturesinFunctionalAnalysisandOperatorTheory"(GTM15)

Berberian也是很好的數(shù)學(xué)家,他翻譯的Connes的"NoncommutativeGeometry"是一個很好的版本.盡管后來Connes自己出了個內(nèi)容更多的英文本.

25.W.Rudin"FunctionalAnalysis"

這本書里面也有很多非常有趣的內(nèi)容.Rudin的書都是很好的.

26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov"FunctionalAnalysis"

(英文版系資料室有一本,中譯本在理圖有很多)不少人都說Nobel經(jīng)濟學(xué)獎有不少是給數(shù)學(xué)家的,這話一點不錯,不過給計劃經(jīng)濟體制下的數(shù)學(xué)家恐怕就Kantorovitch一位了.這是本很清晰簡潔的書,中譯本的質(zhì)量也很不錯.

27..J.B.Conway"ACourseinFunctionalAnalysis"(GTM96)

第五章這一章講述Banach空間上的有界線性算子理論.這一內(nèi)容的框架性著作毫無疑問是

28.Dunford,Schwarz"LinearOperators"I

這書在系資料室運氣好的話能找到一到兩本.注意有一些結(jié)論是可以把Banach空間減弱為Frechet空間的,不過好象據(jù)說實際應(yīng)用中除了廣義函數(shù)空間是個Frechet空間以外其它用得并不多.前面列的各中標題是泛函分析的書這里都可以用.

汪林的書19.里面有許多有趣的例子.

不自反的空間的例子在系資料室可以查到,應(yīng)該是在某期Proc.ofNat.Acad.ofSci.上.

再補充一下前面漏掉的一本書:

29.W.Rudin"RealandComplexAnanlysis"

在講單復(fù)變的時候我們已經(jīng)提到過這本書了,這里面可以看到不少實分析或者說泛函方法在復(fù)變中的應(yīng)用.這書現(xiàn)在已經(jīng)有第三版了,老的版本總書庫里面有很多.

第六章Hilbert空間由于其上存在一個內(nèi)積,可以發(fā)展的性質(zhì)比Banach空間要多得多.從空間本身來講,線性代數(shù)學(xué)好點對

本章前面幾節(jié)有很大幫助,學(xué)的過程中密切注視維數(shù)無限導(dǎo)致的各種反例就是了.算子理論其實也一樣,腦子里面清楚哪些

有限維的性質(zhì)是可以推廣到無限維的對整個體系的理解很有用.本科階段一般也就教半章,這也沒有辦法,如果第四章能省下的點時間的話還是能夠講一些算子譜理論的.

這里可以做的習(xí)題非常多,特別是

30.P.R.Halmos[AHilbertSpaceProblemBook](GTM19)

算得上一本杰作."Theonlywaytolearnmathematicsistodomathematics"就出自這里.再往下去研究算子代數(shù)的話,就實在"是沒有底的東西了"(陳曉漫)在16.里面有一章講些基本概念.這一塊的文獻也是浩如煙海,因為學(xué)得太少,不敢妄加評論,只想指出一本書,

31.G.K.Pedersen"C*-AlgebrasandtheirAutomorphismGroups"

這書連A.Connes都說好,我想決不會差到哪里去.

再說兩句A.Connes,關(guān)于他的工作,或者說整個算子代數(shù)往后來的非交換幾何的發(fā)展歷史,特別是這一分支從其開始的階段就和量子物理的了解,可以看

32.VaughanJones(Fields90)andHenriMoscovici"RiviewofNoncommutativeGeometrybyAlainConnes"

AMSNotice,v.44(1997),No.7

33.A.Lesniewski"NoncommutativeGeometry"

AMSNotice,v.44(1997),No.7

還有

34.IrvingSegal

BookReview,NoncommutativegeometrybyAlainConnes

AMSBulletin,v.33(1996),No.4

因為

35.AlainConnes(Fields82)"NoncommutativeGeometry"

可以說是這一塊的里程碑式的著作,(33.中甚至說今后人們會用今天看Riemann的就職演說的眼光看這本書)所以對于這本書的評論很多也就把整個分支都評論進去了,不妨看看.Jones說這書是"Amilestoneformathematics.Conneshascreatedatheorythatembracesmostaspectsof`classical\'mathematicsandsetsusoutonalongandexcitingvoyageintotheworldofnoncommutativemathematics".做為老前輩,Segal的書評里面有一些批評,也值得注意.

第七章這一章一般不講,在本科階段不講,在研究生階段也不講,實在奇怪,不是嗎?主要問題是,就事論事地討論廣義函數(shù)

恐怕不是非常地有趣,要緊的還是這套框架在偏微分理論中的應(yīng)用.現(xiàn)在的狀態(tài)就是你在復(fù)旦數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)專業(yè)念四年出來可以還沒聽說過什么叫Sobolev空間,盡管大家都承認復(fù)旦的偏微是很強的...\\\\sigh

在廣義函數(shù)的標題下最有名的應(yīng)該是

36.I.M.Gelfand等"廣義函數(shù)"(GeneralizedFunctions,I-V)

大概I-IV都有中譯本吧!理圖里面應(yīng)該是有的,英文本系資料室有.從泛函的角度,據(jù)說是第二本最有意思.另外還有兩本好書,不光是這一塊內(nèi)容,從整體上講也是很好的泛函課本

37.K.Yosida(吉田耕作)"FunctionalAnalysis"

他也過兩種不同"規(guī)格"的書,一本比較厚,一本比較薄,都很好.其中有一本的第六版去年世界圖書剛剛影印.

38.H.Brezis"AnalyseFonctionelle"

Brezis是我校名譽教授,法國科學(xué)院院士,非線性偏微的權(quán)威.他的這本書很見功力.如果能念法語的話絕對值得一讀.

在Rudin的書25.里面也講了不少廣義函數(shù)的內(nèi)容,特別有一章講TauberianTheory,很有意思.--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:16:00

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1.7

《抽象代數(shù)》

有的地方管這叫"近世代數(shù)",反正近不近各人自己看著辦吧!從歷史上說,可以認為嚴肅的討論是從伽羅華開始的,他在決斗前夜寫下的那封著名的信件(里面有"你可以公開向Jacobi或者Gauss提出請求,不是就這些結(jié)果的正確性,

而是重要性,給出意見",現(xiàn)藏法國國家圖書館).在后來的發(fā)展過程中,代數(shù)結(jié)構(gòu)話的語言逐步滲透到數(shù)學(xué)的各個角落.到今天這已經(jīng)是一門無處不在的分支了.不止一個老師教導(dǎo)過我們:在復(fù)旦,你們受到的分析訓(xùn)練將是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代數(shù)...恐怕你們自己還要多下點功夫.現(xiàn)行教材是我的本家寫的,總的說來作為初學(xué)還很可以一讀,原因?qū)⒃谙旅嬲f明.北大的課本是

1.丁石孫,聶靈沼"代數(shù)學(xué)引論"

這本書的特點和北大的那本高等代數(shù)一樣,就是沒什么自己的特色,原因是這本書從體例到習(xí)題在很大程度上參考了

2.N.Jacobson"BasicAlgebraI,II"

這書在總書庫里面有不少,理圖里面也有前面幾章的中譯本,應(yīng)該是叫"基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)"吧,不過翻譯質(zhì)量一般.Jacobson在代數(shù)領(lǐng)域也屬于權(quán)威,是華先生同時代的人.這本書從觀點上說是相當現(xiàn)代化的,比同整理的那本

3.N.Jacobson"LecturesonAbstractAlgebra"(GTM.30,31,32)

(中譯本:抽象代數(shù)學(xué),共三卷,理圖里有)要改進不少.有興趣的話不妨那我的本家先生的書和2.去比較一下，從習(xí)題的角度上說,可以看

4.徐誠浩"抽象代數(shù)--方法導(dǎo)引"

這本書可以說比較適合在復(fù)旦學(xué)這門課.可以羅列的參考書還有很多,綜合性的課本有名氣很大的

5.S.Lang"Algebra"

Lang寫書以清晰著稱,他的這本書還得過AMS發(fā)的Steel優(yōu)秀圖書獎.

6.莫宗堅"代數(shù)學(xué)(上,下)"

北大數(shù)學(xué)叢書里面的一本,沒有很仔細地看過,但是感覺不錯.北大的一些同學(xué)對此書推崇倍至,認為比1.寫得好.

7.熊全淹"近世代數(shù)"

這本書的好壞不敢評論,不過這本書有個很大的特點,就是整理收集了很多小文章,比如許多AmericanMathematicalMonthly上的短文.依他開列的參考文獻到系資料室去找,可以看到很多有趣的東西.其它的就是比較專門的東西了.比如群論就有影響過無數(shù)學(xué)者的

6.庫洛什"群論"

注意這本書第二版和第三版中譯本的封面一模一樣.或者段學(xué)復(fù)先生的導(dǎo)師Robinson寫的

7.Robinson"AcourseinthetheoryofGroups"(GTM80)

再有象(群,代數(shù))表示論,環(huán)論,模論等等,都有專著,不過我是一竅不通的了.還望這里的高手多多指點.

對于Galois理論,有一本

8.E.Artin"伽羅華理論"

非常薄,講得很精彩,絕對是本傳世佳作.還有

9.Edwards"GaloisTheory"(GTM101)

這本書很有趣,它是循著Galois的原始想法寫的,因此和一般通行的教本里面的講法不是很一樣.

1.8

《組合基礎(chǔ)》

這門課沒讀過,不過如果現(xiàn)在的課本還是

1.I.Tomescu"組合學(xué)引論"

的話,倒還是想說兩句的.首先,這是本很好的書,不管上不上這門課都值得一讀.其次,這本書的習(xí)題不是很好做的,特別是沒有答案:)(嚴肅的說,當你看到許多習(xí)題后面都標有人物,年代,就該知道這些結(jié)果不是那么平凡的了)作為補充,可以考慮

2.I.Tomescu"Problemingraphtheoryandcombinatorics(???)"

這本書有比較詳細的提示和解答,里面的題目也非常好,高二的時候曾和一個哥們把里面的題目抄了一遍(當時條件簡陋,沒法復(fù)印的說...//sigh).不過復(fù)旦是不是有我不是最清楚.但是我可以肯定的是,下面這本書總書庫里面有很多:

3.Lovasz"ProblemsinCombinatorics(?)"

這是本相當好的習(xí)題集,整理Lovasz是唯一一個得過wolf獎的組合學(xué)家.唯一的可能有麻煩的地方這本書的塊頭大了點,不過千萬不要被嚇倒!(這里應(yīng)當聲明,已經(jīng)快五年沒好好看過組合書了,所以腦子里面的印象難免有所偏差,還望大家原諒)

有一些書是講圖論的,其中比較好的書大概可以算

4.Bondy,Murty"GraphTheoryandApplications(?)"

(中譯本:圖論及其應(yīng)用,科學(xué)出版社,理圖里有)這本書內(nèi)容翔實,寫得很容易讀,而且有許多難度適當?shù)牧?xí)題,注意這些習(xí)題不僅在書后(好象)有簡短的提示,而且在圖書館里面還有一本

5."圖論及其應(yīng)用"習(xí)題解答

做得還算不錯吧.翻譯成中文的書里面,還有上?？萍汲霭娴?/p>

6.Harary(哈拉里)"GraphTheory"(圖論)

這本書里面的習(xí)題基本上都是從人家的論文里面直接找來的,所以有相當難度,雖說那里給出了非常詳細的文獻來源,但是有些還是很不好找的.這本書其實已經(jīng)有點專著的味道了.

講到圖論,還有象

7.B.Bollobas"GraphTheory"(GTM63)

這本書世界圖書剛剛重印,市面上應(yīng)該還能見到不少.Bollobas現(xiàn)在是在劍橋吧,國際數(shù)學(xué)家大會上也是做過(作為參照,改革開放以來,從大陸出去做過45分鐘報告的好象才兩個人--在國外工作的加上去也不到十個吧)

8.G.Chartrand,L.Lesniak"GraphandDigraphs"

是本好書,淺顯易懂.此外還有

9.C.Berger"GraphandHypergraph"

是這里的框架性著作,至少在外國教材中心里面有一本.

還有一些不講或不專講圖論的組合書,中文的有

10.李喬"組合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)"

我們的這位校友(華宣積老師的同學(xué))文革期間在中科大吃過很多苦頭,現(xiàn)在在上海交大.他這本書寫得很不錯,不過一個小小的遺憾,就是這書的書脊上印的是"組合數(shù)學(xué)礎(chǔ)基".

11.I.Anderson"CombinatoricsofFiniteSets"

12.Bollobas"Combinatorics"

這兩本書國內(nèi)影印過,所以我想總書庫里面會有.理圖里面還能找到一本薄得要死的名著

13.Ryser(賴瑟)"組合數(shù)學(xué)"

這里面記得有一些講組合設(shè)計的章節(jié)還是很簡單明了的.至于象

14.魏萬迪"組合論"

這書感覺好象篇幅太大了點,而且你很快就會發(fā)現(xiàn)其實這書很不好看.著重算法的書很多就是計算機類的了,比如

15.朱洪等"算法設(shè)計和分析"

16.盧開澄"組合數(shù)學(xué)--算法與分析"

印象中該書第一版是上下兩冊,第二版就只剩下一半篇幅了,沒有很仔細得比較過前后兩版,所以也說不出究竟變了點什么.

組合數(shù)學(xué)有不少書是可以看著玩的,比如外國教材中心里面有一本書好象叫"GraphtheoryfromEulertoKonig"(等于就是說講現(xiàn)代圖論的史前史),等等.

如果要求不是很高,那么下面的書可能可以算篇幅不大,內(nèi)容不深,但多少也講了些東西的:

17.I.Anderson"AFirstCourseinCOmbinatorialMathematics"

18.C.Berger"組合學(xué)原理"(上?？萍?

19.C.L.Liu(劉炯朗,現(xiàn)新竹清華大學(xué)校長)

"組合學(xué)引論"這書是魏萬迪翻的,就是印刷質(zhì)量差了點.其它都還好,在北美的評價也不錯.此外,最近剛剛看到出了一本

20.Lovasz,etal.(ed.)"HandbookofCombinatorics"

厚厚的兩大本,里面有很多人的文章,算得上是包羅萬象了.

組合里面還有一個非常有名的東西--四色定理,關(guān)于它就是是不是被證明了爭論了很多年,當真是仁者見仁,智者見智.當年的兩位主角Appel和Haken寫過本書,就叫

21.Appel,Haken"EveryPlanarMapisFourColorable"

如果你覺得這書塊頭太大,可以先翻翻他們在

22.Steen(ed.)"mathematicstoday"

(中譯本:今日數(shù)學(xué),上?？萍?里面的一篇通俗的文章,寫得非常的好.

最后補充canetti指出的

23.ReinhardDiestel"GraphTheory"(GTM173)

這本書里面講到了概率方法,這個感覺是一個很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields獎的T.Gower(這位是靠

Banach空間理論得獎的,但是他的組合功夫本來就很深,現(xiàn)在好象干脆就轉(zhuǎn)向組合了)--

整理：ericvenn

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發(fā)布時間：2007-7-2513:17:00

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1.9《數(shù)學(xué)物理方程》

這是講偏微分方程的課的名稱.顧名思義,就是說這里的方程原則上最早都是從物理里面來的.這個分支里面的東西豐富之至(當然往反面說就是有時候會顯得結(jié)果比較零散).

現(xiàn)行課本是

1.谷超豪,李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻"數(shù)學(xué)物理方程"(上?？萍?

這本書在這樣一個水平上(指不引進廣義函數(shù),弱解等泛函里面的概念)是相當不錯的.注意那些經(jīng)典方程的推導(dǎo)里面多少有一些近似的過程,這其實從某種意義上反應(yīng)了所對應(yīng)的微分算子的某些性質(zhì)的穩(wěn)定性.比如,對于經(jīng)典的波動方程,3維及以上的奇數(shù)維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經(jīng)典物理的時空里面空間維數(shù)必須是奇數(shù)的一個證據(jù)),你在其它一些書(或者說以后)可以看到,差不多二階雙曲方程里面只有波動方程有這樣的性質(zhì)--但是別忘了,高維波動方程

的推導(dǎo)里面是有近似的,這說明什么?一階偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我課不知道,有些東西還是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿來證明微觀經(jīng)濟模型的合理性,然后說他看不出有存在C^\\infty推理的可能--數(shù)學(xué)經(jīng)濟是怎么回事,可見一斑.你能說社會活動中的數(shù)據(jù)都是按t解析的嗎???!!!學(xué)這門課的那個學(xué)期在忙著各種各樣考試(比如T,G等等),故此沒能夠看太多的參考書.北大的課本也沒有看過,不過據(jù)一位北大的師兄說,和復(fù)旦的課本相比較,可能北大那邊相對更注重一些解的漸進估計等等,而復(fù)旦這里對于顯式解講得更多些.注意在圖書館里面可以找到一本內(nèi)容相當接近的書

2.谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),Ｋ文????"數(shù)學(xué)物理方程"(人民教育?高等教育?)

這書的題材,難度,例題,習(xí)題等等和1.非常接近.特別指出這本書的原因是在復(fù)旦的課本中據(jù)我所見,只有這本是曾經(jīng)出過一本"官方的"習(xí)題解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答對于做作業(yè)是很有幫助的.

比較容易找到的書里面,

3.陳恕行,秦鐵虎

"數(shù)學(xué)物理方程--方法導(dǎo)引"是一本非常好的講習(xí)題的書.里面的習(xí)題如果能夠全部做一遍的話,應(yīng)付考試是綽綽有余了.

說實在的,偏微分這個領(lǐng)域在過去的幾十年里面有翻天覆地的變化,古典的方法和"現(xiàn)代"的泛函的方法有時候的確很難兼顧.我想說起古典的,

4.R.Courant,D.Hilbert"數(shù)學(xué)物理方法"(I,II)

可以說是毫無疑問的經(jīng)典.按照洪家興老師的說法,不管橢圓,雙曲,拋物里面的哪一塊這本書里面的相應(yīng)章節(jié)都是經(jīng)典,問題就是這書放在一起你是沒辦法當教材來學(xué)的,所以只能有空翻翻啦

經(jīng)典的教材,大概可以算

5.彼得羅夫斯基"偏微分方程講義"

這本書從風格上可能和他老人家那本"常微分方程講義"比較接近.里面的有些內(nèi)容,象Cauchy-Kovalevskaya定理,在復(fù)旦的本科也好象是不講的.我想講講這個人,他其實從三十年代開始就不怎么做東西了,主要的精力一直放在為蘇聯(lián)數(shù)學(xué)界構(gòu)造保護傘方面.他最后去世的時候是這個樣子的,某天他到莫斯科市委會去開會,跟人家大吵了一架,因為基礎(chǔ)科學(xué)研究的經(jīng)費的事情,結(jié)果出來的時候在大門口突發(fā)心肌梗塞,他的最后一句話是:"我嬴了".有這樣的人存在你才可以想象為什么人家的大清洗沒有對科技的發(fā)展有太大的影響.對于這個問題,建議看看

6.AMSNotice,vol.44(1997),No.4,p.432

7.AMSNotice,vol.46(1999),No.10,p.1217

8.O.A.Ladyzhenskaya"TheBoudaryValueProblemsofMathematicalPhysics"

和5.一樣,都很經(jīng)典.當然你要說它們陳舊我也沒話可說.

既然這課叫數(shù)學(xué)物理方程,多少和物理沾點邊吧,在這個方向上我以為

9.李大潛,秦鐵虎"物理學(xué)與偏微分方程"(高教)

還是很不錯的,上冊已經(jīng)出版,下冊也就要付印了.該書的起點并不高,所以應(yīng)該比較容易看.據(jù)說該書的責編(北大畢業(yè)的)極為負責,認真到連里面的公式都一個個去推導(dǎo)的地步.從課程設(shè)置的角度上說,其實有一些深度介于本科課程和研究生的那門偏微基礎(chǔ)課之間的書(包括不少經(jīng)典)都可以在這段時間里面看看的.比如

10.L.Bers,F.John,M.Scheter,"PartialDifferentialEquations"

Bers是個很有趣的人,可以看看

11.L.Steen,ed."今日數(shù)學(xué)"(MathematicsToday)

里面的文章.附帶說一句,這本書是最好的數(shù)學(xué)普及讀物之一,絕對值得一看,中譯本的質(zhì)量也不錯.

12.F.John"PartialDifferentialEquations"

這本書系資料室肯定有.

剩下兩本應(yīng)該是比較容易找到的,因為世界圖書剛剛印,雖說貴了點.不過還是值得一看的.

13.J.Rauch"PartialDifferentialEquations"(GTM128)

14.M.Taylor"PartialDifferentialEquationsI"(AppliedMathematicalSciences115)

后面這本看前一半就可以,后一半也看當然更好:-))引G.Lebeau的一句話,這書比

15.L.Hormander"LinearPartialDifferentialOperators,I"

要好念多了.(當然基本上人人都是這么認為的,只不過這位的來頭比較大而已--法國科學(xué)院通訊院士,46歲)

1.10《拓撲學(xué)》

我拓撲學(xué)得很差(從總體上說),因此這里我也說不出太多東西.大概也就點集拓撲還算過得去,我以為這一方面我們的現(xiàn)行課本:

1.李元熹,張國(木梁)"拓撲學(xué)"

的前兩章還是不錯的.至少該講的東西都講了,而且后面羅列(我想不出還有什么更好的形容詞)了許多習(xí)題,做上一遍是很有趣的一項工作.中文的參考書里面好象

2.熊金城"點集拓撲講義"

是比較好的.該書也有些名氣.

不過要好好學(xué),可能還是看下面的兩本比較經(jīng)典的書:

3.J.L.Kelley"GeneralTopology"(GTM27)

此書名頭很響,55年出版的時候應(yīng)該算得上是把這一領(lǐng)域里面的結(jié)果做了個很好的總結(jié).該書是想寫成課本的,因此每章后面都有習(xí)題,按A,B,C,D,...編號.只是真要做起來未免有些困難.聽說過這樣一個故事,就是曾有一位華裔數(shù)學(xué)家回國講學(xué)的時候于酒席間說他的老師要他去學(xué)拓撲,指明看Kelley的書,而且要習(xí)題全做.結(jié)果大家都笑了,因為大家都明白這目標不是很現(xiàn)實.我個人的經(jīng)驗是,在那個學(xué)期陷入各類考試的重圍中之前,還做了前面兩三章的題目.是比較困難,但是做起來也非常有趣.

再補充一本中文的書,內(nèi)容和1.差不多

4.尤承業(yè)"基礎(chǔ)拓撲學(xué)"

是北大的教材.

5.I.M.Singer,J.A.Thorp"Lecturenotesonelementarytopologyandgeometry

(中譯本:(基礎(chǔ)?)幾何學(xué)與拓撲學(xué)講義,干丹巖譯)這是本極好的教材,應(yīng)該可以用深入淺出來形容吧!第一整理Singer就是和Atiyah一起證指標定理的那位,說是重量級人物當無疑義.

如果你只想查結(jié)果,我覺得可以去找

6.R.Engelking"GeneralTopology"

這書是七十年代末寫的,內(nèi)容翔實,至少對我來說是有包羅萬象的感覺,當然對做這一塊的人就不一定了.

按照蕭先生的速度,大概第二章還是能講大半的.這里屬于代數(shù)拓撲的起始部分,參考書一下子就比前面的多多了.

講代數(shù)拓撲的書,可能

7.Greenberg"LecturesonAlgebraicTopology"

屬于寫得很通俗易懂,配置合理的那一類.

還有象GTM里面的

8.W.S.Massay"AlgebraicTopology:AnIntroduction"(GTM56)

也是寫得很好的書.

這個學(xué)期剛剛在學(xué)拓撲，做些補充的說。:)拓撲學(xué)是在十九世紀末興起，并在二十世紀中蓬勃發(fā)展的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在已與近世代數(shù)，近世分析共同成為當代數(shù)學(xué)理論的三大支柱。如果先要對該學(xué)科有一個感性的認識的話，建議看

《拓撲學(xué)奇趣》巴爾佳斯基葉弗來莫維契合著這本書只有不到兩百頁，可是覆蓋的面很廣，也有一定數(shù)量的有啟發(fā)性的題目。

M.A.Armstrong的《基礎(chǔ)拓撲學(xué)》也是一本不錯的書。由于該書中的討論范圍有很多是基于Hausdorff空間，有些是甚至是在度量空間里討論問題的，所以一些定理的證明就變的比較簡單易懂，例如Urysohn引理。由于側(cè)重點不同，這本書對復(fù)旦現(xiàn)在的課本是很好的補充。

1.11《微分幾何》

幾何是非常美妙的,通常人們提到幾何的時候會把直觀兩個字加上去.這其實是很有道理的,在微分幾何中也不例外.具體的說,就是雖然微分幾何往往會使人感覺被淹沒在計算的汪洋大海,但是有一個幾何的"感覺"是很有幫助的.

現(xiàn)在用的課本應(yīng)當是

1.蘇步青,胡和生等"微分幾何"

這書寫得不錯,至少比北大陳維桓的那本"微分幾何初