北京四中高數(shù)高綜復(fù)專二一一知網(wǎng)

橢與曲二高考1.橢圓與曲線的定、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.有關(guān)圓曲線的軌（或軌跡方程）的探求；3.直線與錐曲線的題：對(duì)稱問題；最值問題；范圍問題等；4.圓錐曲的探索性題或應(yīng)用問題；5.以圓錐線為主要容的綜合問題；6.數(shù)形結(jié)、等價(jià)轉(zhuǎn)、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)學(xué)科能力一般思維力等基本能力。三知要(一橢圓

Ⅰ定義推論1定義的認(rèn)知設(shè)M為橢圓上任一點(diǎn)，

分別為橢圓焦點(diǎn)，

分別為橢圓軸端點(diǎn)，有（）明朗的量關(guān)系：（解決焦點(diǎn)半徑題的首選式）（）隱蔽的等關(guān)系：，（尋求某些本量取值圍時(shí)建立等式的基本依據(jù)）2定義的論根據(jù)橢圓第定義

為橢圓

上任意一點(diǎn)

分別為橢圓左右焦點(diǎn)，有：（為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離）1（為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離）22由此導(dǎo)出橢的焦點(diǎn)半公式：Ⅱ標(biāo)準(zhǔn)程與幾何性質(zhì)1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸的橢圓標(biāo)方程①中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在上的橢標(biāo)準(zhǔn)方程②（）標(biāo)準(zhǔn)方①、②中的a、b、c具有相的意義相同的聯(lián)：（）標(biāo)準(zhǔn)方①、②統(tǒng)一形式：2橢圓

的幾何性質(zhì)

（）范圍：（界曲線）（）對(duì)稱性關(guān)于x、y軸及原點(diǎn)對(duì)稱兩軸一中心，橢圓的共性）（）頂點(diǎn)與軸長(zhǎng)頂點(diǎn)予a、b名稱與幾意義）

，長(zhǎng)軸2a，短軸2b由此賦（）離心率（）準(zhǔn)線：左焦右焦點(diǎn)

刻畫橢圓的平程度對(duì)應(yīng)的左準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的右準(zhǔn)橢圓共性：準(zhǔn)線垂直長(zhǎng)軸；兩線之間的距離為；中心到準(zhǔn)線距離為

；焦點(diǎn)到相準(zhǔn)線的距為

.Ⅲ挖掘引申1具特聯(lián)系的橢圓方程（）共焦距橢圓的方程且（）同離心的橢圓的方程且2弦長(zhǎng)式：設(shè)斜率為k的線l與圓交于不同兩點(diǎn)，

ii則；或。（二）雙曲Ⅰ、定義與論1定義的知設(shè)M為雙曲線上意一點(diǎn)，點(diǎn)，則有：

分別為雙曲兩焦點(diǎn)，

分別為雙曲實(shí)軸端（）明朗的量關(guān)系：（）隱蔽的等關(guān)系：

（解決雙焦半徑問題首選公式，（尋求某些本量的取范圍時(shí)建不等式的依據(jù)）2定義的論設(shè)為雙曲線右焦點(diǎn)，則，其中，推論：焦點(diǎn)徑公式當(dāng)點(diǎn)M在曲線右支時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在曲線左支時(shí)，

為焦點(diǎn)

上任意上點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線l的距離；。

分別為雙曲左、Ⅱ、標(biāo)準(zhǔn)方與幾何性3雙曲的標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸的雙曲線準(zhǔn)方程為①中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在上的雙線標(biāo)準(zhǔn)方程為（）標(biāo)準(zhǔn)方①、②中的a、b、c具有相的意義相同的聯(lián)：

②

（）標(biāo)準(zhǔn)方①、②的統(tǒng)一形式：或：（）橢圓與曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式：4雙曲

的幾何性質(zhì)（）范圍：（）對(duì)稱性關(guān)于x、y軸及原點(diǎn)對(duì)稱兩軸一中心）（）頂點(diǎn)與長(zhǎng)：頂點(diǎn)（由此賦予a,b名稱與幾何義）（）離心率（）準(zhǔn)線：左焦

對(duì)應(yīng)的左準(zhǔn)；右點(diǎn)

對(duì)應(yīng)的右準(zhǔn)雙曲線共性準(zhǔn)線垂直實(shí)軸；兩準(zhǔn)線距離為；中心到準(zhǔn)線距離為；焦到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為（）漸近線雙曲線

的漸近線方：

22Ⅲ、挖掘與伸1具有殊聯(lián)系的雙線的方程對(duì)于雙曲線（※（）當(dāng)μ為值時(shí)）為焦點(diǎn)的雙曲線（系）方：c=λ+μ（

為定值時(shí)離心率亦為共近線的雙曲系程：；（）以直線

為漸近線的曲線（系方程為：特別與雙曲線（左邊相同區(qū)別僅在右邊的常）2弦長(zhǎng)式設(shè)斜率為k的線l與曲線交于不同兩點(diǎn)則經(jīng)例1、

共漸近線的曲線的方為：（橢

的一個(gè)焦點(diǎn)等于。（）已知橢

的焦點(diǎn)為F、，P其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)1

為鈍角時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為。分析：

（1從此橢的標(biāo)準(zhǔn)方程切入。由題設(shè)知已得：這里由此解得（）這里b=2,∴以線段為直徑圓的方程1設(shè)又由∴

，則由點(diǎn)在圓上得：為鈍角得：②

①∴由①②聯(lián)立，解得：∴所求P橫坐標(biāo)的值范圍為點(diǎn)評(píng)：注意點(diǎn)P對(duì)

的大小的影可用點(diǎn)與

相對(duì)位置關(guān)來反映，故選擇一解法。然，本題可由較。

推出

的范圍，請(qǐng)學(xué)們嘗試比2已知

為橢圓的兩焦點(diǎn)，過

的直線交橢于P、兩，

且，求橢圓的心率。分析：不防橢圓方程，

為等腰直角角形，注到這一三角含有點(diǎn)P處的兩條焦點(diǎn)徑，故想利用橢圓一定義構(gòu)建有關(guān)方程。

解：設(shè)橢圓程為設(shè)，則又由橢圓第定義得∴的周長(zhǎng)為∴即注意到為，∴

為等腰

得：

①∴即

②②因此，①代②′得由此解得∴點(diǎn)評(píng)：這里條件運(yùn)用頗為分：兩次運(yùn)橢圓定義第一次用導(dǎo)出①，第二項(xiàng)用于導(dǎo)出②；兩次用

條件：第一利用

為等腰

表示出，第次利用

為

導(dǎo)出②充分利用設(shè)條件，是解題成的保障之一。3、知雙曲線

的左、右兩焦點(diǎn)為

，P為雙曲線上點(diǎn)，又，

成等比數(shù)列

，求雙曲線程。分析：這里求b的值。注意的方程或不式。由題得

，為了求，首先需從題設(shè)條件手尋找關(guān)b，為便于將設(shè)為關(guān)于b的方程，考推導(dǎo)并利

用雙曲線的點(diǎn)半徑公。因此，題便以判定點(diǎn)P置拉開序。解：這里∵，即

（的殊性），∴點(diǎn)P在雙曲線右上設(shè)點(diǎn)，則由雙線第二定以及點(diǎn)P在雙曲右支上①又由題設(shè)得∴①代②得

②③再注意到由

得∴∴

，即

④于是③、④

⑤而

，所以由⑤因此，所求曲線方程：點(diǎn)評(píng)：這里已知條件

的兩次運(yùn)用第一“粗用利用4=2a的特殊判定點(diǎn)P在雙曲線右上；第二細(xì)用，用

（將4作為一正數(shù)）導(dǎo)出點(diǎn)橫坐標(biāo)在的范圍：。粗細(xì)結(jié)合將已知條運(yùn)用得酣暢淋漓。4、橢圓

的焦點(diǎn)為為橢上一點(diǎn)，

的最大

值為。（）求橢圓離心率；（）設(shè)直線l與橢交于M、兩點(diǎn)，且直l與圓心在點(diǎn)，半徑等于的圓相切，知線段長(zhǎng)度最大值為4，求圓方程和直l的方。分析：

中

的最大值為

的最小值為，著特殊與一般相互存的辯證系，想到在入。解：

中運(yùn)用余弦理推導(dǎo)

的最小值切（）設(shè)

，

，

，則在

中由余弦定得即

①∴

的最小值為又由題設(shè)知∴

的最大值，

的最小值為∴

即

∴（）由已知圓方程為由題設(shè)知直l不垂直于x軸設(shè)直線l的方程為設(shè)則由直線l與圓將③代入②：

相切得：

②③④∴④代⑤得∴直線l與圓相交于同兩點(diǎn)又由韋達(dá)定得：∴

⑤，⑥（當(dāng)且當(dāng)

，即

時(shí)等號(hào)成立∴

的最大值為2b當(dāng)

時(shí)取得）∴由題得（此時(shí)）⑦

∴a=2b=4

⑧進(jìn)而由④得，即⑨因此，由⑦⑧、⑨得求橢圓方為

，直線l的程為

或點(diǎn)評(píng)里導(dǎo)出①式為此問題的共基礎(chǔ)設(shè)為橢

上任意一點(diǎn)，，則

最小值為據(jù)此若

的最大值為，（即若若

的最大值為，（即的最大值為，（即5已斜率為1的直線l與離心率兩點(diǎn)，又直l與y軸交于，且

的雙曲線，

交于PQ，求直線和曲線方程分析主要已知件借助向表出故主問題是認(rèn)知已知條件進(jìn)而根據(jù)題的具體況進(jìn)行推理或化。解：由

得，∴雙曲方程為設(shè)將②代入①對(duì)于方程③

①，直線l的方程為②③恒成立

由韋達(dá)定理

④⑤∵∴即由此得又由題設(shè)得，故得⑥∴由④⑥聯(lián)立解得將⑦代入⑤

⑦⑧再注意到

得⑨∴將⑦⑧代入⑨得解得，∴因此，由①②得所求曲線方程

，

⑩所求直線方為點(diǎn)評(píng)：（Ⅰ）關(guān)于類直線與錐曲線相的問題，對(duì)于交點(diǎn)坐標(biāo)的處置適當(dāng)否，成為題繁簡(jiǎn)成敗的關(guān)鍵于是，圍著對(duì)交點(diǎn)標(biāo)的解與設(shè)”的應(yīng)選擇，產(chǎn)生出解題策略解而不設(shè)設(shè)而不解；既設(shè)又”與不設(shè)解。在這里，我們對(duì)交點(diǎn)P的坐標(biāo)用的是既設(shè)又解，

請(qǐng)同學(xué)們注品悟這里解”的分的把握。（Ⅱ）這里題的層次明，已知一轉(zhuǎn)化一代入一結(jié)論：已知式（已知式（

）→轉(zhuǎn)化→代入→結(jié)論⑧）→轉(zhuǎn)化→代→結(jié)論⑩同學(xué)們應(yīng)注學(xué)習(xí)與追這種解題明晰與漂亮。6、知，（）求點(diǎn)（，）的軌跡的軌跡程；（直線試求m的取值圍。

與曲線C于A點(diǎn)，分析：對(duì)于（1已知條件入，利用向的坐標(biāo)表進(jìn)行推理；對(duì)（2類關(guān)直線與圓曲線相交的比較復(fù)雜的問題要刻意基本的弦點(diǎn)或弦長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化。解：（）由已知

，∴由

得，得∴所求P的軌跡C方程為

①（）設(shè)則將l的程代入①

，弦AB的中點(diǎn)

，②由題意得③

且④∴即中點(diǎn)M的坐為注意到點(diǎn)D在弦AB的垂平分線上∴∴于是將⑤代③得此時(shí)再注意由⑤得

（，且，且

））⑤或⑥⑦（關(guān)于k二次數(shù)隱含范圍發(fā)掘）于是由⑥、所求的值范圍點(diǎn)評(píng)：（）認(rèn)知已知條，這時(shí)其向基本的長(zhǎng)或弦中問題轉(zhuǎn)化這是解決線與圓錐曲復(fù)雜問題基本策略一；（）注意在求參數(shù)的取值范圍的過程中，對(duì)所用的二次數(shù)等有關(guān)數(shù)的值域的發(fā)掘與運(yùn)用：在里，

為k的二次函數(shù)又由這里，故。此

可解關(guān)于k的次函數(shù)的值范圍知這一些，會(huì)導(dǎo)出五高真：（）擇

。這是本題出正確結(jié)的最后的障，不認(rèn)的錯(cuò)誤結(jié)果1.橢圓交點(diǎn)為，

的兩個(gè)焦點(diǎn)（）

，過

作垂直于x軸的直與橢圓相，一個(gè)A.B.D.4分析：由已不防設(shè)點(diǎn)在x正方，則

代入橢圓方得，故點(diǎn)，從而，故選。2.點(diǎn)在橢圓（的準(zhǔn)線上點(diǎn)P且方向?yàn)楣饩€經(jīng)過直y=-2反后通過圓的左焦，則這個(gè)橢圓的離心率為（）

的A.B.C.D.分析：運(yùn)用射光線與射光線的理性質(zhì)，刻意運(yùn)用入射光線與反射線的性質(zhì)聯(lián)系。點(diǎn)P，1）關(guān)于線的對(duì)稱為左焦點(diǎn)又方向?yàn)?/p>

的直線的斜為，設(shè)入射光線直線y=-2的交點(diǎn)M則由入光線與反光線傾斜角之間的關(guān)系得

∴∴，解得：c=1.再由點(diǎn)，）在左準(zhǔn)上得，∴，應(yīng)選A。動(dòng)點(diǎn)（x，）在曲線（）上變化，則

的最大值為

）A.

B.C.

D.分析：注意曲線方程次方程，考慮向二次函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化。由

得①設(shè)，則又由①中

②得，且②的稱軸為（）當(dāng)，（）當(dāng)，

時(shí)，；時(shí)，，于是由（知應(yīng)A。

4.設(shè)直線

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)的直線為，若

與橢圓的交點(diǎn)為ABP為橢圓上動(dòng)點(diǎn)則使的點(diǎn)的個(gè)為（）A.1B.2C.3D.4

的面積為分析：

的方程為

，且易知

的下方有兩滿足題設(shè)件的點(diǎn)。以下考察直

上方是否存滿足題設(shè)點(diǎn)設(shè)在

上方且與橢相切于點(diǎn)的直線

的方程為

，將它與橢圓程聯(lián)立，去y得由△：，取∴

與

之間的距離∴，∴直線

上方不存在足題設(shè)的P

②于是由①，知應(yīng)選B點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用形結(jié)合的法，解題程變得簡(jiǎn)捷。5.已知雙線

的右焦點(diǎn)為F右準(zhǔn)線與條漸近線于點(diǎn)A，的面積為（O為點(diǎn)兩漸近線的夾為（）A.30°B.45°C.60°D.分析：首先眼于尋找，b的聯(lián)系由題設(shè)知Fc，0準(zhǔn)線方程為，并且取

點(diǎn)，則

，∴a=b，∴雙曲線為軸雙曲線兩漸近線角為∴應(yīng)選。6.已知雙線直線的距離為（）

的焦點(diǎn)為M在曲線上

軸

到A.B.C.D.分析：立足計(jì)算與推，由已知：∴∴∴

軸，∴，入橢圓方得，即當(dāng)點(diǎn)

到直線

的距離為h則由得，∴應(yīng)選C。點(diǎn)評(píng)：這里段

為半正焦弦故，利用它更方便。7.已知雙線

的焦點(diǎn)為，M在雙曲上且，則

M到x軸的距為（）A.B.C.分析：由已得

，，∴

①∵

，∴∴∴由①，②

②∴設(shè)所求距離h于是由

得，選。已知

是雙曲線

的兩個(gè)焦點(diǎn)以線段

為邊作正，若邊

的中點(diǎn)在雙線上，則曲線的離率為（）A.C.D.分析：從認(rèn)

的特性切入尋找關(guān)于a，c的等式或方程∵

為正三角形∴點(diǎn)M在y上設(shè)邊

的中點(diǎn)為P連結(jié)

，得，∵∴

，，①又由題設(shè)知P雙曲線左上，

∴∴①代②得

②∴（）空

，應(yīng)選D。1.若雙曲的漸近線程為。

，它的一個(gè)點(diǎn)是，雙曲線方程為分析：由題得：∴由

，得，∴∴所求曲線方程為2.設(shè)雙曲兩點(diǎn)，如

為

的右焦點(diǎn)為右準(zhǔn)線l與兩條近線交于，則雙曲線離心率為。分析：設(shè)右線l與x軸于點(diǎn)，則，又由此解得，故得3.過雙曲

的左焦點(diǎn)且直于x軸的直線與曲線交于M兩點(diǎn)，以為直的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離率等于。

分析：設(shè)左點(diǎn)為

，右頂點(diǎn)為A，則由題意得注意到為雙曲線的焦弦，故∴由（）得

（※）由此解得。4.以下四關(guān)于圓錐線的命題中①設(shè)A、B是個(gè)定點(diǎn)，k為零常數(shù)，，則動(dòng)P的軌道雙曲線；②過定圓上的一點(diǎn)A作圓的動(dòng)O為坐標(biāo)點(diǎn)若點(diǎn)P的軌跡為橢圓；

則動(dòng)③方程

的兩根可分作為橢圓雙曲線的心率；④雙曲線

與橢圓

有相同的焦。其中真命題序號(hào)為（出所有真命題的序號(hào)分析：對(duì)各題依次辯，由雙曲定義知，①中點(diǎn)軌是雙曲線一支；對(duì)于②，點(diǎn)P軌跡是橢圓除去點(diǎn)A的曲線；于③，方兩根分別離心率；對(duì)④，可知真命題，上可知應(yīng)填③、④。（）答

和2，可分作為橢圓和雙曲線的1.如圖，A、分別橢圓在橢圓上，位于x軸上方

長(zhǎng)軸的左、端點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓右焦，點(diǎn)P（）求點(diǎn)坐標(biāo)（）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上一點(diǎn)，到直線的距離等，求橢圓上點(diǎn)到點(diǎn)M

的距離d的最小。分析：從設(shè)坐切入，解題用向量垂的充要條件列方程以解出點(diǎn)P坐標(biāo)。解：（）這里

，

，∴設(shè)點(diǎn)

，，

，則

，∴由

得又點(diǎn)在橢圓∴∴將①②聯(lián)立，消去y得或

①②注意到y(tǒng)>0故，從而∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（）由（1）知，線的程為設(shè)，則M到線的距離為，∴由已得又又設(shè)橢圓上

，解得，即到點(diǎn)M的距離d，則

∵

，∴當(dāng)

時(shí)，d取得最小值點(diǎn)評(píng)：將

轉(zhuǎn)化為，從而使題辟出另一途徑。。圖，已橢圓中心原點(diǎn)，焦軸的交點(diǎn)為M，（）求橢圓程；

在x軸，長(zhǎng)軸

的長(zhǎng)為，左準(zhǔn)線l與x（）若直線的坐標(biāo)（m表示）分析：（）以設(shè)橢標(biāo)準(zhǔn)方程切入；（從設(shè)P坐標(biāo)入易知解：（）設(shè)橢圓程為：，則，

，P為

上的動(dòng)點(diǎn)，為銳角或零故從求

最大的點(diǎn)P記為Q求點(diǎn)的最大值突。∴由題意得，解得，，c=1∴所求圓方程為（）設(shè)；

（Ⅰ）當(dāng)（Ⅱ）當(dāng)∴

時(shí)，；時(shí)，為銳角

，∴只需出由題意，直

的最大值的斜率，直線∴

的斜率當(dāng)且僅當(dāng)

即

時(shí)等號(hào)成立∴

的最大值為（當(dāng)且僅

時(shí)取得）注意到正切數(shù)在∴當(dāng)且當(dāng)此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：欲求

內(nèi)為增函數(shù)時(shí)，的最大值，

取得最大值為銳角時(shí)，轉(zhuǎn)化為求

的最大值。因此，欲求這一轉(zhuǎn)化是適當(dāng)。

的最大值，進(jìn)入實(shí)質(zhì)計(jì)算之前要首先考察

的范圍，以定已知圓

的左、右焦分別為，離心率e直線

與x軸、y軸分別交于A、，M是直l與橢圓C一個(gè)公共點(diǎn)，是點(diǎn)

關(guān)于直線l對(duì)稱點(diǎn)設(shè)的值，使得（）證明：；（）確定

。

是等腰三角。分析：（）從得出A、B、的坐標(biāo)切入，用兩向量等的充要條件求解；（）由題設(shè)，l為段

的垂直平分，利用這特性來判

的特殊性或然性，

為鈍角（可圖形受到發(fā)故只有

一種情況。這一等式手并將其演為關(guān)于e的程，則解題便勝利在望了。解：（）證：由設(shè)易得，由

解得∴點(diǎn)M坐標(biāo)為∴，∴由

得故得由此解得（）解：由設(shè)知，直線l為線段

的垂直平分。

∴由∴

知為等腰三角必有

為鈍角即