組合考題例析●知識(shí)梳理1.組合的概念：從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù)，用C表示.2.組合數(shù)公式C=.3.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：（1）C=C；（2）C=C+C.●典例剖析【例1】某外語(yǔ)組有9人，每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén)，其中7人會(huì)英語(yǔ)，3人會(huì)日語(yǔ)，從中選取會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)的各一人，有多少種不同的選法?解：由題意可知，只會(huì)英語(yǔ)的有6人，只會(huì)日語(yǔ)的有2人，英語(yǔ)和日語(yǔ)都會(huì)的有1人.以只會(huì)英語(yǔ)的人數(shù)分類(lèi)，C·C·C+C·C=20.【例2】設(shè)集合A={1，2，3，…，10}，（1）設(shè)A的3個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)為n，求n的值；（2）設(shè)A的3個(gè)元素的子集中，3個(gè)元素的和分別為a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值.解：（1）A的3元素子集的個(gè)數(shù)為n=C=120.（2）在A的3元素子集中，含數(shù)k（1≤k≤10）的集合個(gè)數(shù)有C個(gè)，因此a1+a2+…+an=C×（1+2+3+…+10）=1980.評(píng)述：在求從n個(gè)數(shù)中取出m（m≤n）個(gè)數(shù)的所有組合中各組合中數(shù)字的和時(shí)，一般先求出含每個(gè)數(shù)字的組合的個(gè)數(shù)，含每個(gè)數(shù)字的個(gè)數(shù)一般都相等，故每個(gè)數(shù)字之和與個(gè)數(shù)之積便是所求結(jié)果.【例3】從1，2，…，30這30個(gè)自然數(shù)中，每次取不同的三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)的取法有多少種？解：令A(yù)={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}組成三類(lèi)數(shù)集，有以下四類(lèi)符合題意：①A，B，C中各取一個(gè)數(shù)，有CCC種；②僅在A中取3個(gè)數(shù)，有C種；③僅在B中取3個(gè)數(shù)，有C種；④僅在C中取3個(gè)數(shù)，有C種.故由加法原理得共有C·C·C+3C=1360種.評(píng)述：按元素的性質(zhì)分類(lèi)是處理帶限制條件的組合問(wèn)題的常用方法，對(duì)于某幾個(gè)數(shù)的和能被某數(shù)整除一類(lèi)的問(wèn)題，通常是將整數(shù)分類(lèi)，凡余數(shù)相同者歸同一類(lèi).思考討論討論下面的問(wèn)題：用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的能被25整除的四位數(shù)多少個(gè)？提示：能被25整除的數(shù)的后兩位是25或50，后兩位是50的數(shù)有A個(gè)，后兩位是25的數(shù)有3×3=9個(gè)，所以能被25整除的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為A+9=21.【例4】如圖，從一個(gè)3×4的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)A到對(duì)頂頂點(diǎn)B的最短路線有幾條？解：從A到B的最短路線，均需走7步，包括橫向的4步和縱向的3步，于是我們只要確定第1，2，…，7步哪些是橫向的，哪些是縱向的就可以了，實(shí)際只要確定哪幾步是橫向走.所以每一條從A到B的最短路線對(duì)應(yīng)著從第1，2，…，7步取出4步（橫向走）的一個(gè)組合，因此從A到B的最短路線共有C=C=35條.深化拓展1.某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，如下圖所示.要從A處走到B處，使所走的路程最短，有多少種不同的走法？解：將相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的街道稱(chēng)為一段，那么從A到B需要走（n+m－2）段，而這些段中，必須有東西方向的（n－1）段，其余的為南北方向的（m－1）段，所以共有C=C種走法.2.從一樓到二樓樓梯一共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，規(guī)定用8步走完樓梯的方法種數(shù)是_____________.解：設(shè)一步一級(jí)x步，一步兩級(jí)y步，則故走完樓梯的方法有C=28種.例5.有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中5名英語(yǔ)翻譯員，4名日語(yǔ)翻譯員，另兩名英、日語(yǔ)都精通，從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問(wèn)這樣的分配名單共可開(kāi)出幾張?分析：既精通英語(yǔ)，又精通日語(yǔ)的“多面手”是特殊元素，所以可以從他們的參與情況入手進(jìn)行分類(lèi)討論.解：按“多面手”的參與情況分成三類(lèi).第一類(lèi)：多面手不參加，這時(shí)有CC種；第二類(lèi)：多面手中有一人入選，這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有CCC+CCC種；第三類(lèi)：多面手中兩個(gè)均入選，這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，因此有CCC+CCC+CCCC種.綜上分析，共可開(kāi)出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+CCCC=185種.評(píng)述：首先注意分類(lèi)方法，體會(huì)分類(lèi)方法在解組合問(wèn)題中的作用.本題也可以先安排翻譯英文人員，后安排翻譯日文人員進(jìn)行分類(lèi)求解，共有CC+CCC+CCC=185種.●思悟小結(jié)1.組合數(shù)公式有連乘和階乘形式，階乘形式一般用于證明和計(jì)算，組合數(shù)的性質(zhì)常用于證明等式及合并組合數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算.2.解受條件限制的組合題，通常有直接法（合理分類(lèi)）和間接法（排除法）.3.解組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意至少、至多、