第十四單元空間向量及其應(yīng)用考點(diǎn)一利用空間向量求線面角的大小1.(2017年北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4.(1)求證:M為PB的中點(diǎn).(2)求二面角B-PD-A的大小.(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)設(shè)AC,BD交于點(diǎn)E,連結(jié)ME,由于PD∥平面MAC,平面MAC∩平面PDB=ME,所以PD∥ME.由于四邊形ABCD是正方形,所以E為BD的中點(diǎn),所以M為PB的中點(diǎn).(2)取AD的中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OE.由于PA=PD,所以O(shè)P⊥AD.又由于平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且OP?平面PAD,所以O(shè)P⊥平面ABCD.由于OE?平面ABCD,所以O(shè)P⊥OE.由于四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)E⊥AD.如圖,成立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).設(shè)平面BDP的法向量為n=(x,y,z),則-即-令x=1,則y=1,z=.于是n=(1,1,).平面PAD的法向量為p=(0,1,0),所以cos<n,p>==.由題意知二面角B-PD-A為銳角,所以其大小為.由題意知M-,C(2,4,0),=.(3)設(shè)直線MC與平面BDP所成角為α,則sinα=|cos<n,>|==,所以直線MC與平面BDP.所成角的正弦值為2.(2016年四川卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD,E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說明原因;(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【分析】(1)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.如圖,延伸AB,DC訂交于點(diǎn)M(M∈平面PAB),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).原因以下:由已知得BC∥ED,且BC=ED,所以四邊形BCDE是平行四邊形,從而CM∥EB.又EB?平面PBE,CM?平面PBE,所以CM∥平面PBE.(說明:延伸AP至點(diǎn)N,使得AP=PN,則所找的點(diǎn)能夠是直線MN上隨意一點(diǎn))(2)由已知得CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,于是CD⊥PD.從而∠PDA是二面角P-CD-A的一個(gè)平面角,所以∠PDA=45°.又PA⊥AB,所以PA⊥平面ABCD.設(shè)1,則在Rt△中,2,以A為原點(diǎn),以,的方向分別為x軸、z軸的正方向,以的方向BC=PADPA=AD=為y軸正方向,成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),所以=(1,0,-2),=(1,1,0),=(0,0,2).設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),由得-設(shè)x=2,解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α,則sinα===,所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.3.(2016年天津卷)如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),AB=BE=2.(1)求證:EG∥平面ADF.(2)求二面角O-EF-C的正弦值.(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH=HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【分析】依題意,OF⊥平面ABCD,如圖,以O(shè)為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)依題意,=(2,0,0),=(1,-1,2).設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面ADF的法向量,則即-不如取z1=1,可得n1=(0,2,1).又=(0,1,-2),可得·n1=0.又由于直線EG?平面ADF,所以EG∥平面ADF.(2)易證=(-1,1,0)為平面OEF的一個(gè)法向量,依題意,=(1,1,0),=(-1,1,2).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面CEF的法向量,則即-不如取x2=1,可得n2=(1,-1,1).所以有cos<,n2>==-,于是sin<,n2>=.所以二面角O-EF-C的正弦值為.(3)由AH=HF,得AH=AF.由于=(1,-1,2),所以==-,從而有H-,從而=.所以cos<,n2>==-.所以直線BH和平面CEF所成角的正弦值為.題型二利用空間向量求二面角的大小4.(2017年全國Ⅰ卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證明:平面PAB⊥平面PAD.(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.【分析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.由于AB∥CD,所以AB⊥PD.又AP∩DP=P,所以AB⊥平面PAD.由于AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD內(nèi)作PF⊥AD,垂足為點(diǎn)F.由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.以F為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長(zhǎng)度成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.由(1)及已知可得A,0,0,P0,0,,B,1,0,C-,1,0,所以=-,1,-,=(,0,0),=,0,-,=(0,1,0).設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面PCB的法向量,則即

--所以可取n=(0,-1,-).設(shè)m=(x2,y2,z2)是平面PAB的法向量,則即-所以可取m=(1,0,1),則cos<n,m>==-=-.察看圖象知二面角A-PB-C的余弦值為-.5.(2017年全國Ⅱ卷)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點(diǎn).(1)證明:直線CE∥平面PAB.(2)點(diǎn)M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M-AB-D的余弦值.【分析】(1)取PA的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,BF.由于E是PD的中點(diǎn),所以EF∥AD,EF=AD.由∠BAD=∠ABC=90°,得BC∥AD,又BC=AD,所以EFBC,所以四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF.又BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,||為單位長(zhǎng)度,成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0≤x≤1),則=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).由于BM與底面ABCD所成的角為45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一個(gè)法向量,所以|cos<,n>|=sin45°,=,-222①即(x-1)+y-z=0.又在棱上,設(shè)λ,MPC則x=λ,y=1,z=-λ.②由①②解得(舍去),或所以M,從而=.設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則即

-所以可取m=(0,-,2).于是cos<m,n>==.察看圖象知,二面角M-AB-D的余弦值為.6.(2017年天津卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN∥平面BDE.(2)求二面角C-EM-N的正弦值.(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為,求線段AH的長(zhǎng).【分析】如圖,以A為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向成立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).=(0,2,0),=(2,0,-2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則即-不如設(shè)z=1,可得n=(1,0,1).又(1,2,1),可得·0=-n=.由于MN?平面BDE,所以MN∥平面BDE.1(1,0,0)為平面的一個(gè)法向量.設(shè)2(1,1,1)為平面的法向量,則(2)易知n=CEMn=xyzEMN由于(0,2,1),(1,2,1),=--=-所以---不如設(shè)y1=1,可得n2=(-4,1,-2).所以有cos<n1,n2>==-,1,2>=.于是sin<nn所以二面角C-EM-N的正弦值為.(3)依題意,設(shè)AH=h(0≤h≤4),則H(0,0,h),從而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2).由已知,得|cos<,>|==-=,整理得10h2-21h+8=0,解得h=或h=.所以線段AH的長(zhǎng)為或.7(2017年江蘇卷)如圖,在平行六面體1111中,1⊥平面,且2,1,∠120°..ABCD-ABCDAAABCDAB=AD=AA=BAD=(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;(2)求二面角B-A1D-A的正弦值.【分析】在平面ABCD內(nèi),過點(diǎn)A作AE⊥AD,交BC于點(diǎn)E.由于AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AE,AA1⊥AD.如圖,以{,,}為正交基底,成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.由于AB=AD=2,AA1=,∠BAD=120°,則(0,0,0),(,1,0),(0,2,0),(,0,0),1(0,0,),C1(,1,).AB-DEA(1)=(,-1,-),=(,1,),則cos<,>==

--

=-

,所以異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.(2)平面A1DA的一個(gè)法向量為=(,0,0).設(shè)m=(x,y,z)為平面BA1D的法向量,又(,1,),(,3,0),=--=-則即---不如取x=3,則y=,z=2,所以(3,,2)為平面1D的一個(gè)法向量.m=BA從而cos<,m>===.設(shè)二面角B-A1D-A的大小為θ,則|cosθ|=.由于θ∈[0,π],所以sinθ==.所以二面角B-A1D-A的正弦值為.8.(2017年山東卷)如圖,幾何體是圓柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°獲得的,G是的中點(diǎn).(1)設(shè)P是上的一點(diǎn),且AP⊥BE,求∠CBP的大小;(2)當(dāng)AB=3,AD=2時(shí),求二面角E-AG-C的大小.【分析】(1)由于AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP.又BP?平面ABP,所以BE⊥BP.又∠EBC=120°,所以∠CBP=30°.(2)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BE,BP,BA所在的直線為x,y,z軸,成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系.由題意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3).設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面AEG的法向量,由可得

-12,可得平面的一個(gè)法向量(3,,2)取z=AEGm=-.設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACG的法向量,由可得取z2=-2,可得平面ACG的一個(gè)法向量n=(3,-,-2).所以cos<m,n>==.故所求的角為60°.高頻考點(diǎn):利用空間向量證明線面平行或垂直,利用空間向量求空間角,利用空間向量求空間距離.命題特色:高考的考察形式有兩種:一種是求空間角和距離;另一種是已知空間角的大小,求有關(guān)點(diǎn)的地點(diǎn)或有關(guān)線段的長(zhǎng)度,題型持續(xù)解答題的形式,以多面體為載體,難度中等偏上.§14.1空間向量及其運(yùn)算一基本定理1.共線向量定理對(duì)空間隨意兩個(gè)向量,(≠0),a∥?存在λ∈R,使a=.abbb2.共面向量定理若兩個(gè)向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面?存在獨(dú)一的有序數(shù)對(duì)(x,y),使得p=.3.空間向量基本定理假如三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)空間任一直量p,存在獨(dú)一的實(shí)數(shù)組{x,y,z},使得p=,此中{a,b,c}叫作空間向量的一個(gè)基底.推論:設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn),則對(duì)平面ABC內(nèi)任一點(diǎn)P都存在獨(dú)一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使=x+y+z且x+y+z=1.二兩個(gè)向量的數(shù)目積1.a·b=cos<a,b>;2.a⊥b?a·b=0(a,b為非零向量).三向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);a·b=a1b1+a2b2+a3b3.?左學(xué)右考判斷以下結(jié)論能否正確,正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)若,則p與,共面.()p=xa+ybab(2)若p與,共面,則存在,∈R,使得p=xa+yb.()abxy(3)若=x+y則四點(diǎn)共面.(),M,N,A,B(4)若M,N,A,B四點(diǎn)共面,則存在x,y∈R,使得=x+y.()2已知A(0,-1,2),B(0,2,-4),C(1,2,-1),則A,B,C三點(diǎn)().共線共面C.不共面D.沒法確立3已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a+λb),則實(shí)數(shù)λ的值為.在空間直角坐標(biāo)系中,A(2,3,5)、B(4,1,3),求A,B的中點(diǎn)P的坐標(biāo)及A,B間的距離|AB|.知識(shí)清單一、1.λb2.xa+yb3.xa+yb+zc基礎(chǔ)訓(xùn)練1【分析】(1)正確,由平面向量基本定理可得;(2)錯(cuò)誤,若a與b共線,就不必定能用,來表示;(3)正.pab確,,,在同一平面內(nèi),故,,,四點(diǎn)共面;(4)錯(cuò)誤,當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí),此式不必定成立.MNABMAB【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×2【分析】由于(0,3,6),(1,3,3),所以,A,B,C.B..=-=-與三點(diǎn)共面應(yīng)選不共線即【答案】B3【分析】∵a⊥(λ),·(λ)()2λ(223)0,解得λ2.a+b∴aa+b=+×++==-.【答案】-24.【分析】∵A(2,3,5),B(4,1,3),∴A,B的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2,4),∴|AB|=-=2.題型一空間向量的線性運(yùn)算【例】如圖在三棱柱111中,為11的中點(diǎn),若,,,則可表示為( )1,ABC-A-a+b+ca+b+c-a-b+ca-b+c【分析】取AC的中點(diǎn)N,連結(jié)BN,MN,如圖,∵M(jìn)為A1C1的中點(diǎn),=a,=b,=c,∴==c,=(+)=(-+)=-a+b,∴=+=-a+b+c.【答案】A向量的線性運(yùn)算,實(shí)質(zhì)上是在數(shù)乘運(yùn)算律的基礎(chǔ)上的向量乞降,即經(jīng)過作出向量,運(yùn)用平行四邊形法例求和,運(yùn)算的重點(diǎn)是將相應(yīng)的向量放到同一個(gè)三角形或平行四邊形中.【變式訓(xùn)練】在正方體1111中,已知,,,為底面的中心,為△111ABCD-A的重心,則=( ).A.c-b-aB.c+b+ac+b-aD.c-b+a【分析】取D1C1的中點(diǎn)E,∵G為△D1C1O的重心,∴==×(+)=(+++)=(++)=c-a.∵==(+)=c+b,∴=+=c+b+c-a=-a+b+c,應(yīng)選C.【答案】C題型二空間向量的數(shù)目積2,若⊥,則λ的值為().【例2】已知A(-1,1,2),B(1,0,-1),設(shè)D在直線AB上,且=,CCDABA.B.-C.D.【分析】設(shè)D(x,y,z),則=(x+1,y-1,z-2),=(2,-1,-3),=(1-x,-y,-1-z).=2,∴(x+1,y-1,z-2)=2(1-x,-y,-1-z),即-----解得x=,y=,z=0,∴D,----.⊥,∴·=2-+λ-3(-1-λ)=0,解得λ=-.【答案】B1.有關(guān)向量的數(shù)目積運(yùn)算的題目一般有兩種解題思路:一是先求坐標(biāo)再運(yùn)算;二是先類比多項(xiàng)式進(jìn)行化簡(jiǎn),再代入座標(biāo)求解.2.利用向量數(shù)目積判斷或證明線線、線面垂直的思路(1)由數(shù)目積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0可知,要證明兩條直線垂直,可結(jié)構(gòu)與兩條直線分別平行的向量(a,b是非零向量),只需證明這兩個(gè)向量的數(shù)目積為0即可;(2)用向量法證明線面垂直,離不開線面垂直的判斷定理,需將線面垂直轉(zhuǎn)變?yōu)榫€線垂直,而后利用向量法證明線面垂直即可.(1,2,3),(2,1,2),(1,1,2),點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),為坐標(biāo)原點(diǎn),則當(dāng)·取【變式訓(xùn)練2】已知===QOPO得最小值時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( ).B.D.【分析】由點(diǎn)在直線上,可得存在實(shí)數(shù)λ,使得λ,則有(λ,λ,2λ),QOPQ=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),當(dāng)·(1λ)(2-λ)(2λ)(1-λ)(32λ)(2-2λ)2(3λ28λ5),=-+-+-=-+依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可適合λ=,-,Q.時(shí)獲得最小值此時(shí)【答案】C題型三空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-1AB1C1D1中,A1C1交B1D1于點(diǎn)P.分別寫出O,A,B,C,A1,B1,C1,D1,P的坐標(biāo).【分析】∵正方體ABCO-1AB1C1D1的棱長(zhǎng)為2,且P是正方形A1B1C1D1的中心,∴O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),P(1,1,2).1.利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決問題的重點(diǎn)是熟記向量坐標(biāo)運(yùn)算的法例,在運(yùn)算中注意有關(guān)公式的靈巧運(yùn)用;2進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí),能夠先代入座標(biāo)再運(yùn)算,也能夠先進(jìn)行向量式的化簡(jiǎn)再代入座標(biāo)運(yùn)算..【變式訓(xùn)練3】已知點(diǎn)A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2求.,【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b,c),由A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),(2,1,3),(1,3,4-c).得=-=--a-b=2,∴(-2,1,3)=2(-1-a,3-b,4-c),解得a=0,b=,c=.∴=.方法一空間向量夾角問題的求法求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法:(1)聯(lián)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來求解,要注意愿量夾角的范圍;(2)先求a·b,再利用公式cos<a,b>=求cos<a,b>,最后確立<a,b>.【打破訓(xùn)練1】已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求cos<,>;(2)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積.【分析】(1)=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴·=-2367,|==,++=|||==,∴cos<,>===.(2)由(1)知sin∠BAC==,∴S=·|AB|·|AC|·sin∠BAC=×××=,△ABC∴以AB,AC為邊的平行四邊形的面積S=2S△ABC=7.方法二空間向量的長(zhǎng)度、距離問題的求法求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)的方法:將此線段用向量表示,經(jīng)過向量運(yùn)算來求對(duì)應(yīng)向量的模,由于a·a=,所以=,這是利用向量解決問題的基本公式.此外,該公式還能夠推行為==.【打破訓(xùn)練2】△ABC的三個(gè)極點(diǎn)分別是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD長(zhǎng)為( ).D.2【分析】設(shè)=λ,則=+λ=(1,-1,2)+λ(0,4,-3)=(1,-1+4λ,2-3λ),=-=(-4,5+4λ,-3λ).∵⊥,∴·=0+4(5+4λ)+9λ=0,解得λ=-.∴=-,∴||=5應(yīng)選A=..【答案】A1(2017大石橋市校級(jí)月考)在x軸上與點(diǎn)(4,1,7)和點(diǎn)(3,5,2)等距離的點(diǎn)的坐標(biāo)為()..A-B-A.(-2,0,0)B.(-3,0,0)C.(3,0,0)D.(2,0,0)【分析】設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,0,0),則--=-,解得x=-2,∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0,0).【答案】A2(2017清城區(qū)校級(jí)一模)已知向量(21,3,1),(2,,),且a∥,則實(shí)數(shù)的值等于()..a=m+m-b=m-mbmA.B.-2C.0D.或-2【分析】∵向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,∴(2m+1,3,m-1)=λ(2,m,-m)=(2λ,λm,-λm),∴解得2--m=-.【答案】B3(2017甘肅二模)已知(3,2,5),(1,,1),且a·2,則x的值是()..a=-b=x-b=D.3【分析】∵a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),∴a·b=(-3)×1+2x+5×(-1)=2,解得x=5.【答案】B4(2017陽山縣校級(jí)一模)已知(2,5,1),(2,-2,4),(1,4,1),則向量與的夾角為( )..A-BC-A.30°B.45°C.60°D.90°【分析】由于A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),所以=(0,3,3),=(-1,1,0),所以·=0×(-1)+3×1+3×0=3,而且||=3,||=,所以cos<,>===,故與的夾角為60°.【答案】C5.(2017荔灣區(qū)期末)如圖,在空間四邊形OABC中,=a,=b,=c,點(diǎn)M在線段OA上,且OM=2MA,N為BC的中點(diǎn),則=( ).-a+b+ca-b+ca+b-ca+b-c【分析】=++=+-+=-++-=-++.=a,=b,=c,=-a+b+c.【答案】A6(2017玉山縣校級(jí)期中)在長(zhǎng)方體1111中,為與的交點(diǎn).若,,,則以下向.ABCD-ABCDMACBD=a=b=c量中與相等的是( ).A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c【分析】在長(zhǎng)方體1111中,為與的交點(diǎn),,,,∵ABCD-A∴=+=+(+)=(+)+=a+b+c.【答案】B7(2016旭日期末)在四棱錐中,底面是平行四邊形,(2,1,4),(4,2,0),(1,2,-1),則PA.P-ABCDABCD=--==-與底面ABCD的夾角是().A.60°B.90°C.30°D.45°【分析】∵=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),∴·=(-1)×2+2×(-1)+(-1)×(-4)=0,同理可得·=0,∴⊥,⊥,即AP⊥AB且AP⊥AD.又∵AB∩AD=A,AP與平面ABCD的夾角是90°.【答案】B8(2016西城區(qū)期末)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,已知點(diǎn)(1,0,2),(0,2,1),點(diǎn),分別在x軸,軸上,且⊥,.ABCDyADBC那么||的最小值是( ).A.B.C.D.【分析】設(shè)C(x,0,0),D(0,y,0),∵A(1,0,2),B(0,2,1),=(-1,y,-2),=(x,-2,-1).AD⊥BC,∴·=-x-2y+2=0,即x+2y=2.=(-x,y,0),∴||=---.【答案】B9.(2017濟(jì)寧期末)已知向量a=(2,-3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,則x的值為( ).A.12B.10C.-14D.14【分析】由于向量a=(2,-3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,所以a·b=-8-6+x=0,解得x=14.應(yīng)選D.【答案】D10.(2017孝感期中)已知a=(2,t,t),b=(1-t,2t-1,0),則|b-a|的最小值是().A.B.C.D.【分析】b-a=(-1-t,t-1,-t),∴|b-a|=---=≥,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等號(hào).∴|b-a|的最小值是.【答案】A11.(2017南通模擬)在正四棱柱ABCD-1AB1C1D1中,設(shè)AD=1,D1D=λ(λ>0),若棱C1C上存在獨(dú)一的點(diǎn)P知足A1P⊥PB,務(wù)實(shí)數(shù)λ的值.【分析】如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn),,,1所在直線分別為,,軸成立空間直角坐標(biāo)系,DDADCDD則D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,λ).設(shè)P(0,1,x),此中x∈[0,λ],由于A1P⊥PB,所以·=0,即(-1,1,x-λ)·(-1,0,x)=0,化簡(jiǎn)得x2-λx+1=0,x∈[0,λ],由點(diǎn)P(0,1,x)的獨(dú)一性知方程x2-λx+1=0有獨(dú)一解,所以鑒別式=λ2-4=0,且λ>0,解得λ=2.12(2016安次區(qū)校級(jí)月考)如圖,平行六面體1111中,,,,為11的中點(diǎn),為1與1.ABCD-ABCD=a=b=cEADFBCBC的交點(diǎn).(1)用基底{a,b,c}表示向量,,;在圖中畫出++化簡(jiǎn)后的向量.(2)【分析】(1)=+=+-=a-b+c,=++=-a+b+c,+=a+(b+c)=a+b+c.(2)++=+(+)=+=+=.連結(jié)DA1,則即為所求.13.(2016利津縣校級(jí)月考)已知向量a=(x,2,2),b=(2,y,-2),c=(3,1,z),a∥b,b⊥c.(1)求向量a,b,c;(2)求向量(a+c)與(b+c)所成角的余弦值.【分析】(1)向量a=(x,2,2),b=(2,y,-2),且a∥b,∴x≠0,y≠0,==-,解得x=-2,y=-2.∴a=(-2,2,2),b=(2,-2,-2).又∵c=(3,1,z),b⊥c,∴b·c=0,即6-2-2z=0,解得z=2,∴c=(3,1,2).(2)由(1)得a+c=(1,3,4),b+c=(5,-1,0),∴(a+c)·(b+c)=1×5+3×(-1)+4×0=2,|a+c|==.|b+c|==.設(shè)a+c與b+c所成的角為θ,∴cosθ===.14.(2016隆化縣校級(jí)期中)正四周體ABCD(全部棱長(zhǎng)均相等)的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,H分別是正四周體ABCD中四條棱的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,=c,試采納向量法解決以下問題.(1)求的模長(zhǎng);(2)求,的夾角.【分析】(1)正四周體ABCD的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,H分別是正四周體ABCD中棱BC,AD,AB,CD的中點(diǎn),=a,=b,=c,∴==(-)=(b-a),=c,=++=-(b-a)-a+c=(c-a-b),∴||=--=--==.(2)正四周體ABCD中,=(c-a-b),||=,同理,=(b+c-a),||=,∴cos<,>=---==[(c-a)2-b2]222=(c+a-2c·a-b)=×(1+1-2×1×1×cos60°-1)=0,∴與的夾角為90°.§14.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一空間中平行、垂直的向量表示設(shè)直線l,m的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為u,v,則有以下結(jié)論:1線線平行:∥?a∥?,∈R.lmba=kbk.線面平行:.面面平行:α∥β?u∥v?u=kv,k∈R.2.線線垂直:l⊥m?a⊥b?a·b=0.線面垂直:.面面垂直:.二空間角1.異面直線l,m的方向向量分別為a,b,則l與m所成的角θ知足cosθ=.2設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為a和,則直線l與平面α所成的角.uθ知足sinθ=.3.二面角:平面α,β的夾角為θ(0≤θ≤π),α和β的法向量分別為

u和

v,當(dāng)θ為銳角時(shí),cos

θ=

;當(dāng)θ為鈍角時(shí)

,cos

θ=

.三點(diǎn)面距離點(diǎn)A在平面α內(nèi),點(diǎn)

B在平面α外,n為平面α的法向量

,則點(diǎn)

B到平面α的距離為d=

.?左學(xué)右考1兩個(gè)不重合平面的法向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則這兩個(gè)平面的地點(diǎn)關(guān)系是( ).平行訂交但不垂直C.垂直D.以上都不對(duì)2已知兩個(gè)平面的法向量分別為(0,1,0),(0,1,1),則這兩個(gè)平面所成的夾角為.m=n=3已知A(2,0,2),平面α的一個(gè)法向量為n=(1,1,-1),A1(0,0,2)是平面α上一點(diǎn),則點(diǎn)A到平面α的距離為( ).B.D.4平面α的一個(gè)法向量為(1,,0),則y軸與平面α所成的角的大小為().n=-B.D.知識(shí)清單一、1.l∥α?a⊥u?a·u=02.l⊥α?a∥u?a=ku,k∈Rα⊥β?u⊥v?u·v=0二、2.3.-三、基礎(chǔ)訓(xùn)練1.【分析】由于v1與v2共線,所以兩個(gè)平面平行.【答案】A2【分析】由于cos,..<mn>==,所以兩個(gè)平面所成的夾角為【答案】3【分析】由于(2,0,2),1(0,0,2),平面α的法向量(1,1,1),所以由點(diǎn)到面的距離公式得d===..AAn=-所以點(diǎn)A到平面α的距離為.應(yīng)選D.【答案】D4【分析】y軸的方向向量為(0,1,0),設(shè)y軸與平面α所成的角為θ,則sin.m=θ=|cos<m,n>|,∵cos<m,n>==-=-,∴sinθ=,∴θ=.【答案】B題型一利用空間向量證明平行或垂直【例1】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)求證:AC⊥BC1.(2)在AB上能否存在點(diǎn)D,使得AC1∥平面CDB1?若存在,確立D點(diǎn)地點(diǎn);若不存在,說明原因.(此題請(qǐng)用向量法解答)【分析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,可知AC,BC,CC1兩兩垂直,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),直線CA,CB,CC1分別為x軸,y軸,z軸成立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).∵=(-3,0,0),=(0,-4,4),∴·=0,即⊥,AC⊥BC1.假定在上存在點(diǎn)1∥平面1,則λ(3λ,4λ,0),此中0≤λ≤1,則D,使得AC(2)AB(3-3λ,4λ,0),(3-3λ,4λ4,4),D=--又=(0,-4,-4),=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,∴存在實(shí)數(shù)m,n,使=m+n成立,∴m(3-3λ)=-3,m(4λ-4)-4n=0,-4m-4n=4,∴λ=,∴在AB上存在點(diǎn)D,使得AC1∥平面CDB1,且D為AB的中點(diǎn).利用空間向量證明線面平行或垂直的重點(diǎn)是判斷直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系,證明面面平行或垂直的重點(diǎn)是判斷兩個(gè)平面的法向量之間的關(guān)系.【變式訓(xùn)練1】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求AC與A1D所成角的大小.(2)求證:平面AB1D1∥平面BDC1.(3)求證:A1C⊥平面BDC1.(此題請(qǐng)用向量法解答)【分析】(1)令正方體ABCD-1AB1C1D1的棱長(zhǎng)為1,以B1為坐標(biāo)原點(diǎn),成立空間直角坐標(biāo)系以下圖.則A(0,1,1),C(1,0,1),A1(0,1,0),D(1,1,1),=(1,-1,0),=(1,0,1),設(shè)AC與A1D所成角的大小為θ,則cosθ==,故θ=.(2)∵==(0,-1,-1),AB1∥DC1.又∵AB1?平面AB1D1,DC1?平面AB1D1,∴DC1∥平面AB1D1.同理可證C1B∥平面AB1D1.又C1B∩DC1=C1,∴平面AB1D1∥平面BDC1.(1,-1,1),(1,1,0),(1,0,1),(3)===-∴·0,則⊥,1⊥;=即ACBD·0,則⊥1⊥1=,即ACBC.BD∩BC1=B,BD?平面BDC1,BC1?平面BDC1.∴A1C⊥平面BDC1.題型二利用空間向量求空間角【例2】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,E,F分別是CC1,BC的中點(diǎn).(1)求證:平面AB1F⊥平面AEF;(2)求二面角B1-AE-F的余弦值.【分析】(1)∵F是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點(diǎn),AF⊥BC.又∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴平面ABC⊥平面BB1C1C.∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AF⊥平面BB1C1C.∵B1F?平面BB1C1C,∴AF⊥B1F.11,則11,EF=,B設(shè)AB=AA222∴BF+EF=BE,∴BFEF.111⊥又AF∩EF=F,∴B1F⊥平面AEF.而B1F?平面AB1F,故平面AB1F⊥平面AEF.(2)以F為坐標(biāo)原點(diǎn),FA,FB分別為x,y軸成立空間直角坐標(biāo)系以下圖,設(shè)AB=AA1=1,則F(0,0,0),A,B1,E,=--,=-,由(1)知,B1F⊥平面AEF,取平面AEF的一個(gè)法向量m==,設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x,y,z),-則取x=3,得n=(3,-1,2),設(shè)二面角B1-AE-F的大小為θ,由圖可知θ為銳角,則cosθ=|cos<m,n>|-==.-∴所求二面角B1-AE-F的余弦值為.利用向量法求異面直線所成的角時(shí),第一要求兩條直線的方向向量的夾角,可是要注意愿量夾角為鈍角時(shí),向量夾角的補(bǔ)角即為異面直線所成的角;利用向量法求線面角時(shí)要注意線面角的正弦等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦的絕對(duì)值;利用向量法求二面角的方法是求兩個(gè)平面的法向量的夾角或其補(bǔ)角.【變式訓(xùn)練2】在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)E,F分別在線段AA1,A1B1上,且AE=,A1F=,CE⊥EF.(1)證明:平面ABB1A1⊥平面ABC.(2)若CA⊥CB,求直線AC1與平面CEF所成角的正弦值.【分析】(1)取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD,DF,DE.AC=BC,D是AB的中點(diǎn),∴CD⊥AB.∵側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=,A1F=,∴AE=,EF==,DE==,DF==,1222⊥∴EF+DE=DF,∴DEEF.又CE⊥EF,CE∩DE=E,CE?平面CDE,DE?平面CDE,EF⊥平面CDE,又CD?平面CDE,∴CD⊥EF.又CD⊥AB,AB?平面ABB1A1,EF?平面ABB1A1,AB,EF為訂交直線,∴CD⊥平面ABB1A1.又CD?平面ABC,∴平面ABB1A1⊥平面ABC.(2)∵平面ABB1A1⊥平面ABC,∴三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC.CA⊥CB,AB=2,∴AC=BC=.以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC1為坐標(biāo)軸成立空間直角坐標(biāo)系,以下圖,則(,0,0),(0,0,0),1(0,0,2),E,F.CAC∴(,0,2),=,=.=-設(shè)平面CEF的法向量為n=(x,y,z),則∴令z=4,得n=(-,-9,4).∴·10,6,n=|n|=||=.∴sin,>==.<n∴直線1與平面所成角的正弦值為.ACCEF題型三利用空間向量求空間距離【例3】在長(zhǎng)方體OABC-1OA1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,求O1到直線AC的距離.【分析】成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系,則(2,0,0),1(0,0,2),(0,3,0),∴(2,0,2),(2,3,0),·(2,0,2)·(-2,3,0)4,AOC=-=-∴=-=∴在方向上的投影為=,1到直線的距離d=-=.∴OAC利用向量法求點(diǎn)線距離的步驟

:直線的方向向量

a

所求點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的向量

及其在直線的方向向量

a上的投影

代入公式

.【變式訓(xùn)練3】已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中,E,F分別為BC,AC的中點(diǎn),PA=2,且PA⊥平面ABC,設(shè)Q是CE的中點(diǎn).(1)求證:AE∥平面PFQ.(2)求

AE與平面

PFQ間的距離

.【分析】(1)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)

,平面ABC內(nèi)垂直于

AC邊所在直線的直線為

x軸,AC所在直線為

y軸,AP所在直線為

z軸成立空間直角坐標(biāo)系

.AP=2,AB=BC=AC=4,又E,F分別是BC,AC的中點(diǎn),∴A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0),,P(0,0,2).∵=,=(,3,0),∴=2.∵與無交點(diǎn),∴AE∥FQ.又FQ?平面PFQ,AE?平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.(2)∵AE∥平面PFQ,∴點(diǎn)A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離,設(shè)平面PFQ的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.又=(0,2,-2),∴n·=2y-2z=0,即y=z.又=,·0,即∴n=x+y=x=-y.令則x=-,z=1,∴平面的一個(gè)法向量為n=(-,1,1).又=--,∴所求距離d==.y=1,PFQ方法一利用空間向量求線面角利用空間向量求線面角的步驟:(1)剖析圖形關(guān)系,成立空間直角坐標(biāo)系;(2)求出直線的方向向量s和平面的法向量n;(3)求出夾角,;(4)判斷直線和平面所成的角θ和,的關(guān)系,求出角θ.<sn><sn>【打破訓(xùn)練1】如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,D是BC的中點(diǎn).(1)求證:A1B∥平面ADC1.(2)求直線B1C1與平面ADC1所成角的余弦值.【分析】(1)如圖,以{,,}為正交基底成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),B1(2,0,4),C1(0,2,4),∴(2,0,4),(1,1,0),(0,2,4),=-==設(shè)平面1的法向量為(,,),由⊥ADCm∴取z=1,得y=-2,x=2,∴平面ADC1的一個(gè)法向量為m=(2,-2,1),由此可得,·m=2×2+0×(-2)+(-4)×1=0,又A1B?平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1.(2,2,0),設(shè)直線11與平面1所成的角為θ,則sinθ=|cos<,m>|==,(2)=-BCADC又θ為銳角,∴直線B1C1與平面ADC1所成角的余弦值為.方法二利用空間向量求二面角利用空間向量求二面角的步驟:(1)成立適合的空間直角坐標(biāo)系;(2)分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量;(3)求出兩個(gè)法向量的夾角;(4)判斷所求二面角的平面角是銳角仍是鈍角;(5)確立二面角的平面角的大小.【打破訓(xùn)練2】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點(diǎn),PA=PD=AD=2.(1)點(diǎn)M在線段PC上,PM=tPC,試確立t的值,使PA∥平面MQB;(2)在(1)的條件下,若平面PAD⊥平面ABCD,求二面角M-BQ-C的大小.【分析】(1)當(dāng)t=時(shí),PA∥平面MQB,證明:若PA∥平面MQB,連結(jié)AC交BQ于點(diǎn)N,由AQ∥BC可得,△ANQ∽△CNB,==,PA∥平面MQB,PA?平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,PA∥MN,=,即PM=PC,∴t=.(2)由PA=PD=AD=2,Q為AD的中點(diǎn),則PQ⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,∴PQ⊥平面ABCD,連結(jié)BD.∵四邊形ABCD為菱形,AD=AB.又∠BAD=60°,∴△ABD為正三角形.∵Q為AD中點(diǎn),∴AD⊥BQ,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以QA,QB,QP所在的直線為x,y,z軸,成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0,0),B(0,,0),Q(0,0,0),P(0,0,),設(shè)平面MQB的法向量為n=(x,y,z),可得而PA∥MN,∴即-取z=1,解得n=(,0,1).取平面ABCD的一個(gè)法向量=(0,0,),設(shè)所求二面角為θ,則|cosθ|==,察看圖象知二面角M-BQ-C的大小為60°.1.(2017咸陽三模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求證:平面PBD⊥平面PAC.(2)若PA=AB,求PC與平面PBD所成角的正弦值.【分析】(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.又∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD.又PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC.BD?平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)設(shè)AC∩BD=O,∵∠BAD=60°,PA=AB=2,∴BO=1,AO=CO=,如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),成立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則(,0,2),(,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(,0,0),∴(,1,-2),(,1,-2),(2,0,2).PABD-C-=-=--=--設(shè)平面的法向量為(,,),則即--解得0,令z=,得PDBn=xyz---y=x=-2,(2,0,).∴n=-設(shè)PC與平面所成的角為θ,PBD則sinθ=|cos<n,>|===,即PC與平面所成角的正弦值為.PBD2.(2017邯鄲二模)如圖,在四棱錐A-BCED中,AD⊥底面BCED,BD⊥DE,∠DBC=∠BCE=60°,BD=2CE.(1)若F是AD的中點(diǎn),求證:EF∥平面ABC.(2)若AD=DE,求BE與平面ACE所成角的正弦值.【分析】(1)取DB的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG.∵F是AD的中點(diǎn),∴FG∥AB.BD=2CE,∴BG=CE.∵∠DBC=∠BCE,∴E,G到直線BC的距離相等,∴EG∥CB.∵EG∩FG=G,∴平面EGF∥平面ABC,則EF∥平面ABC.(2)以D為原點(diǎn),成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)1,則2,3,,D-xyzEC=DB=∴BC=DE=∵AD=DE∴AEBC.,(0,0,),(0,,0),(2,0,0),=(0,,-),=,=(2,-,0).設(shè)平面ACE的法向量n=(x,y,z),n·=y-z=0,n·=x+y=0,令1,則(,1,1),故cos,>|==.y=n=-|<nBE與平面ACE所成角的正弦值為3.(2017唐山一模)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=2,M,N分別是AB,A1C的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面BB1C1C.(2)若平面CMN⊥平面B1MN,求直線AB與平面B1MN所成角的正弦值.【分析】(1)連結(jié)AC1,BC1,則N∈AC1且N為AC1的中點(diǎn),又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),∴MN∥BC1,又BC1?平面BB1C1C,MN?平面BB1C1C,故MN∥平面BB1C1C.(2)由A1A⊥平面ABC,得AC⊥CC1,BC⊥CC1.以C為原點(diǎn)分別以1,CA所在直線為x軸,y軸,z軸成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系,,CB,CC設(shè)CC1=2λ(λ>0),1(2,2λ,0),(1,0,1),(1,λ,0),(2,λ,1),則M(1,0,1),N(0,λ,1),B==-=-取平面CMN的法向量為m=(x,y,z),由·0,·0得令y=1,得m=(λ,1,-λ),m=m=-同理可得平面B1MN的一個(gè)法向量為n=(λ,1,3λ),∵平面CMN⊥平面B1MN,∴m·n=λ2+1-3λ2=0,解得λ=,得n=,又=(2,0,-2),設(shè)直線AB與平面B1MN所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,>|==.∴直線AB與平面1所成角的正弦值是.BMN4.(2017郴州二模)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD訂交于點(diǎn)O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.(1)求證:BD⊥平面ACFE.(2)當(dāng)直線FO與平面BED所成角的大小為45°時(shí),求AE的長(zhǎng)度.【分析】(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC.AE⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,BD⊥AE.又AC?平面ACFE,AE?平面ACFE,AC∩AE=A,BD⊥平面ACFE.(2)以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)A,OB所在直線分別為x軸,y軸,以過點(diǎn)O且平行于CF的直線為z軸成立空間直角坐標(biāo)系.則B(0,,0),D(0,-,0),F(-1,0,3).設(shè)AE=a,則E(1,0,a),∴=(-1,0,3),=(0,2,0),=(-1,,-a).設(shè)平面BDE的法向量為n=(x,y,z),則即令z=1,得n=(-a,0,1),--∴cos<n,>==,∵直線FO與平面BED所成角的大小為45°,=,解得a=2或a=-(舍),∴|AE|=2.5.(2017海淀區(qū)一模)如圖,由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱錐D-BB1C1C組成的幾何體中,∠BAC=90°,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD=,平面CC1D⊥平面ACC1A1.(1)求證:AC⊥DC1.(2)若M為DC1的中點(diǎn),求證:AM∥平面DBB1.(3)在線段BC上能否存在點(diǎn)P,使直線DP與平面BB1D所成的角為60°?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【分析】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,故AC⊥CC1,由平面CC1D⊥平面ACC1A1,且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1,所以AC⊥平面CC1D,又C1D?平面CC1D,所以AC⊥DC1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又∠BAC=90°,如圖成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,依照已知條件可得A(0,0,0),C(0,,0),C1(2,,0),B(0,0,1),B1(2,0,1),D(1,,2),所以=(2,0,0),=(1,,1),設(shè)平面DBB1的法向量為n=(x,y,z),所以即令1,則z=-,0,于是(0,1,),y=x=n=-由于M為DC的中點(diǎn),所以M,1所以=,由·n=·(0,1,-)=0,可得⊥n,所以AM∥平面DBB1.(3)由(2)可知平面BB1D的一個(gè)法向量為n=(0,1,-).λ,λ∈[0,1],設(shè)=則P(0,λ,1-λ),=(-1,λ-,-1-λ).若直線DP與平面DBB1所成的角為60°,則|cos<n,>|===,-解得λ=?[0,1],故不存在這樣的點(diǎn).6.(2017南昌模擬)如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,AB垂直AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中點(diǎn).(1)求證:AM∥平面SCD.(2)求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值.(3)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn),MN與平面SAB所成的角為θ,求sinθ的最大值.【分析】(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),故=(0,1,1),=(1,0,-2),=(-1,-2,0).設(shè)平面SCD的法向量為n=(x,y,z),則-即--令1,則2,1z=x=y=-.于是n=(2,-1,1).∵n·=0-1×1+1×1=0,∴⊥n.又∵AM?平面SCD,∴AM∥平面SCD.(2)易知平面SAB的一個(gè)法向量為n1=(1,0,0).設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α,則|cosα|===,察看圖象知平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為.設(shè)0,202,0)(1≤0≤2),則(0,203,1)N(x(3)∴sinθ===-=.-當(dāng)=即x0=時(shí),(sinθmax=.,)階段總結(jié)五微專題一折疊問題將平面圖形沿此中一條或幾條線段折起,使其成為空間圖形,這種問題稱為平面圖形翻折問題,常與空間中的平行、垂直以及空間角相聯(lián)合命題.解決這種問題的重點(diǎn)是要弄清楚翻折前后哪些量、哪些關(guān)系發(fā)生了變化.【例1】如圖,已知△ABC為正三角形,D為AB的中點(diǎn),E在AC上,且AE=AC,現(xiàn)沿DE將△ADE折起,折起過程中點(diǎn)A仍舊記作點(diǎn)A,使得平面ADE⊥平面BCED.(1)在折起后的圖形中,在AC上能否存在點(diǎn)M,使得直線ME∥平面ABD?若存在,求出點(diǎn)M的地點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說明原因.(2)求平面ABD與平面ACE所成銳二面角的余弦值.【剖析】(1)由線線平行的判斷可確立點(diǎn)的地點(diǎn);(2)以E為原點(diǎn),以ED,EC,EA所在的直線為坐標(biāo)軸成立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量m,n,則|cos<m,n>|即為所求.【分析】(1)當(dāng)AM=AC時(shí),EM∥平面ABD.證明以下:在BC上取點(diǎn)H,使得BH=BC,則EH∥BD,MH∥AB,又EH?平面EMH,MH?平面EMH,EH∩MH=H,BD?平面ABD,AB?平面ABD,BD∩AB=B,∴平面EMH∥平面ABD,又EM?平面EMH,∴EM∥平面ABD.(2)在△ADE中,∵AE=AD,∠DAE=60°,∴AE⊥DE.又平面ADE⊥平面BCED,平面ADE∩平面BCED=DE,AE?平面ADE,AE⊥平面BCED.以E為原點(diǎn),以ED,EC,EA所在的直線為坐標(biāo)軸成立空間直角坐標(biāo)系,以下圖,設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4,則(0,0,0),(0,0,1),(,0,0),(2,1,0),∴(2,1,-1),(,1,0),EADB==設(shè)平面ABD的法向量為m=(x,y,z),則∴-得m=(,-3,3).令x=又DE⊥平面ACE,∴n=(1,0,0)為平面ACE的一個(gè)法向量.∴cos<m,n>===.∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.ABDACE【拓展訓(xùn)練1】如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形中,,分別是,的中點(diǎn),沿EF將矩形折起使ABCDEFABCDADFE得二面角A-EF-C的大小為90°(如圖2),點(diǎn)G是CD的中點(diǎn).(1)若M為棱AD,4,:DEMFC.=上一點(diǎn)且求證⊥平面(2)求二面角E-FG-B的余弦值.【分析】(1)若為棱4,則44,即1,MADAD=DM=DM=∵二面角A-EF-C的大小為90°,∴成立以F為坐標(biāo)原點(diǎn),FD,FC,FE所在的直線分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系,如圖,AD=4,AE=BE=2,DM=1,∴D(2,0,0),F(0,0,0),M(2,0,1),C(0,2,0),A(2,0,4),E(0,0,4),B(0,2,4),則=(-2,0,4),=(2,0,1),=(0,2,0),故·=(-2)×2+4×1=-4+4=0,·=0,則⊥,⊥,即DE⊥FM,DE⊥FC,∵FM∩FC=F,∴DE⊥平面MFC.(2)∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn),∴G(1,1,0),且CD⊥FG,則CD⊥平面EFG,則=(2,-2,0)是平面EFG的一個(gè)法向量,設(shè)平面BFG的法向量為n=(x,y,z),則=(0,2,4),=(1,1,0),所以即令z=1,則y=-2,x=2,即n=(2,-2,1),則cos<,n>===,即二面角E-FG-B的余弦值是.微專題二探究性問題探究性問題包含兩類:(1)與空間平行、垂直有關(guān)的探究性問題;(2)與空間角有關(guān)的探究性問題.解決方法有兩種:①先假定存在,而后利用線面關(guān)系的有關(guān)定理和性質(zhì)進(jìn)行推理論證,找尋假定知足的條件,若知足則必定假定,不然不存在;②也可用向量法,該方法簡(jiǎn)單下手,先假定存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程能否有解的問題,如有解且知足題意則存在,如有解但不知足題意或無解則不存在.【例2】在以下圖的幾何體中,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1,E為AB的中點(diǎn).(1)求證:AN∥平面MEC.(2)在線段AM上能否存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-D的大小為60°?若存在,求出AP的長(zhǎng)h;若不存在,請(qǐng)說明原因.【剖析】(1)利用CM與BN交于點(diǎn)F,連結(jié)EF.證明AN∥EF,經(jīng)過直線與平面平行的判斷定理證明AN∥平面MEC;(2)假定在線段AM上存在點(diǎn)P,使二面角P-EC-D的大小為60°,再經(jīng)過成立空間直角坐標(biāo)系,求出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)法進(jìn)行求解判斷.【分析】(1)連結(jié)BN交CM于點(diǎn)F,連結(jié)EF.由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形,所以F是BN的中點(diǎn).由于E是AB的中點(diǎn),所以AN∥EF.又EF?平面MEC,AN?平面MEC,所以AN∥平面MEC.(2)由四邊形ABCD是菱形,E是AB的中點(diǎn),∠DAB=60°,可得DE⊥AB.又四邊形ADNM是矩形,平面ADNM⊥平面ABCD,所以DN⊥平面ABCD,如圖,成立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D(0,0,0),E(,0,0),C(0,2,0),P(,-1,h),=(,-2,0),=(0,-1,h),設(shè)平面PEC的法向量為n1=(x,y,z),則所以--令所以1(2,,),又平面的一個(gè)法向量2(0,0,1),y=nh,所以cos<n1,n2>===,解得h=>1,所以在線段AM上不存在知足題意的點(diǎn)P.【拓展訓(xùn)練2】如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E為BC的中點(diǎn).(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值.(2)在線段AN上能否存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN?若存在,求線段AS的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明原因.【分析】(1)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),成立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,依題意,得D(0,0,0),A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),E.∴=--,=(-1,0,1),∵cos<,>==-,∴異面直線與所成角的余弦值為.NEAM(2)假定在線段AN上存在點(diǎn)S,使得ES⊥平面AMN.∵=(0,1,1),設(shè)=λ=(0,λ,λ)(0≤λ≤1),=-,∴=+=-.由ES⊥平面AMN,得-即λ=,-此時(shí)=,||=.故線段AN上存在點(diǎn)S,使得ESAMN,|AS|=.⊥平面此時(shí)微專題三自主招生真題賞析本專題供參加自主招生考試的學(xué)生使用1在正方體1111中,點(diǎn)E為棱1的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱11上的點(diǎn),且1113,則異面直線與1.ABCD-ABCDAAABAF∶FB=∶EFBC所成角的正弦值為( ).A.B.C.D.【分析】如圖,取棱A1D1的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG,則異面直線EF與BC1所成角即為∠GEF.不如設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則GF=EF==,EG=.-∴sin∠GEF===.【答案】B2.已知點(diǎn)E為棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB的中點(diǎn),求點(diǎn)B到平面A1EC的距離.【分析】△BCE2×a=3在△1中,1,1a,-=×S×a=×aa.ACEAE=CE==aAC=故=×a×-=a2.的距離為,又-=-=1××h=a2×h=a3,故h=a,即點(diǎn)B到平面A1EC的距離為a.3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F,G分別為AD,AA1,A1B1的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)B到平面EFG的距離;(2)求二面角G-EF-D1的余弦值.【分析】(1)E-BFG·S·AE=·1---·=.△BFG在△EFG中,EF=FG=,EG=,故S=××-=.△EFG設(shè)點(diǎn)到平面的距離為E-BFGB-EFG·△·h=··h=?h=.BEFGh,則V=V=△在平面11上的射影是△1,故二面角1的余弦值cosθ===.AA(2)EFG階段檢測(cè)五一、選擇題1.

(2017

汕尾二模

)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正

(主)視圖、俯視圖以下圖

,則其側(cè)(左)視圖為( ).【分析】由一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正(主)視圖、俯視圖得幾何體的直觀圖為,所以側(cè)(左)視圖為,應(yīng)選C.【答案】C2(2017河南模擬)某幾何體的三視圖以下圖,則該幾何體的體積為()..A.D.7【分析】由三視圖可知,直觀圖是由正方體截去兩個(gè)三棱錐所得32221,體積為2-×××××=,應(yīng)選A.【答案】A3.(2016遼寧三模)一棱錐的三視圖以下圖,則該棱錐的最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為( ).A.B.C.D.【分析】由三視圖知該幾何體是四棱錐,且四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面垂直,底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,如圖,此中平面PAD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,PE⊥AD,DE=1,AE=3,PE=4,PE⊥底面ABCD,連結(jié)CE,BE,在直角三角形中==,在直角三角形中,可得,PB=PBEPC===,又PA==5,==.幾何=PD=體最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為.應(yīng)選C.【答案】C4(2017邢臺(tái)模擬)已知和是兩條不一樣的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,那么下邊給出的條件中必定.mn能推出m⊥β的是().A.α⊥β,且?αB.∥,且n⊥βmmnC.α⊥β,且∥αD.⊥,且n∥βmmn【分析】α⊥β,且m?α?m?β,或m∥β,或m與β訂交,故A不可立;m∥n,且n⊥β?m⊥β,故B成立;α⊥β,且m∥α?m?β,或m∥β,或m與β訂交,故C不可立;由m⊥n,且n∥β,知m⊥β不必定成立,故D不正確.應(yīng)選B.【答案】B5(2017廣東模擬)在棱長(zhǎng)為3的正方體1111中,在線段1上,且11上的動(dòng)點(diǎn),則三.ABCD-ABCDPBD=,M為線段BC棱錐M-PBC的體積為( ).A.1B.D.與M點(diǎn)的地點(diǎn)有關(guān)1,取11,【分析】如圖,連結(jié)BC=,則PN∥DC==,PN=1.∵D1C1⊥平面BCC1B1,∴PN⊥平面BCC1B1,即PN是三棱錐P-BCM的高.∴V三棱錐M-PBC=V三棱錐P-BCM=PN·S△BCM=×1××32=.應(yīng)選B.【答案】B6.

(2017

河北模擬

)如圖,ABCD-1AB1C1D1

是正方體,E,F分別是

AB,BB1的中點(diǎn),則異面直線

A1E

與

C1F

所成角的余弦值為( ).B.D.1111中,,是,1的中點(diǎn),設(shè)4,取11的中點(diǎn),1的中點(diǎn),連結(jié)【分析】在正方體ABCD-A,1,與1所成的角即為1與1所成的角.利用勾股定理得,12,1,在△1中,GFGCBH.GFFCAECFGF=CF=GC=CFG利用余弦定理得1==.應(yīng)選Ccos∠GFC【答案】C7.(2017哈爾濱校級(jí)三模)以下圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在平面ABC上的射影H必在( ).A.△ABC內(nèi)部B.直線BC上C.直線CA上D.直線AB上【分析】??平面ABC⊥平面ABC,∴C在平面ABC上的射影H在平面ABC與平1111的交線上,即在直線上,應(yīng)選D.面ABCAB【答案】D8.(2017河南模擬)三棱錐D-ABC中,AB=CD=,其他四條棱長(zhǎng)均為2,則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為( ).A.14πB.7πC.21πD.28π【分析】分別取,的中點(diǎn),,連結(jié)相應(yīng)的線段,,,由條件AB=CD=,2,可知△ABCABCDEFCEEDEFBC=AC=AD=BD=與△ADB都是等腰三角形,AB⊥平面ECD,∴AB⊥EF,同理CD⊥EF,∴EF是AB與CD的垂直均分線,球心G在EF上,能夠證明G為EF中點(diǎn)(△AGB≌△CGD),DE==,DF=,EF=1,半徑DG==,∴外接球的表-=2面積為4π·DG=7π.應(yīng)選B.【答案】B二、填空題9.(2017蒙城縣校級(jí)模擬

)某空間幾何體的三視圖以下圖

,則該幾何體的體積為

.【分析】由題意獲得該幾何體的直觀圖為從四棱錐P-ABCD中挖去了一個(gè)半圓錐,則所求的體積為222π×122V=×××-×××=.【答案】10(2017衡水一模)以下圖的是兩個(gè)腰長(zhǎng)均為10cm的等腰直角三角形拼成的一個(gè)四邊形,現(xiàn)將四邊.A-BCDABCD形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C,cm則三棱錐的外接球的體積為3.【分析】四邊形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,∴AB⊥BD,CD⊥BD,∵沿BD折成直二面角A-BD-C,如圖所示,∴AB⊥平面BCD,CD⊥平面ABD,∴AB⊥BC,CD⊥DA,∴三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC,且|AC|2=|AB|2+|BD|2+|CD|2=102+102+102=300,∴外接球的半徑為R=5,體積為×(5)3=500π.【答案】500π11.(2016東河區(qū)校級(jí)期末)在四周體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,設(shè)PA=PB=PC=a,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為.【分析】∵在四周體P-ABC中,PA,PB,PC兩兩垂直,PA=PB=PC=a,∴AB=AC=BC=a,取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)AD,作⊥平面交于點(diǎn)O,則AD=-=a,∴AO=a,POABC,AD∴點(diǎn)P到平面ABC的距離PO=-=a.【答案】a12.(2016商丘二模)PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直徑,C是☉O上的一點(diǎn),E,F分別是點(diǎn)A在PB,PC上的射影,給出以下結(jié)論:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.此中正確命題的序號(hào)是.【分析】∵PA⊥☉O所在的平面,BC?☉O所在的平面,∴PA⊥BC,而BC⊥AC,AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,又AF?平面PAC,∴AF⊥BC,而AF⊥PC,PC∩BC=C,∴AF⊥平面PCB,而BC?平面PCB,∴AF⊥BC,故③正確;而PB?平面PCB,∴AF⊥PB,∵AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF,而EF?平面AEF,AF?平面AEF,∴EF⊥PB,AF⊥PB,故①②正確;∵AF⊥平面PCB,假定AE⊥平面PBC,∴AF∥AE,明顯不可立,故④不正確.【答案】①②③三、解答題13.(2017河南模擬)如圖,E是正方形ABCD的AB邊的中點(diǎn),將△AED與△BEC分別沿ED與EC折起,使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,記為點(diǎn)P,獲得三棱錐P-CDE.(1)求證:平面PED⊥平面PCD.(2)求二面角P-CE-D的余弦值.【分析】(1)∵∠A=∠B=90°,∴PE⊥PD,PE⊥PC.PD∩PC=P,PC,PD?平面PCD,∴PE⊥平面PCD,PE?平面PED,∴平面PED⊥平面PCD.(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,取DC的中點(diǎn)F,連結(jié)PF,EF,過點(diǎn)P作PO⊥EF于點(diǎn)O,易證CD⊥平面PEF,∴CD⊥PO,又CD∩EF=F,∴PO⊥平面CDE,∵PE⊥平面PCD,PF?平面PCD,∴PE⊥PF,EF=2PE=2,∴∠PFE=30°且PF=,OF=,PO=.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)成立以下圖的空間直角坐標(biāo)系,則P,C(1,0,0),E(0,2,0),∴=(1,-2,0),=,設(shè)平面PCE的法向量為m=(x,y,z),-則-令z=1,得m=(2,,1),又平面CDE的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),記二面角P-CE-D的平面角為α,則cosα==.轉(zhuǎn)動(dòng)檢測(cè)四一、選擇題1(2017龍巖二模)已知向量,知足|a|=1,(2,1),且·0,則|a-b|=().abb=ab=.A.B.C.2D.【分析】|a|=1,b=(2,1),且a·b=0,則|a-b|2222·1506,所以|a-b|=.應(yīng)選A=a+b-ab=+-=.【答案】A2(2016五華區(qū)校級(jí)月考)設(shè)數(shù)列n31,912,則12( )..是公差為d的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為S,若a=a=S=A.B.【分析】由題意得-=∴S=+×=d=,210,12011,應(yīng)選C.,∴a【答案】C-3.(2016福州模擬)若實(shí)數(shù)x,y知足不等式組-目標(biāo)函數(shù)t=x-2的最大值為2,則實(shí)數(shù)a的值是y-( ).A.-【分析】畫出拘束條件表示的可行域,由?A(2,0)是最優(yōu)解,直線x+2y-a=0過點(diǎn)A(2,0),所以a=2,-應(yīng)選D.【答案】D4(2017漢中校級(jí)月考)一個(gè)半徑為2的球體經(jīng)過切割以后所得幾何體的三視圖以下圖,則該幾何體的表面.積為( ).A.16πB.12πC.14πD.17π【分析】依據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)球體切去四分之一,∴幾何體的表面是四分之三球面和兩個(gè)截面(半圓),∴幾何體的表面積S=×4π×22+π×22=16π,應(yīng)選A.【答案】A5(2017河南模擬)函數(shù)( )sin(ωφ),f.fx=Ax++B的部分圖象以下圖的值為則( ).A.-D.2【分析】由函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分圖象知,2A=3-(-1)=4,解得A=2,∴B==1.∵當(dāng)x=時(shí),f(x)獲得最大值3,∴ω+φ=;①∵當(dāng)x=2π時(shí),f(x)=0,∴2πω+φ=.②由解得ωφ=,∴f(x)=2sin+1,∴f=2sin+1=2×-+1=0.應(yīng)選B.①②,=,【答案】B6.(2016年杭州模擬)在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=ax,y=sinax的部分圖象,此中a>0且a≠1,則以下所給圖象中可能正確的選項(xiàng)是( ).【分析】正弦函數(shù)的周期公式T=,∴y=sinax的最小正周期T=;x對(duì)于A,T>2π,故a<1,∴y=a的圖象是減函數(shù),故A錯(cuò);對(duì)于B,T<2π,故a>1,∴函數(shù)y=ax是增函數(shù),故B錯(cuò);x1,故C錯(cuò);對(duì)于C,T=2π,故a=1,∴y=a=x對(duì)于D,T>2π,故a<1,∴y=a是減函數(shù),故D對(duì).【答案】D7(2017廣西模擬)等比數(shù)列{n}中,42,75,則數(shù)列{lgan}的前10項(xiàng)和等于().aa=a=.A.2B.lg50n42,75,110294710,數(shù)列{lgan}的前10項(xiàng)和lg1lg【分析】∵等比數(shù)列{a}中,a=a=∴aa=aa==aa=∴S=a+2lg10lg(1210)lg1055,應(yīng)選Da++a=aaa==.【答案】D8.(2017河南一模)將函數(shù)f(x)=2cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后獲得函數(shù)g(x)的圖象若函數(shù)g(x)在區(qū),間和上均單一遞加,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是().B.D.【分析】將函數(shù)f(x)=2cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后獲得函數(shù)g(x)的圖象,得g(x)=2cos2-由ππ≤≤2π,得π≤≤π,∈Z.=2cos-+2k2x-,-當(dāng)k=0時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為-,當(dāng)1時(shí),函數(shù)的增區(qū)間為.要使函數(shù)()在區(qū)間和k=gx上均單一遞加則解得a∈.應(yīng)選A.,【答案】A9(2017江西模擬)設(shè)( ),()分別是定義在(,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)0.fxgx-∞x<時(shí),f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是( ).A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)【分析】設(shè)F(x)=f(x)g(x),當(dāng)x<0時(shí),∵F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0.∴F(x)在當(dāng)x<0時(shí)為增函數(shù).∵F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),∴故F(x)為(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù).∴F(x)