第七章空間問題的基本理論例題第五節(jié)軸對稱問題的基本方程第四節(jié)幾何方程及物理方程第三節(jié)主應(yīng)力最大與最小的應(yīng)力第二節(jié)物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)第一節(jié)平衡微分方程第七章空間問題的基本理論在空間問題中，應(yīng)力、形變和位移等基本知函數(shù)共有15個，且均為x,y,z的函數(shù)?？臻g問題的基本方程，邊界條件，以及按位移求解和按應(yīng)力求解的方法，都是與平面問題相似的。因此可以通過簡化得到平面問題的相應(yīng)方程。取出微小的平行六面體，考慮其平衡條件:平衡條件§7-1平衡微分方程由3個力矩方程得到3個切應(yīng)力互等定理，平衡微分方程由x軸向投影的平衡微分方程

,

平衡微分方程得同理可得

在空間問題中，同樣需要解決：由直角坐標(biāo)的應(yīng)力分量……，來求出斜面(法線為

）上的應(yīng)力。斜面應(yīng)力§7-2物體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)斜面的全應(yīng)力p可表示為兩種分量形式：p沿坐標(biāo)向分量:p沿法向和切向分量:斜面應(yīng)力取出如圖的包含斜面的微分四面體，斜面面積為ds,則x面，y面和z面的面積分別為lds,mds,nds。由四面體的平衡條件得出坐標(biāo)向的應(yīng)力分量,1.求同理可得2.求得由從式(7-3)、(7-4)可見,當(dāng)六六個坐標(biāo)面上上的應(yīng)力分量量確定之后，，任一斜面上上的應(yīng)力也就就完全確定了了。3.在上上的應(yīng)力力邊界條件應(yīng)力邊界條件件1.假設(shè)面面(l,m,n)為主面，則此斜面上斜面上沿坐標(biāo)標(biāo)向的應(yīng)力分分量為：斜面應(yīng)力§7-3主主應(yīng)力最大大與最小的應(yīng)應(yīng)力代入,得得到：考慮方向余弦弦關(guān)系式，有有移項(xiàng)縮寫為：：或2.求主應(yīng)力將式(a)改寫為：求主應(yīng)力上式是求解l,m,n的齊次代數(shù)方方程。由于l,m,n不全為0，所所以其系數(shù)行行列式必須為為零，得展開，即得求主應(yīng)力的方方程,求主應(yīng)力(7-6)3.應(yīng)力主向設(shè)主應(yīng)力的的主主向?yàn)?。。代入?a)中的前兩式，，整理后得應(yīng)力主向由上兩式解出出。。然后由由式(b)得出應(yīng)力主向再求出及及。。4.一點(diǎn)至至少存在著三三個互相垂直直的主應(yīng)力（證明見書上上）。5.應(yīng)力不變變量若從式(c)求出三個主應(yīng)應(yīng)力，，則式(c)也可以用根式式方程表示為為，上式和(7-6)是等價(jià)的方程程，故的的各冪次次系數(shù)應(yīng)相等等，從而得出出：應(yīng)力不變量應(yīng)力不變量所以分別稱為為第一一、二、三應(yīng)應(yīng)力不變量。。這些不變量量常用于塑塑性力學(xué)之之中。上式中的各各式，左邊邊是不隨坐坐標(biāo)選擇而而變的；而而右邊各項(xiàng)項(xiàng)雖與坐標(biāo)標(biāo)的選擇有有關(guān)，但其其和也應(yīng)與與坐標(biāo)選擇擇無關(guān)。6.最大與與最小的應(yīng)應(yīng)力正應(yīng)力設(shè)物體內(nèi)某某點(diǎn)的三個個主應(yīng)力已已經(jīng)求得為為，將x、y、z軸分別放在在三個主應(yīng)力的方向向，則。則由一點(diǎn)應(yīng)力狀狀態(tài)一點(diǎn)應(yīng)力狀狀態(tài)消去得得由得：可以得到的的一個極值值為。。同理可得的的另外兩個個極值為。。則最大、最最小正應(yīng)力力為主應(yīng)力力中的最大大、最小值值。（2）切應(yīng)應(yīng)力用同樣的方方法可以得得到切應(yīng)力力的極值為為。最大和最小的切應(yīng)應(yīng)力作用于于通過中間間主應(yīng)力、、并且“平分分最大和最最小正應(yīng)力力的夾角””的平面上。一點(diǎn)應(yīng)力狀狀態(tài)7.關(guān)于一一點(diǎn)應(yīng)力狀狀態(tài)的結(jié)論論：6個坐標(biāo)面上上的應(yīng)力分分量完全確確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)。只要6個坐標(biāo)面上上的應(yīng)力分量確定了了，則通過過此點(diǎn)的任任何面上的的應(yīng)力也完全全確定并可可求出。(2)一點(diǎn)點(diǎn)存在著3個互相垂直直的應(yīng)力主主面及主應(yīng)力。一點(diǎn)應(yīng)力狀狀態(tài)(3)3個主應(yīng)力包包含了此點(diǎn)點(diǎn)的最大和和最小正應(yīng)力。(4)一一點(diǎn)存在3個應(yīng)力不變變量(5)最大和最小小切應(yīng)力為為，作用于通通過中間主應(yīng)力、并并且“平分分最大和最最小正應(yīng)力的夾角””的平面上上。設(shè)空間問題的的幾何方程程，可以從平面面問題推廣廣得出：現(xiàn)僅考慮只只有xy平面內(nèi)的位位移時時的情情況進(jìn)行推推導(dǎo)：幾何方程§7-4幾幾何方程程及物理方方程通過點(diǎn)P(x,y)作兩正坐標(biāo)向的的微分線段變形前位置置：變形后位置置：－－－各點(diǎn)點(diǎn)的位置如如圖。定義幾何方程空間問題的的幾何方程程為：幾何方程從幾何方程程同樣可得得出形變與與位移之間間的關(guān)系：：⑴若位移移確定，則則形變完全全確定。從數(shù)學(xué)上看看，由位移移函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)是完全全確定的，，故形變完完全確定。。⑵若形變變確定，則則位移不完完全確定。。若在邊邊界上給定定了約束位位移分量，則空間問題的的位移邊界界條件為：：(7-9)位移邊界條條件(d)其中由于小小變形假定定，略去了了形變的2、3次冪。體積應(yīng)變體積應(yīng)變定義為：空間問題的的物理方程程⑴應(yīng)變用用應(yīng)力表示示，用于按按應(yīng)力求解解方法：物理方程可表示為兩兩種形式：：⑵應(yīng)力用用應(yīng)變表示示，用于按按位移求解解方法：由物理方程程可以導(dǎo)出出（7-13）稱為體積應(yīng)應(yīng)力。--稱為體積模模量?？臻g問題的的應(yīng)力，形形變，位