高橋中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期期末一、填空題（每題3分，共36分）1.已知集合,,則______；【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集的定義求出答案即可.詳解】解:由題知,,所以.故答案為:2.不等式的解集為______；【答案】【解析】【分析】將分式不等式化為一元二次不等式，即可求得答案.【詳解】不等式即，解得或，故等式的解集為，故答案為：3.在單位圓中，扇形的弧所對的圓心角為，則扇形的弧長為______；【答案】##【解析】【分析】將角度化為弧度，根據(jù)扇形的弧長公式，即可求得答案.【詳解】在單位圓中，扇形的弧所對的圓心角為,即弧度，故扇形的弧長為，故答案為：4.若角的終邊在直線上，則______；【答案】或【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式求解作答.【詳解】當(dāng)角的終邊在射線上時，在該射線上取點，O為坐標原點，則，于是得，當(dāng)角的終邊在射線上時，在該射線上取點，則，于是得.故答案為：或5.函數(shù)的定義域為______；【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零且偶次根式的被開方數(shù)非負得到不等式組，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.6.用“二分法”求方程在區(qū)間內(nèi)實根，首先取區(qū)間中點進行判斷，那么下一個有根區(qū)間是______；【答案】【解析】【分析】根據(jù)二分法和零點存在性定理分析求解.【詳解】令，則，∵，故下一個有根區(qū)間是.故答案為：.7.點在函數(shù)的反函數(shù)的圖象上,則______;【答案】2【解析】【分析】點在函數(shù)的反函數(shù)的圖象上,即在函數(shù)圖象上,代入即可得的值.【詳解】解:由題知,點在函數(shù)的反函數(shù)的圖象上,故在函數(shù)圖象上,代入可得,解得:.故答案為:28.的最小值是______；【答案】【解析】【分析】將化為，根據(jù)均值不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故答案為：9.已知函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為______；【答案】【解析】【分析】由題意，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的范圍．【詳解】函數(shù)在上嚴格單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，解得，故答案為：．10.已知，，則的值為______；【答案】##【解析】【分析】由求得，從而判斷出的范圍，進而可求出的值，得到的值.【詳解】將平方得，所以，因為，所以，所以，而所以所以故答案為：11.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是______【答案】【解析】【分析】畫出的圖象，由此列方程求得的關(guān)系式，利用基本不等式求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，由于，所以，由，解得，畫出的圖象如下圖所示，不妨設(shè)，則由，得，，所以的取值范圍是.故答案為：12.設(shè)實數(shù)、滿足方程有實數(shù)根，則的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】分析可得，設(shè)，可得，令，其中，則方程有絕對值大于或等于的實數(shù)解，利用二次函數(shù)的零點分布可得出關(guān)于、的不等式（組），結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】顯然不滿足方程，所以，，在方程兩邊同時除以可得，令，則，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，當(dāng)時，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，則方程可化為，設(shè)，其中，所以方程有絕對值大于或等于的實數(shù)解，所以，可得，①由可得，由，可得，由絕對值三角不等式可得，②由①②可知，只需討論的情形：當(dāng)時，令，易驗證①②均滿足，此時；當(dāng)時，條件②變?yōu)椋喛傻?，滿足條件①，此時，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，取最小值.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于通過在等式兩邊同時除以可得，通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在上有零點來處理.二、選擇題（每題3分，共12分）13.設(shè)a，b，c∈R，其中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】【分析】取特值可否定BCD,利用不等式基本性質(zhì)可知A正確.【詳解】當(dāng)時，BD都不正確，當(dāng)時C錯誤，由不等式的基本性質(zhì)得A正確；故選：A14.已知，，則由，表示為A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，，所以，則，應(yīng)選A.15.以下命題正確的是（）A.函數(shù)的圖像與垂直于x軸的直線有且只有一個交點B.是為奇函數(shù)的充要條件C.若函數(shù)在上有零點，則D恒成立，則或【答案】D【解析】【分析】舉例并結(jié)合函數(shù)的意義判斷A；舉例說明判斷B；指出零點為a或b時，不等式不成立判斷C，利用絕對值的三角不等式求出最小值求解判斷D作答.【詳解】對于A，函數(shù)的圖像與垂直于x軸的直線最多有一個交點，如函數(shù)，其圖象與直線沒有公共點，A不正確；對于B，函數(shù)滿足，而是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，而0不在該函數(shù)定義域內(nèi)，因此是為奇函數(shù)的不充分不必要條件，B不正確；對于C，函數(shù)在上有零點，如，、為零點，，C不正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，依題意，，解得或，D正確.故選：D16.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）的最小值為0，關(guān)于有如下4個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中真命題的個數(shù)為（）個A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先得到當(dāng)時，，從而只需當(dāng)時，的值域為的子集，即，考慮，由的單調(diào)遞減得到，①正確，②錯誤；考慮，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，分與兩種情況，結(jié)合單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】因為的最小值為0，當(dāng)時，，即，故當(dāng)時，的值域為的子集，即，當(dāng)時，為上的減函數(shù)，又，則，即，①正確，②錯誤；當(dāng)時，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于③，當(dāng)時，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合①中所求可知：，故③正確；對于④，時，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故，故，④正確.綜上：真命題的個數(shù)為3.故選：C三、解答題（8＋8＋10＋12＋14）17.已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）求不等式的解集.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）確定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，由函數(shù)奇偶性的定義即可判斷以及證明；（2）利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，化簡并轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求得答案.【小問1詳解】函數(shù)為奇函數(shù)；證明：由函數(shù)可得，解得，所以函數(shù)定義域為，又，故為奇函數(shù).【小問2詳解】，即,,所以，即，即，∴，故不等式的解集為.18.已知的解集為．（1）求實數(shù)的值；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意知：，且，1是方程的兩根，利用韋達定理得出a的值；（2）不等式恒成立，即恒成立，則，解不等式即可．【小問1詳解】因為的解集為，所以而且的兩根為和1，所以，所以．【小問2詳解】因為恒成立，即恒成立，所以，解得，所以實數(shù)b的取值范圍為．即.19.化簡下列各式：（1）；（2）.【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式化簡計算作答.（2）根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式、同角公式化簡計算作答.【小問1詳解】.【小問2詳解】.20.2023年某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，經(jīng)過市場分析，全年投入固定成本2500萬元，每生產(chǎn)百輛新能源汽車需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每一百輛車的售價為500萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（注：利潤＝銷售額－成本）（1）求2023年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式.（2）當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤＝銷售額－成本，結(jié)合分類討論思想進行求解即可；（2）根據(jù)配方法、基本不等式進行求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以；【小問2詳解】當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故，所以當(dāng)2023年的年產(chǎn)量為100百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為1800萬元.21.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（3）用表示，中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）答案見解析.【解析】【分析】（1）由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的定義域為，利用判別式，列出不等式，即可求解；（2）由函數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)，先分，和三種情況討論，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，因為該函數(shù)的定義域為，則對任意恒成立，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍.（2）由函數(shù)，若在上單調(diào)遞減，則問題等價于在上恒成立，且在上單調(diào)遞增，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．（3）當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以在上沒有零點；當(dāng)時，，，若即時，，此時是函數(shù)的一個零點；若即時，，此時不是函數(shù)的一個零點；當(dāng)時，因為，則函數(shù)的零點個數(shù)等價于函數(shù)的零點個數(shù)，①當(dāng)，即時，，則，函數(shù)在上沒有零點；②當(dāng)即時，函數(shù)有且只有一個零點，若，由可得，則函數(shù)在上沒有零點；若，由可得，則函數(shù)在上有1個零點；③當(dāng)，即或時，函數(shù)有兩個零點，不妨設(shè)為且，當(dāng)時，，，所以，則在上沒有零點；當(dāng)時，，，所以，當(dāng)即時，，所以，則，，所以此時在上有且只有一個零點；當(dāng)，即時，對稱軸，且，所以，在