關(guān)于動(dòng)態(tài)幾何問題第一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日

圖形中的點(diǎn)、線的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的一個(gè)新問題——?jiǎng)討B(tài)幾何。它通常分為三種類型：動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、動(dòng)形問題。這類試題以運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)、線段、變化的角、圖形的面積為基本的條件，給出一個(gè)或多個(gè)變量，要求確定變量與其它量之間的關(guān)系，或變量在一定條件下為定量時(shí)，進(jìn)行相關(guān)的幾何計(jì)算、證明或判斷。第二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

，

在解這類題時(shí)，要充分發(fā)揮空間想象的能力，往往不要被“動(dòng)”所迷惑，在運(yùn)動(dòng)中尋求一般與特殊位置關(guān)系；在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，通過探索、歸納、猜想，正確分析變量與其它量之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立變量與其它量之間的數(shù)量關(guān)系。再充分利用直觀圖形，并建立方程、函數(shù)模型或不等式模型，結(jié)合分類討論等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解答。第三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

，

1、動(dòng)點(diǎn)與最值問題相結(jié)合2、動(dòng)點(diǎn)與列函數(shù)關(guān)系式相結(jié)合3、動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)幾何題相結(jié)合4、動(dòng)點(diǎn)與分類討論相結(jié)合一、動(dòng)點(diǎn)型第四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日一、動(dòng)點(diǎn)與最值問題相結(jié)合ADCBEADBCEF第五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日類似的試題有：AMNDPBCN’第六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日A.2C.4B.D.ANMBPC第七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日A.6B.8C.4D.10BMNADCE第八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A．求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)．（4）（北京06中考題）已知拋物線與y軸交于點(diǎn)，與軸分別交于，兩點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；第九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日AＢＣPQ例2：（07河北中考題)已知：如圖：△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，CB=4cm，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q

分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)按順時(shí)針方向沿△ABC的邊運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即停止，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度分別為1cm/s、

2cm/s。設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)二、動(dòng)點(diǎn)與列函數(shù)關(guān)系式相結(jié)合第十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日(2).當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，陰影部分的形狀隨之變化，設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（cm2），求出S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；

（3）點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由。(1).當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，以P、

C、

Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2cm2；第十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日解：（1）解得(1)當(dāng)時(shí)間t為何值時(shí)，以P、

C、

Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積（圖中的陰影部分）等于2cm2；AＢＣPQ第十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日解：（2）(2).當(dāng)點(diǎn)P、

Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，陰影部分的形狀隨之變化，設(shè)PQ與△ABC圍成陰影部分面積為S（cm2），求出S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；②當(dāng)2＜t≤3時(shí)①當(dāng)0＜t≤2時(shí)③當(dāng)3＜t≤4.5時(shí)第十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日解：（3）有AＢＣPQ②在2＜t≤3時(shí)①在0＜t≤2時(shí)③在3＜t≤4.5時(shí)

（3）點(diǎn)P、

Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，陰影部分面積S有最大值嗎？若有，請(qǐng)求出最大值；若沒有，請(qǐng)說明理由。所以S有最大值是第十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日技巧點(diǎn)撥:由幾何條件確定函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵在于尋找兩個(gè)變量的等量關(guān)系，同時(shí)，確定自變量取值范圍也是完整解這類題不可忽視的步驟，求自變量的取值范圍一般采用結(jié)合圖形。直接確定其思維過程為：①x最大能“逼近”哪個(gè)點(diǎn)（數(shù)）？最小能“逼近”哪個(gè)點(diǎn)（數(shù)）？

能否等于這個(gè)數(shù)？②在變化過程中有無特殊點(diǎn)（數(shù)）③綜合以上兩點(diǎn)下結(jié)論，另外，此題還結(jié)合了動(dòng)態(tài)問題和分類問題，這是代數(shù)幾何綜合題，也是今后發(fā)展的命題趨勢(shì)。第十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日

(1)用含t的代數(shù)式分別表示CE和QE的長(zhǎng)；(2)求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)QE恰好平分△APQ的面積時(shí)，QE的長(zhǎng)是多少厘米？類似的試題有：(06吉林省中考題)A、B是直線l上的兩點(diǎn)，AB=4厘米。過l外一點(diǎn)C作CD∥l，射線BC與l所成的銳角∠1=60°，線段BC=2厘米。動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(秒)，當(dāng)t＞2時(shí)，PA交CD于E。第十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)兩動(dòng)點(diǎn)秒時(shí)．過點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（

，

）（用含的代數(shù)式表示）．（2）記的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)

秒時(shí)，有最大值，最大值是

．（4）若點(diǎn)在軸上，當(dāng)有最大值且為等腰三角形時(shí)，求直線的解析式．OMxyCNP三、動(dòng)點(diǎn)與坐標(biāo)幾何題相結(jié)合ABEF第十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

解：（1）

（2）在中，，邊上的高為．即．

OMxyCNP（3）．

EF第十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

．

．

解：由（3）知，當(dāng)有最大值時(shí)，，此時(shí)（4）若點(diǎn)Q在y軸上，當(dāng)s有最大值且△QAN為等腰三角形時(shí)，求直線AQ的解析式．的中點(diǎn)處，如下圖,設(shè)則，.為等腰三角形，①若，則，此時(shí)方程無解．②若，即，解得．③若，即，解得．，．在第十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

．

．

當(dāng)為時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將代入得．直線的解析式為

當(dāng)為時(shí)，，均在軸上，直線的解析式為（或直線為軸）．在同一直線上，不存在，舍去．故直線的解析式為，或．當(dāng)為時(shí)，第二十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1.如圖3，A是硬幣圓周上一點(diǎn)，硬幣與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O﹙A與O點(diǎn)重合﹚，假設(shè)硬幣的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，若將硬幣沿?cái)?shù)軸正方向滾動(dòng)一周，點(diǎn)A恰好與數(shù)軸上點(diǎn)重合，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是

．類似的試題有：第二十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日例4.（06衡陽市中考題）已知，如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的對(duì)角線所在直線解析式為：

（1）在x軸上存在這樣的點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形，求出所有符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始在線段CO上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O開始在線段上OA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)P,Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．

①是否存在這樣的時(shí)刻t，使△OPQ與△BCP相似，并說明理由；

②設(shè)△BPQ的面積為s，求s與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時(shí)，s有最小值．yCAxBO四、動(dòng)點(diǎn)與分類討論相結(jié)合M1M2M3M5M4第二十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日（1）易知

①為底邊，則

②

為腰且

時(shí)，由題意可知③

為腰且

時(shí)，由題意可知

，由對(duì)稱性知

yCAxBO第二十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日（2）①假設(shè)存在這樣的時(shí)刻，使與相似．由或得或．即或．解得或．又，當(dāng)或時(shí)，與相似．

yCAxBOPQ（2）、①是否存在這樣的時(shí)刻t，使△OPQ與△BCP相似，并說明理由；第二十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日②當(dāng)時(shí)，面積有最小值，．

最小值是yCAxBOPQ（2）、

②設(shè)△BPQ的面積為s，求s與t間的函數(shù)關(guān)系式，并求出t為何值時(shí)，s有最小值．第二十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日1、如圖，已知正三角形ABC的高為9厘米，⊙O的半徑為r厘米，當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿線路AB—BC—CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而停止.（1）當(dāng)r=9厘米時(shí)，⊙O在移動(dòng)過程中與△ABC三邊有幾個(gè)切點(diǎn)？當(dāng)r=9厘米時(shí)，⊙O在移動(dòng)過程中與△ABC三邊有三個(gè)切點(diǎn).ABC類似的題有：第二十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日（2）當(dāng)r=2厘米時(shí)，⊙O在移動(dòng)過程中與△ABC三邊有幾個(gè)切點(diǎn)？當(dāng)r=2厘米時(shí)，⊙O在移動(dòng)過程中與△ABC三邊有六個(gè)切點(diǎn).ABC當(dāng)r>9厘米時(shí),沒有切點(diǎn);當(dāng)r=9厘米時(shí),有3個(gè)切點(diǎn);當(dāng)0<r<9厘米時(shí),有6個(gè)切點(diǎn).（3）猜想不同情況下,r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù);第二十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日2.如圖，A是半徑為12cm的⊙O上的定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P回到A地立即停止運(yùn)動(dòng)．（1）如果，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（2）如果點(diǎn)B是OA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=OA，那么當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，判斷直線BP與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．ＡＰＢＯ第二十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日解（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為⊙O周長(zhǎng)的或．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為周長(zhǎng)的時(shí)，ＡＰＢＯ⊙O⊙O解得當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為周長(zhǎng)的時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為或．

第二十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日⊙O連接OP、PA

．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2s時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為．（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為時(shí)，直線與相切．

理由如下：

︵，第三十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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這類試題的分類討論有固定的模式，它要求學(xué)生通過觀察、比較、分析圖形的變化，揭示圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，要能夠根據(jù)條件作出或畫出圖形，從而進(jìn)行分類。第三十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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1、線平移型2、線旋轉(zhuǎn)型二、動(dòng)線型第三十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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1.線平移型NMOCA

yxB（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）設(shè)OMN的面積為S，直線l運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤4），試求S與t的函數(shù)表達(dá)式?！鱂L第三十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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OBMyxANC

第三十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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類似的試題有：（江蘇省07中考題）如圖，平面上一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，以為對(duì)角線的矩形的邊長(zhǎng)；過點(diǎn)且垂直于射線的直線與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且與點(diǎn)沿相同的方向、以相同的速度運(yùn)動(dòng)．（1）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，試判斷與軸的位置關(guān)系，并說明理由．（2）設(shè)點(diǎn)與直線都運(yùn)動(dòng)了秒，求此時(shí)的矩形與直線在運(yùn)動(dòng)過程中所掃過的區(qū)域的重疊部分的面積（用含的代數(shù)式表示）xyOlBPMA第三十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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2.線旋轉(zhuǎn)型（黑龍江佳木斯市07中考題）已知四邊形ABCD中，，，，，，繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E,F．（1）當(dāng)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），求證：（2）當(dāng)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．CCDDEEFFMM圖2圖3CDEFM圖1NNE’DE’N第三十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

，

三、動(dòng)圖型1、圖形平移型2、圖形旋轉(zhuǎn)型3、圖形翻折型第三十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

，1.圖形平移型ABCEFG圖2DABCDEFG圖3ABCFG圖1（河北07中考題）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B．（1）在圖1中請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量BF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；第三十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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（2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長(zhǎng)度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；（3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由）ABCEFGHDABCDEFG圖3圖2第三十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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類似的試題有：1.（梅州市06中考題）如圖，直線的解析式為與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B．（1）求原點(diǎn)O到直線的距離；（2）有一個(gè)半徑為1的⊙C從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．當(dāng)⊙C與直線相切時(shí)，求t的值．BOCAlxy第四十頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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2.（江西南昌06中考題）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)和點(diǎn)B(3,2)．（1）求拋物線的解析式；（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)的圓，問當(dāng)⊙P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在⊙P與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，請(qǐng)求出圓心P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若⊙Q的半徑為r，點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，求半徑r的值．第四十一頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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2.圖形旋轉(zhuǎn)型（湖北武漢07中考題）填空或解答：點(diǎn)B,C,E在同一直線上，點(diǎn)A,D在直線CE的同側(cè)，AB=AC，EC=ED，，直線AE,BD交于點(diǎn)F．（1）如圖1，若，則_______；如圖2，若，則_______；DECBFDECBF圖1圖2DCBAF圖3DECBAF圖4DECBAF圖5∠AAE第四十二頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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（2）如圖3，若，則_______（用含的式子表示）；（3）將圖3中的繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)A,B重合），得圖4或圖5．在圖4中，與的數(shù)量關(guān)系是_______；在圖5中，與的數(shù)量關(guān)系是_______．請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明．EDECBAFDECBAF圖1圖2DCBAF圖3DECBAF圖4DECBAF圖5F第四十三頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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評(píng)析：本題利用圖形不變性，探索了等腰三角形在旋轉(zhuǎn)過程中的相關(guān)角度的關(guān)系。問題源于課本，高于課本，條件由等邊三角形弱化為等腰三角形，靈活考查了同學(xué)們相似三角形的判定與性質(zhì)的靈活應(yīng)用，而且問題設(shè)置成從簡(jiǎn)單到復(fù)雜漸次展開的形式，使同學(xué)們?cè)诮鉀Q問題的過程中逐漸認(rèn)識(shí)了問題的本質(zhì)。解：（1）．（2）．（3）圖4中：圖5中：．第四十四頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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（太原市07中考題）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，

ABCO的頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2)，點(diǎn)C在第一象限．（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）將

ABCO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使OC落在Y軸的正半軸上，如圖（2），得

DEFG（點(diǎn)D與點(diǎn)O重合）．FG與邊AB，x軸分別交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P．設(shè)此時(shí)旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)平行四邊形重疊部分的面積為，求的值；（3）若將（2）中得到的

DEFG沿x軸正方向平移，在移動(dòng)的過程中，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,0)，

DEFG與

ABCO重疊部分的面積為s，寫出s與t（0﹤t≤2）的函數(shù)關(guān)系式．（直接寫出結(jié)果）xyAC（D）OGPAQFEBxyBCOA圖（1）圖（2）第四十五頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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三．圖形翻折型 （山東煙臺(tái)07中考題）生活中，有人喜歡把傳送的便條折成如下圖的形狀，折疊過程是這樣的（陰影部分表示紙條的反面）：②①④③BMAAAAMMMBBBP如果由信紙折成的長(zhǎng)方形紙條（圖①）長(zhǎng)為26cm，寬為xcm，分別回答下列問題：（1）為了保證能折成圖④的形狀（即紙條兩端均超出點(diǎn)p），試求x的取值范圍．（2）如果不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點(diǎn)p的長(zhǎng)度相等，即最終圖形是軸對(duì)稱圖形，試求在開始折疊時(shí)起點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離（用x表示）．第四十六頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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．解：（1）由折紙過程知，．（2）圖④為對(duì)稱圖形，．即點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是cm．評(píng)析：本題以同學(xué)們信手拈來的紙片為用具，通過折疊、旋轉(zhuǎn)來考查對(duì)稱變化的思想，真正體現(xiàn)了重視實(shí)踐的理念。折疊這類問題實(shí)際上是對(duì)稱問題，解此類題目應(yīng)抓住翻折前后的軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)及一些隱含的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分類討論來解決。這類問題主要注重培養(yǎng)同學(xué)們用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待問題，有利于同學(xué)們空間想象能力和動(dòng)手操作能力的鍛煉。第四十七頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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．基于上述分析，可以發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)幾何問題知識(shí)覆蓋面廣、形式多樣，其中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想豐富，同學(xué)們?cè)诳荚囍休^好解決此類問題是有一定難度的。要想有效地提高數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的質(zhì)量和效益，使同學(xué)們能較好的應(yīng)對(duì)動(dòng)態(tài)幾何型問題，必須做到：1.重視雙基和數(shù)學(xué)思想方法中考數(shù)學(xué)試題很多都來源于課本或同學(xué)們的生活實(shí)踐，從基本要求出發(fā)適當(dāng)加以拓展，因此，在具體學(xué)習(xí)中要探索和挖掘豐富、自然、詳盡的合情推理過程。第四十八頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日．

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．2.突出探究性活動(dòng)，重視適度論證在學(xué)習(xí)時(shí)，要盡可能的通過豐富的實(shí)例，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，通過自主探索，認(rèn)識(shí)和掌握?qǐng)D形性質(zhì)，積累經(jīng)驗(yàn)，操作數(shù)學(xué)的過程，同時(shí)不要放松推理和論證的要求。3.把握審題關(guān)、計(jì)算的準(zhǔn)確關(guān)和表達(dá)的規(guī)范關(guān)

動(dòng)態(tài)幾何壓軸題往往文字閱讀量較大，因此在平時(shí)訓(xùn)練中要求同學(xué)們仔細(xì)讀題、審題，力求從語法結(jié)構(gòu)、邏輯關(guān)系、數(shù)學(xué)含義等方面真正看懂題目，弄清條件和結(jié)論是什么？它們分別與哪些知識(shí)有聯(lián)系？仔細(xì)思考，找到解題途徑。同時(shí)注意推理要嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯性強(qiáng)，表達(dá)書寫整潔規(guī)范第四十九頁，共五十三頁，編輯于2023年，星期日23．如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合)，連結(jié)BP.將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P,連結(jié)AA1，射線AA1分別交射線PB、射線B1B于點(diǎn)E、F.

（1）如圖1，當(dāng)0°＜α＜60°時(shí)，在α角變化過程中，△BEF與△AEP始終存在▲關(guān)系（填“相似”或“全等”），并說明理由；（2）如圖2，設(shè)∠ABP=β.當(dāng)6