2023北京市各城區(qū)二模數(shù)學(xué)（文科）分類匯編之立體幾何含答案【豐臺(tái)二模】（17）（本小題共14分）如圖，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，平面，，平面與棱交于點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求證：．（17）（本小題共14分）證明：（Ⅰ）因?yàn)槠矫?，所以．?分因?yàn)椤髦?，，是的中點(diǎn)，所以．…2分因?yàn)?，?分所以平面．…4分所以．…5分（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，因?yàn)槠矫?，所以．?分由（Ⅰ）知．因?yàn)?，?分所以平面．…8分因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?分（Ⅲ）因?yàn)樵谌庵?，?cè)面為平行四邊形，所以．…10分因?yàn)槠矫?，平面，?1分所以平面．…12分因?yàn)槠矫?，且平面平面，……?3分所以．…14分【朝陽二?！?8.（本小題滿分13分）如圖,在四棱錐中,是等腰三角形,且.四邊形是直角梯形,,,,,.（Ⅰ）求證:平面;（Ⅱ）當(dāng)平面平面時(shí),求四棱錐的體積;（Ⅲ）請?jiān)趫D中所給的五個(gè)點(diǎn)中找出兩個(gè)點(diǎn),使得這兩點(diǎn)所在的直線與直線垂直,并給出證明.解析:（Ⅰ）因?yàn)?平面,平面所以平面（Ⅱ）在梯形中,過點(diǎn)作于,取中點(diǎn),連接,因?yàn)樗栽谥?,因?yàn)槊婷?面面所以面因?yàn)?,所以在中,,因?yàn)樗匀〉闹悬c(diǎn),連接因?yàn)?所以,則因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,所以平面則四棱錐的體積為:（Ⅲ）點(diǎn)和點(diǎn),連接和則,平分,所以又,平面,平面,所以平面,平面,所以即證點(diǎn)和點(diǎn)所在的直線與直線垂直.【東城二?！浚?8）（本小題14分）如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？說明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱中，因?yàn)閭?cè)棱垂直于底面，所以平面．所以．因?yàn)?，，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．……?分（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，．則∥，且，又因?yàn)椤危?，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形．所以∥．又平面，平面，所以∥平面．……?0分（Ⅲ）在棱上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)．連接．在正方形中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以△≌△．所以．所以．由（Ⅰ）可得平面，因?yàn)?/，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．……?4分QUOTE【西城二?！浚?8．（本小題滿分14分）如圖，梯形所在的平面與等腰梯形所在的平面互相垂直，，，為的中點(diǎn)．，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求多面體的體積．18．（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以．…?分因?yàn)槠矫?，…?分所以平面．……4分（Ⅱ）連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，所以平面，所以．……………?分因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且；，且，所以四邊形和四邊形均為平行四邊形．所以，所以．………………7分因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所以．……………?分所以平面．………………9分所以平面平面．………………10分（Ⅲ）設(shè)．由（Ⅰ）得，所以平面，由（Ⅱ）得，所以平面，所以平面平面，所以幾何體是三棱柱．………………11分由（Ⅱ）得平面．所以多面體的體積………………12分．………………14分【海淀二?！浚?7）（本小題14分）如圖，已知菱形的對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).將三角形沿線段折起到的位置，如圖2所示.（Ⅰ）求證：平面；；（Ⅱ）證明：平面平面；（Ⅲ）在線段上是否分別存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，請說明理由.17．（本小題14分）（Ⅰ）證明：折疊前，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以；所以折疊后，,又平面，所以平面…4分（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.所以四邊形為平行四邊形.所以.又由（Ⅰ）得，平面,所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?…9分（Ⅲ）存在滿足條件的點(diǎn),且分別是和的中點(diǎn).如圖，分別取和的中點(diǎn).連接.因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?所以四邊形為平行四邊形.所以.在中，分別為中點(diǎn)，所以.又平面,平面,所以平面平面.…14分【昌平二模】18.（本小題14分）如圖，四邊形是正方形，平面平面，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（III）求三棱錐D-FEB的體積.18.（共14分）證明：（I）因?yàn)檎叫蜛BCD,所以.又因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,平面ABEF,所以平面ABCD.又因?yàn)槠矫鍭BCD.故AC.又因?yàn)椋云矫?--------------------5分（II）取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG,FG，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．則OG//BE，且．由已知AF//BE，且，則且，所以四邊形AOGF為平行四邊形，所以AO//FG，即AC//FG．因?yàn)槠矫?，平面DEF，所以AC//平面DEF．--------------------10分（III）因?yàn)槠矫嫫矫?，四邊形是正方形，平面ABEF平面ABCD=AB,所以.由（I）知，平面ABCD，平面所以所以平面BEF.所以.--------------------14分【順義二?！?8.（本小題滿分13分）如圖,直三棱柱的側(cè)棱長為1,,是的中點(diǎn)..（Ⅰ）求證:平面;（Ⅱ）求證:平面;（Ⅲ）求三棱錐的體積.【房山二?！浚?8）（本小題分）如圖，正六邊形的邊長為，為中心，為的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得平面平面，如圖.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求幾何體的體積；圖圖（