畢業(yè)論文文獻綜述數學與應用數學無窮級數的應用一、 前言部分無窮級數是序列的一種特殊形式「I一方面它的特殊結構使得有關級數收斂性及其求和的問題得到深入的研究，另一方面由于作為表達函數的一種工具，具有一些明顯的優(yōu)勢。無窮級數又稱為數項級數簡稱為級數是序列的一種特殊形式，定義如下:給定一個序列{a}，用祝a(p<q)來表示a+a +???+a的和，一般的就把Za稱為無窮級數(1~9］。n n p p+1 q nn—p由這種關系可知，級數的一些性質實際上只是序列的性質的另一種表述，然而級數這一種新的形式為理論的展開提供了特別有效的途徑，比如積分的計算［1~9］以及發(fā)散到其他領域的結論如拓撲學［10］。此外在函數表達上利用比較簡單的函數形式，逼近比較復雜的函數，這一點使得無窮級數在很多情況下是不可替代的。二、 主題部分一，無窮級數的歷史背景無窮級數思想的起源可以延續(xù)到公元前，古希臘的學者芝諾的二分法涉及到把1分解成1111無窮級數二+=+=+—+…，古代中國的”一尺之棰，日取其半"［11］也含有類似的思想，2 22 23 24但是級數最早被發(fā)現并研究于中世紀(14至16世紀)的印度的咯拉拉學校，該校的學者馬德哈瓦(Madhava)和尼拉坎特哈(Nilakantha)，之后由造訪印度的精通數學的耶穌會傳教士帶到了歐洲，并和牛頓的微積分緊密的結合在一起［11~12］。隨著歐洲數學的不斷發(fā)展，無窮級數也出現了許多新的內容。首先應運而生的是級數收斂性質的各種判別法，從最簡單的正數項級數比式判別法和根式判別法到拉貝判別法，之后在一般項級數中出現了級數不收斂的現象，又產生了一個絕對收斂的概念［1~9］。級數的概念產生之后，首先出現并急待解決的問題就是級數的一系列性質包括級數本身的運算［13~14］，而這里面比較重要的就是級數的收斂性，最普通的有級數收斂的柯西準則:級數收斂的充要條件是，任給的一個正數8，總存在正整數N，使得當m>N以及對任意的正整數p，都有|%】+um心+???+〃*「〈J"］。這是級數收斂的一般判別方法，對于正數項級數，又產生了新的收斂判斷方法:達朗貝爾判別法和柯西判別法，以上又可稱為比式判別法和根式判別法［1~9］。之后由正數項級數的特點更衍生出了一個比較簡單的比較原則：設￡un和￡vn是兩個正項級數，如果存在某正數N，對一切n>N都有七<Vn，則：(i)若級數￡v〃收斂，則級數￡七也收斂，(ii諾級數￡un發(fā)散，則級數￡vn也發(fā)散，［1~9］。這個方法使得快速判斷簡單級數的斂散性成為可能，之后在一般項級數中出現的交錯級數，絕對收斂級數以及應運而生的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法1~10］完善了數項級數的斂散性討論。在把函數應用在數項級數的思想中之后，又出現了函數項級數，同樣的是討論了函數項級數的斂散性之后得出了判斷方法，不同的在于函數項級數出現了一個特殊的一致收斂性質:設函數列｛f｝與函數f定義在同一數集D上，若對任給的正數8，總存在某一正n整數N，使得當n>N時，對一切xeD，都有If(x)-f(x)l<￡，則稱函數列｛f｝在Dn n上一致收斂于f［1~9］。一致收斂性是由于函數項級數的特殊性擁有的性質.函數在級數中的應用在發(fā)散到特殊函數時，產生的一個新的級數稱為冪級數這一過程，大大的擴展了級數的應用性，冪級數是由冪級數列S(X-x)n｝所產生的函數項級數芝a(x-x)n［1~9］，冪級數n 0 n 0n=0的研究與其他級數的研究一樣，在討論了斂散性之后更加注重于它的應用，也是級數真正開始跨領域應用的開始:函數的冪級數展開，這一點使得級數能夠以較簡單的方法來表達更復雜的函數，換言之就是為函數多了一種表達方式，這使得級數在某種程度上完全和函數掛鉤，使得求函數的問題轉化為求級數的問題，級數在函數中的另一應用體現在特殊坐標系下的函數，如三角函數(傅里葉級數)［1~9］。至此，級數思想在其他數學領域開始發(fā)揮越來越大的作用。二，無窮級數在積分計算中的應用無窮級數在積分中的運算主要是運用無窮求和的思想，來進一步的研究在級數下的無窮和，定積分的提出和解決就用到了級數，在曲邊梯形中，用已知的直邊梯形求解法已經不適用了，因此提出了”分割，近似求和，取極限"［1］的解決方法，這就是后來發(fā)展出來的定積分的概念背景，首先有區(qū)間的分割，再到函數的分割，而面積就接近于頂邊函數和底邊函數在分割之后產生的無窮多個長方形的和，具體的定義如下定義1設閉區(qū)間［a,b］上有n-1個點，依次為a=x0<x1<x2<???<x1<x=b,它們把［a,b］分割成n個小區(qū)間A^=［x.-1?xji=1,2,…,n。這些閉子區(qū)間構成對［a,b］的一個分割，記為T={A,A，…,A}，小區(qū)間A.的長度為Ax=x-x，并記IIT11=max{Ax}12n l ii i-1 1<i<n '為分割T的模［1~9］。區(qū)間的分割僅僅是函數分割的一個思想發(fā)源，把這種無窮分割求和的方法作用在函數中后就有了如下定義定義2設f是定義在［a,b］上的一個函數，對于［a,b］的一個分割T={A1,A廠、A」任取點&產A,,i=1,2,??n并作合式￡f(&i)Ax’稱此式為函數f在［a,b］上的一個積分i=1和，，也稱黎曼和［1~9］。這個定義為下面定積分定義的出現做了充足的鋪墊：定義3設f是定義在［a,b］上的一個函數，J是一個確定的實數，若對任給的正數8，總存在某一正數5，使得對［a,b］的任何分割T，以及在其上任意選取的點集{&J，只要IITII<5，就有1￡f(&「￥一J|<8，則稱函數f在區(qū)間［a,b］上可積，數J稱為函數f在i=1區(qū)間［a,b］上的定積分［1~9］，至此，定積分的抽象概念已經完整的敘述出來，由此可見定積分的幾何意義就是對于在區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數f，當f(x)>0,xg［a,b］時，定積分J就是該函數f與x軸所圍成的所有封閉圖形的面積，這里要注意一點，函數在x軸下的部分所圍成的圖形面積與實際所得的結果J稱相反數［1~9］。此外由定積分這種性質推導到普通積分中，級數也有另外的作用。然而積分和的極限與函數的極限之間存在很大的差別，:在函數極限limf(x)中，對每一個極限變量x來說，f(x)x^a的值是唯一確定的，而對于積分和的極限而言，每一個ITII并不唯一對應積分和的一個值，這使得積分和的極限要比通常的函數極限復雜得多［1~9］。三，無窮級數在困難函數表達中的作用無窮級數在困難函數的表達中主要是把所給出的復雜的函數通過級數的形式化成較簡單的函數形式，再加以解決，這里就必須要用到無窮級數中函數的冪級數展開，而關于一個函數在一個點的展開式在導數和積分之后便有提及，對于一般函數f設它在點氣存在直到〃階的導數，由這些導數構造一個n次多項式f'3) f"(尤) f(n)3)z、T(x)_f(x)+ 卜(x_x)+ 卜(x_x)2+???+ 卜(x_x)nTOC\o"1-5"\h\zn 0 1! 0 2! 0 n! 0稱為函數f在點xo處的泰勒多項式［1~7］，而在積分的實際運算中只考慮x0=0的情況，因此，泰勒展開式又可以簡化為f'(x) f"(x) f(n)(x)T(x)=f(x)+ 卜x+ 卜x2+ + 1xnn 0 1! 2! n!又稱為麥克勞林公式［1~7］，至此，一些復雜函數積分的計算就可以得到簡化，比如"一t初J［￡(_1)n擋］d=XiR2ndt=E014

0 0 n! n!° n!(2n+1)n=0 n=0 n=0但是，這種方法有一個前提，即函數的級數表達式必須收斂于函數本身，而對任意的f在點x0具有任意階導數，則其在(x0—r,x0+r)內等于其級數的和函數的充分條件是"對一切滿足不等式Ix-x。l<r的x，有l(wèi)imR(x)=0"［1~］，即泰勒公式的余項要趨于0，這就把nT8級數在積分中的應用局限在一個范圍內，而對于其他范圍之外的復雜函數，級數的這種表達方式就無能為力了。而由于函數的多項性，泰勒公式在微分幾何的向量函數一部分中也有很大的用處［14］。三、總結部分無窮級數并不是近代最新出現的，作為一個有上百年歷史的數學概念，它本身的研究并不是十分多，這是因為它僅僅是從數列中引申出來的一個概念，比它本身更重要的是這一種數學思想〃分割，近似求和，取極限〃這種概念是數學史上的一種創(chuàng)新，因為難度不大，應用廣，所以比無窮級數的性質利用更多的是在它的基礎上衍生出來的思想方法以及類似的問題處理方法。因此無窮級數的性質僅僅在討論斂散性之后就少有討論，而研究的主方向放在了這種思想方法的應用上，比如后面出現的函數項級數，包括函數項級數中又出現的一致收斂性，再后面，出現了特殊的函數項級數:冪級數。冪級數的出現為級數的應用又打開了一扇新的大門，從函數項級數到冪級數的研究，使得函數這一復雜的數學形式得以在冪級數的形勢下加以研究，這得益于函數的冪級數展開，在這基礎之上，特殊坐標系下的函數也得以解放出來，比如三角坐標系中三角函數級數，之后又引申到周期函數級數以及奇偶性函數級數。而級數思想的另一體現是結合微分和積分，在這一廣大領域中，發(fā)揮了很大的作用，從積分定義的產生，到利用積分求平面不規(guī)則圖形的面積，還有空間圖形的面積之后發(fā)散到泛函等等領域，由此可見，級數的思想在數學中有著相當重要的地位，然而級數自身的局限性，應用的條件要求使得它并不是萬能的數學工具，因此級數在以上領域繼續(xù)發(fā)展之后應該在特殊局限的地方還有討論的余地，其他的數學方法在級數中的應用也能令級數散發(fā)出新的生命力，使級數與微積分學一起成為數學分析的兩大支柱。四、參考文獻華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.歐陽光中，朱學炎，金福臨等.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.菲赫金哥爾茨?微積分學教程（第八版）[M].北京：高等教育出版社，2006.朱永忠.高等數學[M].科學出版社，2009.唐月紅，曹榮美，王正盛.高等數學[M].科學出版社，2009.裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993.胡適耕，姚云飛.數學分析-定理.問題.方法[M].北京：科學出版社，2007.WalterRudin.PrinciplesofMathematicalAnalysis（ThirdEdition）[M].Beijing：ChinaMachinePress，2007.何琛，史濟懷，徐森林.數學分析[M].北京：高等教育出版社，1985.JerroldE.Marsden，MichaelJ.Hoffman.ElementaryClassicalAnalysis（Sec