aaaaaaaa矩陣的特征值與特征向量分析及應用畢業(yè)論文摘要特征值和特征向量是高等代數(shù)中的一個重要概念，為對角矩陣的學習奠定了基礎.本文在特征值和特征向量定義的基礎上進一步闡述了特征值和特征向量的關系.本文還研究矩陣的特征值和特征向量的求解方法.再列舉了特征值和特征向量相關的性質.最后給出了陣的特征值與特征向量在生活中的運用，并應用于實例.關鍵詞：矩陣 特征值 特征向量AbstractEigenvaluesandeigenvectorsareimportantconceptsofadvancedalgebrawhichlaidthefoundationforthediagonalmatrixlearning.Thispaper,onthebasisofthedefinitionofeigenvaluesandeigenvectors,studytherelationshipofthem.Thisalsostudythesolutionmethodofeigenvaluesandeigenvectors.Andthenliststherelatedpropertiesofeigenvaluesandeigenvectors.Finally,usethematrixeigenvaluesandeigenvectorsinordinarylive,andapplicationinrealexamples.Keywords:matrix;eigenvalue;eigenvector目錄引言第一章、本征值和本征向量的關系1.1本征值與本征向量的定義1.2求解本征值與本征向量的方法探索第二章、矩陣的特征多項式和特征根2.1矩陣的特征多項式和特征根的定義2.2求解特征根和特征向量的方法2.3線性變換的特征根與特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的應用經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型萊斯利（Leslie）種群模型四、結論引言矩陣是高等代數(shù)課程的一個基本概念，是研究高等代數(shù)的基本工具.。線性空間、線性變換等,、都是以矩陣作為手段；由此演繹出豐富多彩的理論畫卷.。求解矩陣的特征值和特征向其，是高等數(shù)學中經(jīng)常碰到的問題。一般的線性代數(shù)教材中,都是先計算特征多項式，然后求得特征值，再通過解線性方程組得到對應的特征向量。特征多項式和特征根在整個矩陣理論體系中具有舉足輕重的作用，并且在于生活現(xiàn)實中的應用也很廣泛。第一章本征值和本征向量的關系1.1本征值與本征向量的定義定義1設。是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換.如果對應F中的一個數(shù)入，存在V中的非零向量E,使得。（E）=入E （1）那么入就叫做。的一個本征值，而E叫做。的屬于特征根入的一個本征向量.顯然，如果E是clEF的屬于本征值入的一個本征向量，那么對于任意aEF,都有0（CLg）=clo（E）=X（aO這樣，如果E是。的一個本征向量，那么由E所生成的一維子空間U={aE|。EF}在。之下不變；反過來，如果V的一個一維子空間U在。之下不變，那么U中每一個非零向量都是。的屬于同一本征值的本征向量。①其中（1）式的幾何意義是：本征向量E與它在。下的象。（E）保持在同一直線/ （E）上，入＞0時方向相同，入V0時方向相反，入=0時，。（E）=0.見圖1例1在V3中，。是關于過原點的平面H的反射，它是一個線性變換.那么H中的每個非零向量都是。的屬于本征值1的本征向量，V入就是平面H.與H垂直的非零向量都是。的屬于本征值-1的本征向量，即V-1就是直線L（見圖1）例2設V表示定義在實數(shù)域上的可微分任意次的實函數(shù)的全體構成的線性空間.令見圖1o（f（x））=fz（x）,O是V的線性變換.對于每個實數(shù)入，有o（e入X）二入e入X.所以，入是。aaaaaaaa的本征值，而e入x是。的屬于入的本征向量.aaaaaaaa1.2求解本征值與本征向量的方法探索問題的轉化直接由定義來求線性變換的本征值與本征向量往往是困難的，我們可用線性變換的矩陣來解決這個問題.設V是數(shù)域F上的n維線性空間，取定它的基｛',a2，…，an＞，令線性變換。在這個基下的矩陣是A=（a〃）.如果E=k1a1+k2a2+...+knan是線性變換。的屬于特征根入的一個特征向量，那么，0(E）關于基｛a1，a2，.，an｝的坐標是a…k,1k.2而入E的坐標是入…k,1k2kk?kn丿?kn丿這樣，就有A…k,k2=入…k,k2?k丿?k丿nn或（2）(XI-A)…k,k2…0、0?k丿<0丿n為E対，所以齊次線性方程（2）有非零解。因而系數(shù)行列式(3)(3)—A|=入一a11—a.21—a12入一a22…一a1n…一a2n=0—a—a…入一an1n2nn反過來，如果入EF，滿足等式（3），則齊次線性方程組（2）有非零解（燈，k2,…，kn），E=kTaT+k2a2+...+knan滿足等式（1），入是。的一個本征值，E就是。的屬于本征值入的本征向量。

由上面的分析，可以得到以下的結論：1）入EF是。的本征值的充分必要條件是它滿足方程（3）；2）對于本征值入子空間V入中一切向量在｛a”a2，…,a詩下的坐標正好構成齊次線性方程組（入l-A）X=0的在F上的解空間.實際上V入與（入l-A）X=0的解空間同構.V入的一個基｛Bi，B2，…,Bn｝可由齊次線性方程組（入I-A）X=0的一個基礎解系｛L，n2，…，鴨｝給出.（其中Bi=（ai，。2，..,an）nj,i=1,2, ）；②例1:求矩陣A例1:求矩陣A=1213-16-14-1520-3-3的特征值和特征向量514人+1514人+15-20334+1）但-1）但—2）人-5解：A的特征多項式為：-A=-1316A有三個不同的特征值=1,人=-1人=21 2 3-人-12143,"X,"0，將人=1代入其次線性方程組1-13人+1531X=0116-20人-52X301得基礎解系￡=1，則A的屬于人=1全部特征向量為kd（k豐0）.1 1 11 1-1得基礎解系￡=245-6，則A的屬于人得基礎解系￡=245-6，則A的屬于人=-1全部特征向量為ka（k豐o）.22"人-12143，"X，"0，將人=2代入其次線性方程組a3-13人+1531X22=016-20人-5X3022得基礎解系￡=333-4，則A的屬于人3=2全部特征向量為ka（k。o）33 3"人-12143，"X,"0，將人=-1代入其次線性方程組-13人+1531X=0216-20人-52X30第二章矩陣的特征多項式和特征根2.1矩陣的特征多項式和特征根的定義定義2設A=（aij）是數(shù)域F上的一個n階矩陣，行列式?-a11—a.21—a12?—a22…一a1n…一a2n—a—a…?—an1n2nn叫做矩陣A的特征多項式.fA（x）在C內的根叫做矩陣A的特征根.設入°EC是矩陣A的特征根，而x0ecn是一個非零的列向量，使Ax°=入ox°,就是說，X。是齊次線性方程組（入°/-A）X=0的一個非零解.我們稱X。是矩陣A的屬于特征根入0的特征向量。③2.2線性變換的本征值與矩陣的特征根的關系1）如果。關于某個基的矩陣是A,那么。的本征值一定是A的特征根，但A的特征根卻不一定是。的本征值，A的n個特征根中屬于數(shù)域F的數(shù)才是。的本征值；（2）。的本征向量是V中滿足（1）式的非零向量E,而A的本征向量是Cn中的滿足Ax0=入X。的非零列向量X03）若入EF是A的特征根，則A的Fn中屬于入的就是。的入屬于的特征向量關于給定基的坐標.2.3線性變換的特征根與特征向量的求法現(xiàn)在把求線性變換。的特征根和特征向量的步驟歸納如下：1） 在線性空間V中取一個基｛。卩。2，…，。」，求出。在這個基下的矩陣A；2） 計算特征多項式fA（x）=\X/-A\t求出它的屬于數(shù)域F的根X1，入2,…，入s；3） 對每個入擊=1,2，…,S）求齊次線性方程組（入//-A）X=0的基礎解系；4） 以上面求出的基礎解系為坐標，寫出V中對應的向量組，它就是特征子空間V入/的一個基，從而可確定。的特征向量.

例4設R上的三維線性空間V的線性變換。在基｛。1,a2，a3｝下…4 6 0、的矩陣是-3-50求。的特征根和對應的特征向量.的矩陣是3一61丿解。的矩陣厶已給出，先求特征多項式和特征根.f=如-<=f=如-<=AX-4 -63X+53600=（X-1*（X+2）X-1fA(x)的根為入i=l(二重根)，入2=-2都是。的特征根.對特征根入1=1，解齊次線性方程組(1-/-A)X=0,即'-3X-6X=01 2〈3X+6X=0123X+6X=012得基礎解系1=(-2,1,0),&2=(°，°，1)對應的特征向量組是｛-2a式a2,a3｝,它是特征子空間*的一個基，所以V1=L(-2a1+a2，a3).而。的屬于特征根1的一切特征向量為k1(-2a1+a2)+k2a3，k1，k2ER,不全為0.對特征根入2=-2,解齊次線性方程組Xi得基礎解系&3=(-1，1，1)，對應的。的特征向量是-0^02+03，它可構成V-2的一個基，所以V-2=L(-a1+a2+a3).因此。的屬于特征根-2的一切特征向量為k(-a1+a2+a3)，k￡R,k尹0.④注意：求A的特征根時，要考慮給定的數(shù)域，若沒有指定數(shù)域，就在C內討論；表示屬于某個特征根的特征向量(關于基礎解系)組合系數(shù)要取自指定的數(shù)域F(或C),且不全為零

第三章特征值和特征向量在生活中的應用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟分析、生命科學和環(huán)境保護等領域都有著廣泛而重要的應用.其中，經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型，萊斯利（Leslie）種群模型這兩種模型，矩陣的特征值和特征向量在其應用起著重要的作用。3.1 經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染是當今世界亟待解決的兩個突出問題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染之間的關系，可建立如下數(shù)學模型：TOC\o"1-5"\h\z設X,J分別為某地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟發(fā)展水平，X,y分別為該地區(qū)若0 0 1 1xx=3x+1y1y\o"CurrentDocument"0 0=2x+2y00fx)= 0"%丿則上述關系的矩陣形式為此式反映了該地區(qū)當前和若十年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平之間的關系如<=fX}f1]0——0"y0丿<1丿則由上式得由此可預測該地區(qū)若干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平一般地，若令工，y分別為該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟發(fā)展水平，則經(jīng)濟發(fā)tt展與環(huán)境污染的增長模型為x=3xx=3x+ytt-1t-1y=2x+2ytt-1t-1令a=rx)tt1yt丿則上述關系的矩陣形式為at(t=1,2,…,k)Aa,t-1t=1,2,-,ka=Aa51a=Aa510a=Aa=A2a,210a=Aa=A3a,320a=Aa=A由此，有t-1tX-3 -1-2X-2=(X-4)(X-1)ta.0由此可預測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平.下面作進一步地討論：由矩陣A的特征多項式得A的特征值為X1=4,X2=1對度X=4，解方程(4E-A)X=0得特征向量1"一2丿(對X1=1，解方程(E—A)X=0得特征向量"一2丿顯然，線性無關下面分三種情況分析:Case1 氣=氣=

一個性質:若a是矩陣A的屬于特征值人一個性質:若a是矩陣A的屬于特征值人的特征向，則a也是A的屬于特征值膈的特征向量度 (*)由(*)及特征值與特征向量的性質知，fl、a=Ata=Atn=Xtn=4tt11<1丿fx'卩、t=4t<y丿丄0或即此式表明：在當前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平的前提下，t年后，當經(jīng)濟發(fā)展水平達到較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢.Case2a=n0 2f1]<—2丿,/y=—2,00Case3以0不討論此種情況f1、<7丿€以0不是特征值，…不能類似分析。但是a0可以由門，n唯一線性表出來0 0 1 2a=3q—2q0 1 2由(*)及特征值與特征向量的性質%=Ata=At（3q一2q）=3Aq—2Aq0 1=3人少—2X⑴=3-4t11 222"1、1"1、2Q4t—2、—2?lt——<—2丿64t+4丿即fx、t<七丿x=3-4t—2, y=3-4t+4ttaaaaaaaaaaX(X(k)，a由此可預測該地區(qū)年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟發(fā)展水平.€因無實際意義而在Case2中未作討論，但在Case3的討論中仍起到了重要作用.2由經(jīng)濟發(fā)展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應用.3.2萊斯利（Leslie）種群模型萊斯利種群模型研究動物種群中雌性動物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關系。設某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為“單位：年），將區(qū)間［0丄］作n等分得n個年齡組i一1i［——L,-L］,i,1,2,…,n,nnL每個年齡組的長度為n-'設第i個年齡組［—n-L,nL］的生育率（即每一雌性動物平均生育的雌性幼體的數(shù)目）為存活率（即第i個年齡組中可存活到第i+1個年齡組的雌性動物的數(shù)目與第i個年齡組中雌性動物的總數(shù)之比）為bio令X(0),c \X(0)1X(0)2kX(0)丿nx（0）即為初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量。取 1，2,,設在時刻tk該動物種群的第i個年齡組中雌性動物的數(shù)目為x（k）, i,1，2,…,ni令(、

x(k)1x(k)2

則X伙丿即為時刻比該動物種群中雌性動物的年齡分布向量.顯然，隨著時間的變化，該動物種群的各年齡組中雌性動物的數(shù)目會發(fā)生變化.易知，時刻tk該動物種群的第一個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于在時段[tk-1,tk]內各年齡組中雌性動物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即,x(k-i)-a+x(k-i)-aH Fx(k-i)-a111 2 2 nn (21),ax(k-i)+ax(k-i)h Fax(k-i)11 22 nn又tk時刻該動物種群的第i+1個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于tk1時刻第i(2.2)個年齡組中雌性動物的存活量，即x(k),x(k-1)-b,bx(k-1),i+1 (2.2)聯(lián)立(2.1)和(2.2)得xk,ax(k-1)+ax(k-1)+??+axk-i)…1 11 22 nnx(k),bxM,i,12…；n-1 (2.3)°i+1 iix(k)，ax(k-i)x(k)，ax(k-i)+am-i)+??+ax(k-i)+am-i)iix(k),bxk-1)11x(k)，3n-1n-1 nn2.4)bx(k-1)2x(k)，n令萊斯利矩陣'aa…aa、i2n-1nb0… 00i0b… 00?■?2?■??■??■?<00…b?10丿n-1L，b m-i)n-1則(2.4)即為X(k)，LX(k-1).aaaaaak18 k18 丿k=1,2,...X⑴=LX（o）,X⑵=LX⑴=L2X（o）,X⑶=LX⑵=L3X（o）, （2.6）X(k)=LX(k-1)=…=LkX(0).由此，若已知初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量X(0)，則可計算出tk時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量X(k)，從而對該動物種群中雌性動物的數(shù)量作出科學的預測和分析.⑤例3.1設某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動物分為3個年齡組。5],[5,10],[10,15].由統(tǒng)計資料知，3個年齡組的雌性動物的生育率分別為0,4，3，存活率分別為0.5，0.25，0，初始時刻3個年齡組的雌性動物的數(shù)目分別為500，1000，500.試利用萊斯利種群模型對該動物種群中雌性動物的年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進行分析.解：L=15,n=3,a=1O,a-2-4,a=3,3b=1O.5,b=O.25.2'5OO''o43、X（o）=1OOOL=O.5OOqoo丿<oO.25O丿由(2.6)得'O43?'5OO'^55OO,X⑴二=LX（o）=O.5OO1OOO——25O<oO.25O丿/-25。丿ro43?r55OO,r175O?X⑵=LX⑴=O.5OO25O=275OIOO.25O/125。/02.5丿X（k）=LX（k-i）=???=LkX（o）卜面求L.由矩陣L的特征多項式I人E-LI，-0.5-4-3人0-0.25人，（X-3）（X2+3婦1）2 2 4得L的特征值為X,3，X,-3+，5，人,—3-5TOC\o"1-5"\h\z122 4 3 4由矩陣L可相似對角化.3 3對X,-，解方程組（3E-L）X，0得特征向量/ 、1131對X2特征向量—3+'&,解方程組(—3€站E-L)X對X2特征向量44'36-16J5、-14+6頊5]3頊?對X,-3f5,3 4特征向量解方程組（mE-L）X,0得'-36-1履

14+6J5-3-<B…_、36-16/5-36-16/5P，(a,a,a)P，(a,a,a)，1 2 33-J5 -3-<5令矩陣則P可逆，且L=PP-1X3丿 于是P-1LP=從而X(k)=LkX(o)=[P…X ,k…Xk ,11XP-1X(0)=PXk22XXkP-1]kX(0)2P-1X(O)33kP1X(二)k(X丿1X (十)k1P-1X(O)X(=)k(X丿1丿36-16七5—14+6云X(T)k1-36-16丁514+6*59_19 -15-8?板5380 15-8扣5

3802719 -5-9盤760一-5+9(5760…500，1000?500丿819 255+117負380-255-117380…500，1000?500丿aa1818aa18181I27500 ,19—XkPX(-2)k5875+2500/51191X(二)k(X)? 1丿6125-2900/5? 19丿1… 27500 、19 _X(k)=PX(-2)k(X)5875+2500519 _11X(=)k(X)? 1丿