第二章點、直線、平面之間的位置關系2.3直線、平面垂直的判定及其性質2.3.3直線與平面垂直的性質2.3.4平面與平面垂直的性質A級基礎鞏固一、選擇題1．在空間中，下列命題正確的是()A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．平行于同一條直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行2．關于直線m，n與平面α，β，有下列四個命題：①若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中真命題的序號是()A．①② B．③④C．①④ D．②③3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則()A．a(chǎn)∥γ B．α⊥γC．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能4．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線A．AC B．BDC．A1D D．A1二、填空題6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．7．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有下列四個說法：①若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確的個數(shù)為________．8．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，點C為垂足，B∈β，BD⊥l，點D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為________．三、解答題9.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過點A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.10.(2015·廣東卷)如圖所示，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)證明：BC∥平面PDA；(2)證明：BC⊥PD.B級能力提升1．如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3給出下列關系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與② B．①與③C．②與③ D．③與④2．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為________．3.如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.參考答案第二章點、直線、平面之間的位置關系2.3直線、平面垂直的判定及其性質2.3.3直線與平面垂直的性質2.3.4平面與平面垂直的性質A級基礎鞏固一、選擇題1．在空間中，下列命題正確的是()A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．平行于同一條直線的兩個平面平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行解析：A項中垂直于同一條直線的兩直線可能平行、異面或相交；B項中平行于同一條直線的兩個平面可能平行或相交；C項中垂直于同一平面的兩個平面可能平行或相交；D項正確．答案：D2．關于直線m，n與平面α，β，有下列四個命題：①若m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中真命題的序號是()A．①② B．③④C．①④ D．②③解析：①m，n可能異面、相交或平行，④m，n可能平行、異面或相交，所以①④錯誤．答案：D3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則()A．a(chǎn)∥γ B．α⊥γC．α與γ相交但不垂直 D．以上都有可能解析：兩個平面都垂直于同一個平面，則這兩個平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．答案：D4．在圓柱的一個底面上任取一點(該點不在底面圓周上)，過該點作另一個底面的垂線，則這條垂線與圓柱的母線所在直線的位置關系是()A．相交 B．平行C．異面 D．相交或平行解析：由線面垂直的性質可得．答案：B5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則直線A．AC B．BDC．A1D D．A1解析：如圖所示，連接AC，BD，因為BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因為BD⊥A1A，所以BD⊥平面ACC1A1，因為CE?平面ACC1A1，答案：B二、填空題6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如圖所示，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝________．解析：因為AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四邊形AFED是平行四邊形，所以EF＝AD＝6.答案：67．設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有下列四個說法：①若a⊥b，a⊥α，b?α，則b∥α；②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β.其中正確的個數(shù)為________．解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b?α，可得出b∥α，①正確；②若a∥α，a⊥β，由線面平行的性質定理可以得出在α內(nèi)存在一條線c⊥β，故可得出α⊥β，②正確；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a?α，③正確；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正確．答案：48．已知直二面角α-l-β，點A∈α，AC⊥l，點C為垂足，B∈β，BD⊥l，點D為垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長為________．解析：如圖，連接BC.因為二面角α-l-β為直二面角，AC?α，且AC⊥l，α∩β＝l，所以AC⊥β.又BC?β，所以AC⊥BC，所以BC2＝AB2－AC2＝3.又BD⊥CD，所以CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答題9.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過點A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.證明：因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因為AE?平面SAB，所以BC⊥AE.因為SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.10.(2015·廣東卷)如圖所示，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.(1)證明：BC∥平面PDA；(2)證明：BC⊥PD.證明：(1)因為在長方形ABCD中，BC∥AD，BC?平面PDA，AD?平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)取CD的中點H，連接PH.因為PD＝PC，所以PH⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH?平面PDC.所以PH⊥平面ABCD.又BC?平面ABCD，所以PH⊥BC.因為在長方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又PD?平面PDC，所以BC⊥PD.B級能力提升1．如圖所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3給出下列關系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與② B．①與③C．②與③ D．③與④解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，排除A.答案：B2．在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為________．解析：如圖，連接CM，則由題意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當CM⊥AB時CM有最小值，此時有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7).答案：2eq\r(7)3.如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.證明：(1)如圖所示，取PD的中點E，連接AE，NE.因為N為PC的中點，E為PD的中點，所以NE∥CD且NE＝eq\f(1,2)CD.而AM∥CD，且AM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)CD，所以NE∥AM且NE＝AM