第2課時充要條件[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解充要條件的意義.2.會判斷、證明充要條件.3.經(jīng)過學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解對充要條件的判斷應(yīng)當(dāng)歸納為判斷命題的真假．知識點一充要條件一般地，假如既有?q，又有?p就記作_?.pqpq此時，我們說，p是q的充分必需條件，簡稱充要條件．明顯，假如p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件．歸納地說，假如p?q，那么p與q互為充要條件．思慮(1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個互相等價的命題．這類說法對嗎？“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的差別在哪里？答案(1)正確．若p是q的充要條件，則p?q，即p等價于q，故此說法正確．(2)①p是q的充要條件說明p是條件，q是結(jié)論．②p的充要條件是q說明q是條件，p是結(jié)論．知識點二常有的四種條件與命題真假的關(guān)系假如原命題為“若p，則q”，抗命題為“若q，則p”，那么p與q的關(guān)系有以下四種情況：原命題抗命題p與q的關(guān)系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分不用要條件q是p的必需不充分條件假真p是q的必需不充分條件q是p的充分不用要條件假假p是q的既不充分也不用要條件q是p的既不充分也不用要條件知識點三從會合的角度判斷充分條件、必需條件和充要條件若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不用要條件若?，則p是q的必需條件，若，則p是q的BABA必需不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若AB且BA，則p既不是q的充分條件，也不是q的必需條件此中p：A＝{x|p(x)建立}，q：B＝{x|q(x)建立}．題型一充要條件的判斷例1(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________條件．答案充要分析解x2－2x＋1＝0得x＝1，因此“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件．判斷以下各題中，p能否為q的充要條件？①在△

ABC中，p：∠A>∠B，q：sin

A>sin

B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，明顯有∠A>∠B?sinA>sinB，因此p是q的充要條件．②若a2＋b2＝0，則a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，則a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，因此p是q的充要條件．③因為p：|x|>3?q：x2>9，因此p是q的充要條件．反省與感悟

判斷

p是

q的充要條件的兩種思路(1)命題角度：判斷

p是

q的充要條件，主假如判斷

p?

q及

q?

p這兩個命題能否建立．若p?

q建立，則

p是

q的充分條件，同時

q是

p的必需條件；若

q?

p建立，則

p是

q的必需條件，同時

q是

p的充分條件；若兩者都建立，則

p與

q互為充要條件．(2)會合角度：對于充分條件、必需條件、

充要條件，當(dāng)不簡單判斷

p?

q及

q?

p的真假時，也能夠從會合角度去判斷，聯(lián)合會合中“小會合?大會合”的關(guān)系來理解，這對解決與邏輯相關(guān)的問題是大有好處的．追蹤訓(xùn)練1(1)a，b中起碼有一個不為零的充要條件是________．a(chǎn)b＝0②ab>0a2＋b2＝0④a2＋b2>0(2)“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是________．答案(1)④(2)a<－1分析(1)2＋b2>0，則、不一樣時為零；，b中起碼有一個不為零，則a2＋b2>0.aaba(2)函數(shù)沒有零點，即方程x2－2x－a＝0無實根，因此有＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，則<0，方程x2－2x－a＝0無實根，即函數(shù)沒有零點．故“函數(shù)y＝x2－2x－a沒有零點”的充要條件是a<－1.題型二充要條件的證明例2求證：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根均大于1的充要條件是k<－2.證明①必需性：若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根，不如設(shè)兩個根為x1，x2，則＝k－221－4k≥0，k≤，x－＋x－，?412x＋x－2>0，21x1－x2－，1

x1x2－x1＋x2＋1>0.k≤，4即－k－－2>0，k2＋k－＋1>0，解得k<－2.②充分性：當(dāng)k<－2時，＝(2k－1)2－42＝1－4>0.kk設(shè)方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根為x1，x2.則(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，x1－1>0，x2－1>0.x1>1，x2>1.綜上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根的充要條件為k<－2.反省與感悟一般地，證明“p建立的充要條件為q”時，在證充分性時應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必需性時則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即p?q.追蹤訓(xùn)練2求證：一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.證明①充分性：假如b＝0，那么f(x)＝kx，因為f(－x)＝k(－x)＝－kx，因此f(－x)＝－f(x)，因此f(x)為奇函數(shù)．②必需性：因為f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)，因此f(－x)＝－f(x)對隨意x均建立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，因此b＝0.綜上，一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.題型三充要條件的應(yīng)用例3已知對于x的方程x2－＋2－3＝0，求使方程有兩個大于1的實根的充要條件．mxmΔ≥0，解設(shè)方程x2－＋－3＝0的兩根分別為x1，x2，由題意知x>1，?1x2>1Δ≥0，x1－＋x2－，?x1－x2－Δ≥0，x1＋x2>2，x1x2－x1＋x2＋1>02m－m－，m>2，2m－3－m＋1>0m≥6.即便方程有兩個大于1的實根的充要條件為m≥6.反省與感悟求充要條件常用以下兩種方法：先由結(jié)論找尋使之建立的必需條件，再考證它也是使結(jié)論建立的充分條件，即保證充分性和必需性都建立．變換結(jié)論為等價命題，使每一步都可逆，直接獲得使命題建立的充要條件．追蹤訓(xùn)練3求不等式ax2＋2x＋1>0恒建立的充要條件．解當(dāng)a＝0時，2x＋1>0不恒建立．當(dāng)a≠0時，ax2＋2x＋1>0恒建立．a(chǎn)>0??a>1.4－4a<0因此不等式ax2＋2x＋1>0恒建立的充要條件是a>1.1．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________條件．答案充分不用要分析當(dāng)a＋b＝0時，得a＝－b，因此a∥b，但若a∥b，不必定有a＋b＝0.2．已知會合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的________．答案充分不用要分析a＝3時，A＝{1,3}，A?B，當(dāng)A?B時，a＝2或3.3．已知α：“a＝±2”；β：“直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切”，則α是β的________條件．答案充要分析a＝±2時，直線x－y＝0與圓x2＋(y±2)2＝2相切；當(dāng)直線x－y＝0與圓x2＋(y－a)2＝2相切時，得|a|＝2，∴a＝±2.∴α是β的充要條件24．已知直線l1：x＋ay＋6＝0和直線l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a________.答案－1分析由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，又a×2a－3×6≠0，因此a≠3，因此a＝－1.115．命題p：x>0，y<0，命題q：x>y，x>y，則p是q的________條件．答案充要分析當(dāng)x>0，y<0時，x11>y且>建立，xy11x－y>0，x>0，時，得x－y當(dāng)x>y且>?xyxy<0，y<0.因此p是q的充要條件．充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價命題法、會合法．2．充要條件的證明與探究(1)充要