第一講因式分解(一)

多項(xiàng)式的因式分解就是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用

于初等數(shù)學(xué)之中，就是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解方法靈活，

技巧性強(qiáng),學(xué)習(xí)這些方法與技巧,不僅就是掌握因式分解內(nèi)容所必需的,而且對(duì)

于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能,發(fā)展學(xué)生的思維能力,都有著十分獨(dú)特的作用.初中數(shù)

學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法與十字相乘法.

本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上,對(duì)因式分解的方法、技巧與應(yīng)用作進(jìn)一

步的介紹.

1.運(yùn)用公式法

在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式,現(xiàn)將其反向使用，即為因式

分解中常用的公式,例如：

(l)a--b2=(a+b)(a-b);

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4)a3-b3=(a-b)(az+ab+b2).

下面再補(bǔ)充幾個(gè)常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

(7)a"-bn=(a-b)(a-1+an-2b+an-3b2+-+ab"-2+b"')其中n為正整數(shù);

(8)a"-b°=(a+b)(「3爪1rtbJ…+ab”Jbi),其中n為偶數(shù)；

⑼a"+b"=(a+b)(aF-bW叩-…_atT+b"T),其中n為奇數(shù).

運(yùn)用公式法分解因式時(shí),要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符

號(hào)等正確恰當(dāng)?shù)剡x擇公式.

例1分解因式：

(l)-2x5,r'y"+4x3"-'y"，2-2x',''y"tl;

(2)x3-8y3-z3-6xyz;

(3)aW+c2-2bc+2ca-2ab;

(4)a'-a'bz+a2b*b7.

解⑴原式=-2x'Ty"(x4n-2x2ny2+y4)

=-2x""y"[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]

=-2xn-'yn(x2n-y2)2

=-2x'rly"(x',-y)2(x"+y)2.

⑵原式=x，+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)

=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).

(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+3

=(a-b)2+2c(a-b)+c2

=(a-b+c)2.

本小題可以稍加變形,直接使用公式(5),解法如下：

原式=a?+(-b)2+d+2(-b)c+2ca+2a(-b)

=(a-b+c)2

(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)

=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)

=(a2-b2)(a5+b5)

=(a+b)(a-b)(a+b)(a'-a：!b+a2b2-ab3+b')

=(a+b)2(a-b)(a'-a3b+a2b2-ab3+b')

例2分解因式:aW+c/abc.

本題實(shí)際上就就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).

分析我們已經(jīng)知道公式

(a+b)3=a:i+3a2b+3abW

的正確性,現(xiàn)將此公式變形為

a3+b-(a+b)-3ab(a+b).

這個(gè)?式也就是一個(gè)常用的公式,本題就借助于它來(lái)推導(dǎo).

解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c~3abc

=[(a+b)3+c31-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).

說(shuō)明公式(6)就是一個(gè)應(yīng)用極廣的公式,用它可以推出很多有用的結(jié)論，

例如:我們將公式⑹變形為

a3+b3+c3-3abc

=；(a+b+c)(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

=g(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)'+(c-a)2].

顯然，當(dāng)a+b+c=O口寸，貝ija3+b3+c3=3abc;當(dāng)a+b+c>0時(shí)，貝ija3+b3+c3-3abc^0,

即a:W+c3^3abc,而且，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立.

如果令x=a3^0,y=b:i^0,z=c3^0,貝I」有

等號(hào)成立的充要條件就是x=y=z.這也就是一個(gè)常用的結(jié)論.

例3分解因式：針+x"+x'3+…+x2+x+l.

分析這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)就是:有16項(xiàng),從最高次項(xiàng)x?開(kāi)始,x的次數(shù)順次

遞減至0,由此想到應(yīng)用公式a“-b”來(lái)分解.

解因?yàn)?/p>

x,6-l=(x-l)(x^+x^'+x'^-x^x+l),

所以

(x-l)(x15+x14+x13+---+x2+x+1)x16-1

原氏=-----------------；--------------=—r

X-1X-1

(x8+l)(x4+l)(x2+l)(x+l)(x-1)

jrn

=(x8+l)(x4+l)(x?+l)(x+1).

說(shuō)明在本題的分解過(guò)程中,用到先乘以(X-1),再除以(x-1)的技巧,這一技

巧在等式變形中很常用.

2.拆項(xiàng)、添項(xiàng)法

因式分解就是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)常將

幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一項(xiàng),或?qū)蓚€(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零.在對(duì)某

些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的

某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng),或者在多項(xiàng)式中添上兩個(gè)僅符合相反的項(xiàng),前者稱(chēng)為

拆項(xiàng),后者稱(chēng)為添項(xiàng).拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的就是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式

分解.

例4分解因式:x'9x+8.

分析本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意

一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧.

解法1將常數(shù)項(xiàng)8拆成-1+9.

原式=x：i9x-l+9

=(x5-l)-9x+9

=(x-l)(x2+x+l)-9(x-l)

=(x-l)(x2+x-8).

解法2將一次項(xiàng)-9x拆成-x-8x.

原式=x：'-x-8x+8

=(x5-x)+(-8x+8)

=x(x+l)(x-1)-8(x-1)

=(x-l)(x2+x-8).

解法3將三次項(xiàng)x，拆成9x3-8x3.

原式=9x：'-8x'-9x+8

=(9x3-9x)+(-8x3+8)

=9x(x+l)(x-l)-8(x-l)(x2+x+l)

=(x-l)(x2+x-8).

解法4添加兩項(xiàng)N+x；

原式二x、9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2(x-l)+(x-8)(x-1)

=(x-l)(x2+x-8).

說(shuō)明由此題可以瞧出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什

么項(xiàng)并無(wú)一定之規(guī),主要的就是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察,靈活變換，因此拆

項(xiàng)、添項(xiàng)法就是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種.

例5分解因式：

(l)x9+x6+x3-3;

(2)(m2-l)(n2-l)+4mn;

(3)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4;

(4)a3b-ab3+a2+b2+l.

解⑴將-3拆成-1-1-L

原式=x0+x"+x，-1-1-1

=(x(,-l)+(x6-l)+(x5-l)

=(x3-l)(x6+x3+l)+(x3-l)(x3+l)+(x3-l)

=(x3-l)(x6+2x3+3)

=(x-l)(x2+x+l)(x6+2x3+3).

⑵將4mn拆成2mn+2mn.

原式=(m2-1)(n2-l)+2mn+2mn

=m"n'mE+1+2mn+2mn

=(m2n2+2mn+l)-(m2-2mn+n2)

=(mn+l)2-(m-n)2

=(mn+m-n+l)(mn-m+n+1).

⑶將(xF尸拆成2(xJl)J(xJl)2.

原式=(x+1>+2(x“1)J(x>1)葉(x-1〉

=L(x+l)'+2(x+l)2(x-l)2+(x-1)']-(x2-l)2

=[(x+l)2+(x-l)2]2-(x2-l)2

=(2x2+2)2-(x2-l)2=(3x2+l)(x2+3).

(4)添加兩項(xiàng)+ab-ab.

原^=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+l)

=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+l)

=a(a-b)Eb(a+b)+1]+(ab+b2+1)

=[a(a-b)+l](ab+b'+l)

=(aL，-ab+l)(b2+ab+l).

說(shuō)明(4)就是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易

想到添加+ab-ab,而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無(wú)公因式,而就是先將前兩組分

解,再與第三組結(jié)合,找到公因式.這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)

技巧所在，同學(xué)們需多做練習(xí)，積累經(jīng)驗(yàn).

3.換元法

換元法指的就是將一個(gè)較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分瞧作一個(gè)整體,并用

一個(gè)新的字母替代這個(gè)整體來(lái)運(yùn)算,從而使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)明清晰.

例6分解因式:(x2+x+l)(x2+x+2)-12.

分析將原式展開(kāi),就是關(guān)于X的四次多項(xiàng)式,分解因式較困難.我們不妨將

x2+x瞧作一個(gè)整體,并用字母y來(lái)替代,于就是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項(xiàng)式

的因式分解問(wèn)題了.

解設(shè)x2+x=y,則

原式=(y+l)(y+2)-12=y2+3y-10

=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

=(x-l)(x+2)(x2+x+5).

說(shuō)明本題也可將x2+x+l瞧作一個(gè)整體，比如今x2+x+l=u,一樣可以得到同

樣的結(jié)果,有興趣的同學(xué)不妨試一試.

例7分解因式：

(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90.

分析先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合.

解原式=(x+l)(x+2)(2x+l)(2x+3)-90

=[(x+l)(2x+3)]L(x+2)(2x+l)]-90

=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90.

令y=2x2+5x+2,則

原式=y(y+l)-90=y2+y-90

=(y+10)(y-9)

=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)

=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1).

說(shuō)明對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃尉褪俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ).

例8分解因式：

(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2.

解設(shè)x?+4x+8=y,則

原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)

(x2+6x+8)(x2+5x+8)

=(x+2)(x+4)(x2+5x+8).

說(shuō)明由本題可知,用換元法分解因式時(shí),不必將原式中的元都用新元代換,

根據(jù)題目需要，引入必要的新元,原式中的變?cè)c新變?cè)梢砸黄鹱冃?換元法

的本質(zhì)就是簡(jiǎn)化多項(xiàng)式.

例9分解因式：6x'+7x￡36xJ7x+6.

解法1原式=6(x'+l)+7x(xJl)-36x?

=6L(x'-2x2+l)+2x"]+7x(x2-l)-36x2

=6[(x2-l)2+2x2]+7x(x2-l)-36x2

=6(x2-l)2+7x(x2-l)-24x2

=[2(x2-l)-3x][3(x2-l)+8x]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

說(shuō)明本解法實(shí)際上就是將x2瞧作一個(gè)整體，但并沒(méi)有設(shè)立新元來(lái)代替它,

即熟練使用換元法后,并非每題都要設(shè)置新元來(lái)代替整體.

解法2

原式=x?(6x2+7x-36--+-^-)

xx

令x-工=t則1+斗=t*+2,于是

xx

原式=<[6婚+2)+71>36]

=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)

=x2[2(x-l/x)-3][3(x-l/x)+8]

=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)

=(2x+l)(x-2)(3x-l)(x+3).

例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2).

分析本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變,

這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱(chēng)式.對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱(chēng)式,經(jīng)常令

u=x+y,v=xy,用換元法分解因式.

解[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy].x+y=u,xy=v,則

原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)

=u'-6u2v+9v2

=(u2-3v)2

=(x2+2xy+y2-3xy)2

=(x2-xy+y2)2.

練習(xí)一

1.分解因式:

(1)x2n+xn--^y2+7;

94

(2)x10+x5-2;

(3)x4-2x2y2-4xy3+4x3y+y2(4x2+^y2)；

(4)(x'+x'+x'+x'+x+D^x5.

2.分解因式：

(l)x3+3x2-4;

(2)x'-llxy+y2;

(3)x3+9x2+26x+24;

(4)x'-12x+323.

3.分解因式：

(1)(2x2-3x+l)2-22x2+33x-l;

(2)x4+7x3+14x2+7x+l;

(3)(x+y)3+2xy(l-x-y)-l;

(4)(x+3)(x2-l)(x+5)-20.

第二講因式分解(二)

1.雙十字相乘法

分解二次三項(xiàng)式時(shí),我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式

(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十字相乘法分解因式.

例如，分解因式2xJ7xy-22y'5x+35y-3.我們將上式按x降基排列，并把y當(dāng)

作常數(shù),于就是上式可變形為

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以瞧作就是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.

對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言,它就是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式,也可以用十字相乘法,分解

為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+1).

再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解

(-lly+1)

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+1)]

(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過(guò)程,實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把這兩個(gè)步驟中的十

字相乘圖合并在一起,可得到下圖：

它表示的就是下面三個(gè)關(guān)系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2;

(x-3)(2x+l)=2x2-5x-3;

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)行因式分解的步驟就是:

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十

字交叉之積的與等于原式中的ey,第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的與等于

原式中的dx.

例1分解因式：

(l)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

(2)x2-y2+5x+3y+4;

(3)xy+y2+x-y-2;

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.

解(1)

原式=(x-5y+2)(x+2y-l).

⑵

原式=(x+y+l)(x-y+4).

(3)原式中缺X，項(xiàng),可把這一項(xiàng)的系數(shù)瞧成0來(lái)分解.

原式=(y+l)(x+y-2).

(4)

原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).

說(shuō)明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類(lèi)似.

2.求根法

我們把形如a?x?+a?.x"-'+-+a,x+ao(n為非負(fù)整數(shù))的代數(shù)式稱(chēng)為關(guān)于x的一

元多項(xiàng)式,并用f(x),g(x),…等記號(hào)表示,如

f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,

當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式f(x)

f(l)=l2-3X1+2=0;

f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱(chēng)a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.

定理1(因式定理)若a就是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即f(a)=0成立,則多項(xiàng)

式f(x)有一個(gè)因式x-a.

根據(jù)因式定理,找出一元多項(xiàng)式f(X)的一次因式的關(guān)鍵就是求多項(xiàng)式f(x)

的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x),要求出它的根就是沒(méi)有一般方法的,然而當(dāng)多項(xiàng)式

f(x)的系數(shù)都就是整數(shù)時(shí)，即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí),經(jīng)常用下面的定理來(lái)判定它就

是否有有理根.

定理2

若既約分?jǐn)?shù)9是整系數(shù)多項(xiàng)式

P

n

f(x)=aox+ap<n-i+ajK^+--'+a^x+an

的根,則必有P就是a,的約數(shù),q就是a“的約數(shù).特別地，當(dāng)a,=l時(shí)，整系數(shù)

多項(xiàng)式f(x)的整數(shù)根均為a”的約數(shù).

我們根據(jù)上述定理,用求多項(xiàng)式的根來(lái)確定多項(xiàng)式的一次因式,從而對(duì)多

項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例2分解因式：x'-4x2+6x-4.

分析這就是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式,原式若有整數(shù)根,必就是-4的約數(shù)，

逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：土1,±2,±4,只有

f⑵=23-4X22+6X2-4=0,

即x=2就是原式的一個(gè)根,所以根據(jù)定理1,原式必有因式x-2.

解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).

原式=(x，-2x，)-(2x'4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2).

解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),

x2-2x+2

x-2/X3-4X2+6X-4

'X3_2X?

-2X2+6X

-2X2+4X

2x-4

2x-4

0

所以

原式=(x-2)(x?-2x+2).

說(shuō)明在上述解法中，特別要注意的就是多項(xiàng)式的有理根一定就是-4的約

數(shù),反之不成立，即-4的約數(shù)不一定就是多項(xiàng)式的根.因此,必須對(duì)-4的約數(shù)逐

個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.

例3分解因式:9x'-3x'+7x2-3x-2.

分析因?yàn)?的約數(shù)有±1,士3,±9;-2的約數(shù)有±1,土

2,所以原式的有理根只可能是±1,±2,±。12±4，±(1,2±|,

經(jīng)檢驗(yàn)，只有■1和孑2是原式的根，所以原式有因式x+g1和X-95.又因

為：

121

(x+-)(x=-(3x+l)(3x-2)

=1(9x2-3x-2),

所以，原式有因式9x--3x-2.

解9x'-3x'+7x2-3x-2

=9x'-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+l)

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

說(shuō)明若整系數(shù)多項(xiàng)式有分?jǐn)?shù)根,可將所得出的含有分?jǐn)?shù)的因式化為整系

數(shù)因式,如上題中的因式

,1、，2、212

(X+-)(x--)=x--X--

可以化為9x2-3x-2,這樣可以簡(jiǎn)化分解過(guò)程.

總之,對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x),如果能找到一個(gè)一次因式(x-a),那么f(x)

就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)就是比f(wàn)(x)低一次的一元多項(xiàng)式,這樣,我們

就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分解了.

3.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法就是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法,應(yīng)用很廣泛,這里介紹它

在因式分解中的應(yīng)用.

在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過(guò)分析,可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但

這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定,這時(shí)可以用一些字母來(lái)表示待定的系數(shù).

由于該多項(xiàng)式等于這幾個(gè)因式的乘積,根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系

數(shù)應(yīng)該相等,或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程

(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值,這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

例4分解因式：x43xy+2y，+4x+5y+3.

分析由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式,那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定就是x+2y+m與x+y+n的

形式,應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m與n,使問(wèn)題得到解決.

解設(shè)

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),則有

m+n=4,

<m+2n=5,

mn=3.

解之得m=3,n=l.所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1).

說(shuō)明本題也可用雙十字相乘法，請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.

例5分解因式:x'-2x,-27xJ44x+7.

分析本題所給的就是一元整系數(shù)多項(xiàng)式,根據(jù)前面講過(guò)的求根法,若原式

有有理根，則只可能就是±1,±7(7的約數(shù))，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不就是原式的根，

所以,在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式.如果原式能分解,只能分解為

(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式.

解設(shè)

原式二(x'+ax+b)(x?+cx+d)

=x'+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,

所以有

a+c=-2,

b+d+ac=-27,

ad+be=-44,

bd=7.

由bd=7,先考慮b=l,d=7有

a+c=-2,

<ac=-359

7a+c=-44,

a=-7

解之得'c=5.

I

所以

原式=(x?-7x+l)(x?+5x+7).

說(shuō)明由于因式分解的唯一性,所以對(duì)b=-l,d=-7等可以不加以考慮.本題

如果b=l,d=7代入方程組后，無(wú)法確定a,c的值,就必須將bd=7的其她解代入

方程組,直到求出待定系數(shù)為止.

本題沒(méi)有一次因式，因而無(wú)法運(yùn)用求根法分解因式.但利用待定系數(shù)法，使

我們找到了二次因式.由此可見(jiàn),待定系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.

練習(xí)二

1.用雙十字相乘法分解因式：

(l)x2-8xy+15y2+2x-4y-3;

(2)x2-xy+2x+y-3;

(3)3x2-llxy+6y2-xz-4yz-2z2.

2.用求根法分解因式：

(l)x3+x2-10x-6;

(2)x'+3x:,-3x2-12x-4;

(3)4x'+4x3-9x2-x+2.

3.用待定系數(shù)法分解因式：

(l)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20;

(2)x'+5x3+15x-9.

第三講實(shí)數(shù)的若干性質(zhì)與應(yīng)用

實(shí)數(shù)就是高等數(shù)學(xué)特別就是微積分的重要基礎(chǔ).在初中代數(shù)中沒(méi)有系統(tǒng)地

介紹實(shí)數(shù)理論,就是因?yàn)樗婕暗綐O限的概念.這一概念對(duì)中學(xué)生而言,有一定

難度.但就是,如果中學(xué)數(shù)學(xué)里沒(méi)有實(shí)數(shù)的概念及其簡(jiǎn)單的運(yùn)算知識(shí)，中學(xué)數(shù)學(xué)

也將無(wú)法繼續(xù)學(xué)習(xí)下去了.例如，即使就是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識(shí)也

就是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的.因此,適當(dāng)學(xué)習(xí)一些有關(guān)實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用這些知

識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的基本方法,不僅就是為高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ),而且也就是

初等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所不可缺少的.本講主要介紹實(shí)數(shù)的一些基本知識(shí)及其應(yīng)用.

形如：-(n^O)的數(shù)叫有理數(shù)，其中m,n為整數(shù).這種定義可

n用于解

決許多問(wèn)題，例如，不難證明:任何兩個(gè)有理數(shù)的與、差、積、商還就是有理數(shù),

或者說(shuō)，有理數(shù)對(duì)加、減、乘、除(零不能做除數(shù))就是封閉的.

性質(zhì)1任何一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成有限小數(shù)(整數(shù)可以瞧作小數(shù)點(diǎn)后面為零

的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式,反之亦然.

例1

證明循環(huán)小數(shù)2.61545454…=2.613,是有理數(shù).

分析要說(shuō)明一個(gè)數(shù)就是有理數(shù),其關(guān)鍵要瞧它能否寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比的形

證設(shè)

x=2.6154,①

兩邊同乘以100得

100x=261.54=261.5454.②

②-①得

99x=26K54-2、61=258、93,

25893

所以

9900

既然x能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)比的形式，從而也就證明了2.61%是有理數(shù).

無(wú)限不循環(huán)小數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù).有理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算就是封閉的，而無(wú)理

數(shù)與無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù).例如，應(yīng)為無(wú)理但

血-加=0是一個(gè)有理數(shù)；兀是無(wú)理數(shù)，卷=1是有數(shù)，理數(shù)，也就

就是說(shuō),無(wú)理數(shù)對(duì)四則運(yùn)算就是不封閉的，但它有如下性質(zhì).

性質(zhì)2設(shè)a為有理數(shù),b為無(wú)理數(shù),則

(l)a+b,a-b就是無(wú)理數(shù)；

(2)當(dāng)雄0時(shí)，a?b,；是無(wú)理數(shù).

b

有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)，即

有限小數(shù)）有理數(shù)

實(shí)數(shù)（小數(shù)…俄環(huán)小數(shù)

L無(wú)限小數(shù)?不循環(huán)小數(shù)一無(wú)理數(shù)

在實(shí)數(shù)集內(nèi)，沒(méi)有最小的實(shí)數(shù),也沒(méi)有最大的實(shí)數(shù).任意兩個(gè)實(shí)數(shù),可以比

較大小.全體實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的所有點(diǎn)就是一一對(duì)應(yīng)的.在實(shí)數(shù)集內(nèi)進(jìn)行加、減、

乘、除（除數(shù)不為零）運(yùn)算，其結(jié)果仍就是實(shí)數(shù)（即實(shí)數(shù)對(duì)四則運(yùn)算的封閉性）.任

一實(shí)數(shù)都可以開(kāi)奇次方,其結(jié)果仍就是實(shí)數(shù);只有當(dāng)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí),才能

開(kāi)偶次方,其結(jié)果仍就是實(shí)數(shù).

例2

要證明所給的數(shù)能表示成巴（m,n為整數(shù)，n盧0）的形式，關(guān)鍵

n

是要證明門(mén)二!22:25是完全平方數(shù).

（n-1）個(gè)/個(gè)

證

11-122-25

(?1)個(gè)n個(gè)

=ll-lX10n+1+22-2X10+5

M-1)個(gè)n個(gè)

10"1Z10n-1

=---x10n+1+2X——X10+5

99

=](10孰-l()n+i+2X10如+1-20+45

=1(10^+10X10"+25)=1(10n+5)2

所以

13

1M22-25=10n+5'

6-1）個(gè)1vt

因?yàn)?0"+5與列為整數(shù)，所以「乂是有理數(shù).

I<V—?

y（n-1）個(gè)八個(gè)

例3證明應(yīng)是無(wú)理數(shù).

分析要證明一個(gè)實(shí)數(shù)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)就是一件極難辦到的事.由于有

理數(shù)與無(wú)理數(shù)共同組成了實(shí)數(shù)集,且二者就是矛盾的兩個(gè)對(duì)立面,所以,判定一

個(gè)實(shí)數(shù)就是無(wú)理數(shù)時(shí),常常采用反證法.

證用反證法.

假設(shè)立不是無(wú)理數(shù)，所以應(yīng)必為有理數(shù).設(shè)、泛=

巳（p,q是互質(zhì)的自然數(shù)），兩邊平方有

q

p2=2q2,①

所以P一定就是偶數(shù).設(shè)p=2m（m就是自然數(shù)），代入①得

4m-=2qJ,q2=2m2,

所以q也是偶數(shù).p,q均為偶數(shù)和p與q互質(zhì)矛盾，所以或不是有理

數(shù)，于是、也是無(wú)理數(shù).

說(shuō)明只要p是質(zhì)數(shù)，石就一定是無(wú)理數(shù)，這個(gè)結(jié)論的證明并不

困難，請(qǐng)同學(xué)們自己完成.

例4若ai+ha=az+bza（其中&,a-b”bz為有理數(shù),a為無(wú)理數(shù)）,則&=a“匕=上,

反之,亦成立.

分析設(shè)法將等式變形,利用有理數(shù)不能等于無(wú)理數(shù)來(lái)證明.

證將原式變形為（bi-b2）a=a2-a“若bHb”則

a2-a

a=

b1-b2,

因?yàn)閍是無(wú)理數(shù)，而善?是有理數(shù)，矛盾.所以必有瓦=匕，進(jìn)而

瓦-b?

#aj=a2.

反之,顯然成立.

說(shuō)明本例的結(jié)論就是一個(gè)常用的重要運(yùn)算性質(zhì).

例5與b是兩個(gè)不相等的有理數(shù)，試判斷實(shí)數(shù)產(chǎn)?是有理數(shù)還

b+#就是無(wú)

理數(shù),并說(shuō)明理由.

解假設(shè)”是有理數(shù)，設(shè)其為A,即

b+43

a+y/3

----亨=A.

b+舊

整理得

a+73=Ab+A^.

由例4知

a=Ab,1=A,

即，=h這與已知arb矛盾.所■假設(shè)名是有理數(shù)錯(cuò)誤’故

a+聒

是無(wú)理數(shù).

b+g

說(shuō)明本例并未給出確定結(jié)論,需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結(jié)

論.解這樣的問(wèn)題時(shí)，可以先找到一個(gè)立足點(diǎn)，如本例以為

b+6有理數(shù)作

為立足點(diǎn)，以其作為推理的基礎(chǔ).

例6已知a,b就是兩個(gè)任意有理數(shù),且a<b,求證:a與b之間存在著無(wú)窮

多個(gè)有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性).

分析只要構(gòu)造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明.

證因?yàn)閍<b,所以2a<a+b<2b,所以

a〈孚<b.

2

設(shè)a】=與2，a]顯然是有理數(shù)(因?yàn)閍,b為有理數(shù))?因?yàn)閍1<b,

所以，同理可證a1<竽<b.設(shè)的=竽，a?顯然也是有理數(shù).

依此類(lèi)推，設(shè)「宇，n為任意自然數(shù)，則有a<a]<a?<…<a^

<-<b,且為有理數(shù)，所以在閑b之間存在無(wú)窮多個(gè)有理數(shù).

說(shuō)明構(gòu)造具有某種性質(zhì)的一個(gè)數(shù)，或一個(gè)式子，以達(dá)到解題與證明的目的,

就是經(jīng)常運(yùn)用的一種數(shù)學(xué)建模的思想方法.

例7已知a,b就是兩個(gè)任意有理數(shù),且aVb,問(wèn)就是否存在無(wú)理數(shù)a，使得

a<a<b成立？

解因?yàn)閍<b,72-1>0,所以

(72-l)a<(72-l)b,

即72a<(V2-l)b+a.①

又因?yàn)閍〈b=b+、②)-、廄，所以

a+72b-b<72b,

即

(72-l)b+a<^/2b②

由①，②有

(V2-l)b+a<V^b,

所以a<或一詈+一<b.

V2

(、也-l)b+a2b+V2(a-b)…(a-b)內(nèi)

取"一忑—=-2-------b+丁?聲

因?yàn)閎,呼是有理數(shù)，且學(xué)壬0,所以b+與?正是無(wú)理數(shù)，即

222存

在無(wú)理數(shù)a，使得a<a<b成立.

例8已知數(shù)、陽(yáng)的小數(shù)部分是b,求

b'+12b3+37b2+6b-20

的值.

分析因?yàn)闊o(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),所以不可能把一個(gè)無(wú)理數(shù)的小數(shù)

部分一位一位確定下來(lái),這樣涉及無(wú)理數(shù)小數(shù)部分的計(jì)算題,往往就是先估計(jì)

它的整數(shù)部分(這就是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法.

解因?yàn)?<14<16,即3〈、危<4,所以?xún)?nèi)的整數(shù)部分為3.設(shè)

714=3+b,兩邊平方得

14=9+6b+b2,所以b2+6b=5.

b4+12b3+37b2+6b-20

=(b'+2?6b3+36b2)+(b2+6b)-20

=(b2+6b)2+(b2+6b)-20

=52+5-20=10.

例9求滿(mǎn)足條件

7a-276=G-后

的自然數(shù)a,x,y.

解將原式兩邊平方得

a-2^6=x+y-2^<y(!)

顯然，a-2擊是無(wú)理數(shù).假設(shè)歷是有理數(shù)，則x+y-2歷是有理數(shù),

這與①式矛盾，所以而必為無(wú)理數(shù).

由①式變形為

x+y-a=2(、阮歷).

假設(shè)x+y-a盧0,則用必為三鹿有理數(shù)，設(shè)為k(kAO),即

7^-76=k,所以有

^/xy=#+k.

兩邊平方得

xy=6+2k病+k2,

所以2k、歷=xy-6-k-

因?yàn)閗盧。，所以2k我是無(wú)理數(shù)，而xy-6-I?是有理數(shù)，矛盾.所以

x+y-a=-、歷=0.

=6.

又因?yàn)椤⒎?6=Ja-2人〉0,所以x〉y,所以滿(mǎn)足條件的自然數(shù)為

：x=6,y=1,a=7或x=3,y=2,a=5.

例10設(shè)a.就是12+2斗3斗…+設(shè)的個(gè)位數(shù)字,n=l,2,3,…,求證：0、&&&???

&…就是有理數(shù).

分析有理數(shù)的另一個(gè)定義就是循環(huán)小數(shù),即凡有理數(shù)都就是循環(huán)小數(shù)，反

之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù).所以,要證0、aaara“…就是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)

小數(shù).因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手.

證計(jì)算a,的前若干個(gè)值，尋找規(guī)

律：1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,1,5,4,0,5,1,0,4,…發(fā)

現(xiàn)：am=0,a21=a1,a22=a2,a23=a3,???,于就是猜想：照尸①，若此式成立,說(shuō)明0、a,a?…

aj??就是由20個(gè)數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即

0,aia2-an-=0.15405104556095065900.

下面證明ak.20=ak.

令f(n)=l2+22+-+n2,當(dāng)f(n+20)-f(n)就是10的倍數(shù)時(shí),表明f(n+20)與f(n)

有相同的個(gè)位數(shù)，而

f(n+20)-f(n)

=(n+l)2+(n+2)2+-+(n+20)2

=10(24+乎?n)+(P+2?+…+20%

由前面計(jì)算的若干值可知：142。+…+20。就是10的倍數(shù)，故&儂=四成立,所以

0、a'a?！璦"…就是一個(gè)有理數(shù).

練習(xí)三

1.下列各數(shù)中哪些就是有理數(shù),哪些就是無(wú)理數(shù)？為什么？

0.0213,0.07J,糕",e?2.71828…,

-3.1415926,-6,281,-712.

2.證明：是有理數(shù).

3.比較、也+/與心+而的大小.

4.證明：、月是無(wú)理數(shù).

5.設(shè)a,8為有理數(shù)，丫為無(wú)理數(shù)，若a+B丫=0,求證：

a=0=0.

6.設(shè)5-3的小數(shù)部分為a,5+后的小數(shù)部分為b,求(a-l)(b

+2)的值.

第四講分式的化簡(jiǎn)與求值

分式的有關(guān)概念與性質(zhì)與分?jǐn)?shù)相類(lèi)似,例如,分式的分母的值不能就是零,

即分式只有在分母不等于零時(shí)才有意義;也像分?jǐn)?shù)一樣，分式的分子與分母都

乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變,這一性質(zhì)就是分式運(yùn)算

中通分與約分的理論根據(jù).在分式運(yùn)算中，主要就是通過(guò)約分與通分來(lái)化簡(jiǎn)分

式,從而對(duì)分式進(jìn)行求值.除此之外,還要根據(jù)分式的具體特征靈活變形，以使

問(wèn)題得到迅速準(zhǔn)確的解答.本講主要介紹分式的化簡(jiǎn)與求值.

例1化簡(jiǎn)分式：

222

2a2+-3-a--+-2-----a------a----5----3-a------4-a----5----2--a-+--8-a--+--5-------

a+1a+2a-2a-3

分析直接通分計(jì)算較繁,先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之與的形式,

再化簡(jiǎn)將簡(jiǎn)便得多.

=L(2a+l)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]

+---1------1----+1------1--------

a+1a+2a-2a-3

1-----1-----1-+.....1....------

a+1a+2a-2a-3

1-1

(a+l)(a+2)+(a-2)(a-3)

(a-2)(a-3)-(a+1)(a+2)

(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)

-8a+4

(a+l)(a+2Xa-2)(a-3)

說(shuō)明本題的關(guān)鍵就是正確地將假分式寫(xiě)成整式與真分式之與的形式.

例2求分式

1124816

1~a1+a1+a21+a1+a81+a16

當(dāng)a=2時(shí)的值.

分析與解先化簡(jiǎn)再求值.直接通分較復(fù)雜,注意到平方差公式:

a2-b-(a+b)(a-b),

可將分式分步通分,每一步只通分左邊兩項(xiàng).

京T_(l+a)+(l-a),2.4,8,16

原用一(l-a)(l+a)ETTZTTZ

224816

1-a21+a21+a41+a81+a”

_2(1+a2)+2(1-a2)4816

二(l-a2)(l+a2)+1+a4+1+a8+1+a16

4,4,8,16

=-：r+7~~r+,,8+7—-is-

1-a1+a1+a1+a

=---8----+----8----+---1-6----=---1--6---4----1--6---

1-a81+a81+a161-a161+a16

3232

例3若abc=l,求ab+a+1be+b+1ca+c+1

分析本題可將分式通分后,再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，但較復(fù)雜.下面介紹幾種簡(jiǎn)

單的解法.

解法1因?yàn)閍bc=l,所以a,b,c都不為零.

原m式i=----a---+-a?----b----+——ab?----c----

ab+a+1abe+b+1abca+c+1

aababc

=-----------+---------------+------------------

ab+a+1abc+ab+aabca+abc+ab

aab1

------------+-------------+-------------

ab+a+11+ab+aa+1+ab

a+ab+1.

------------=1.

ab+a+1

解法2因?yàn)閍bc=l,所以aWO,bWO,cWO.

abbc

原式=---------------+-------------+-?

ab+a+abcbe+b+1bca+c+1

1bbe

------------+-------------

b+1+bcbe+b+1bca+bc+b

1bbe

------------+-------------=1.

b+1+bcbe+b+11+be+b

解法3由abc=l,得a=J,將之代入原式

be

1

bc

原式=7------—+

be+b+11

—?b+—+1c?—+c+1

bebebe

1bbe

------------+-------------+-------------=1.

b+1+bcbe+b+11+be+b

例4化簡(jiǎn)分式:

1]]

x2+3x+2x2+5x+6x2+7x+12

分析與解三個(gè)分式一齊通分運(yùn)算量大,可先將每個(gè)分式的分母分解因式,

然后再化簡(jiǎn).

(x+2)(x+l)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+4)

111111

X+1x+2，x+2x+3，x+3X+4,

__1__—1,=_____3____

X+1X+4X2+5x+4'

說(shuō)明

本題在將每個(gè)分式的分母因式分解后，各個(gè)分式具有

，+、J++1、的一般形式,與分式運(yùn)算的通分思想方法相反，我們

將上式拆成‘與'兩項(xiàng)，這樣，前后兩個(gè)分式中就有可以相

互消掉的一對(duì)相反數(shù)，這種化簡(jiǎn)的方法叫"拆項(xiàng)相消”法，它就是分式化簡(jiǎn)

中常用的技巧.

例5化簡(jiǎn)計(jì)算(式中a,b,c兩兩不相等)：

2a-b-c+2b-c-a+2c-a-b

a2-ab-ac+beb2-ab-be+acc2-ac-be+ab

分析本題關(guān)鍵是搞清分式產(chǎn)：…”的變形,其他兩項(xiàng)是類(lèi)一g

a-ab-ac+bc似的，

對(duì)于這個(gè)分式,顯然分母可以分解因式為(a-b)(a-c),而分子又恰好湊成

(a-b)+(a-c),因此有下面的解法.

解

(a-b)+(a-c)(b-c)+(b-a)(c-a)+(c-b)

原式=

(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c_a)(c_b)

1111

------+L+——+------+——+—=0.

a-ca-bb-ab-cc-bc-a

說(shuō)明本例也就是采取“拆項(xiàng)相消”法，所不同的就是利用

誓T+那變形技巧.

例6已知：x+y+z=3a(aW0,且x,y,z不全相等)，求

(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)

的值.

(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2

分析本題字母多，分式復(fù)雜.若把條件寫(xiě)成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么題

目只與x-a,y-a,z-a有關(guān)，為簡(jiǎn)化計(jì)算,可用換元法求解.

解令x-a=u,y-a=v,z-a=w,則分式變?yōu)?/p>

?。?弓,且由已知有u+v+w=0.將u+v+w=0兩邊平方得

U+V+W

/丫2+*+2(uv+vw+wu)=0.

由于x,y,z不全相等,所以u(píng),v,w不全為零,所以u(píng)2+v2+r^0,從而有

UV+VW+WU_1

u2+v2+w2="2,

即所求分式的值為-1.

說(shuō)明從本例中可以瞧此換元法可以減少字母?jìng)€(gè)數(shù)，使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化.

例7化簡(jiǎn)分式:

211o

X+—y-X--+3

(X+1)2-11______XX

X+------------------Z-

X11~~~12

2

1-X------x+-T-2x—+3

Xx2x

分析原式中只出現(xiàn)了S和二1的形式，而且X2+4=(X+

XXX

》2-2,因此可