第一章直角三角形的邊角關(guān)系

§1.1從梯子的傾斜程度談起（第一課時）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)系.

2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠

用正切進(jìn)行簡單的計算.

學(xué)習(xí)重點：

1.從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.

2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

學(xué)習(xí)難點：

理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.

學(xué)習(xí)方法：

引導(dǎo)一探索法.

學(xué)習(xí)過程：

一、生活中的數(shù)學(xué)問題：

1、你能比較兩個梯子哪個更陡嗎？你有哪些辦法？

2、生活問題數(shù)學(xué)化：

⑴如圖：梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

⑵以下三組中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？

二、直角三角形的邊與角的關(guān)系（如圖，回答下列問題）

第1頁共145頁

⑴RtZSABiCi和RtZ\AB2c2有什么關(guān)系？

⑵組和有什么關(guān)系？

AC〕AC2

⑶如果改變B2在梯子上的位置（如B3c3）呢?

⑷由此你得出什么結(jié)論？

三、例題：

例1、如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?

例2、^AABC中，ZC=90°,BC=12cm,AB=20cm,

求tanA和tanB的值.

四、隨堂練習(xí)：

1、如圖，4ABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎？

2、如圖，某人從山腳下的點A走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞cB,一知點B到山腳的垂直距離為55m,

第2頁共145頁

求山的坡度.（結(jié)果精確到0.001）

3、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來的位置升高米.

4、菱形的兩條對角線分別是16和12.較長的?條對角線與菱形的?邊

的夾角為9,貝ljtan0=,

5、如圖，RtaABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為

12m,它的坡角為45°,為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡

改造成坡比為1：1.5的斜坡AD,求DB的長.（結(jié)果保留根號）

五、課后練習(xí)：

1、在RtAABC中，ZC=90°,AB=3,BC=1,則tanA=.

2、在aABC中，AB=10,AC=8,BC=6,則tanA=.

3、4AABC中,AB=AC=3,BC=4,則tanC=.

4、在RtaABC中，/C是直角，NA、ZB./C的對邊分別是a、b、c,且a=24,c=25,求tanA、

tanB的值.

5、若三角形三邊的比是25:24:7,求最小角的正切值.

第3頁共145頁

6、如圖,在菱形ABCD中,AE±BC于E,EC=1,tanB=—,求菱形

12

的邊長和四邊形AECD的周長.

3

7、已知:如圖,斜坡AB的傾斜角a,且現(xiàn)有一小球從坡底A處以2。叱的速度向坡頂

B處移動,則小球以多大的速度向上升高?

8、探究：

⑴、a克糖水中有b克糖(a>b>0),則糖的質(zhì)量與糖水質(zhì)量的比為;若再添加c克糖

(c>0),則糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量的比為.生活常識告訴我們：添加的糖完全溶解后,糖

水會更甜，請根據(jù)所列式子及這個生活常識提煉出一個不等式：

⑵、我們知道山坡的坡角越大，則坡越陡，聯(lián)想到課本中的結(jié)論:tanA的值越大，則坡越陡，我

們會得到一個銳角逐漸變大時，它的正切值隨著這個角的變化而變化的規(guī)律，請你寫出這個規(guī)

律:.

⑶、如圖，在RtAABC中,NB=90°,AB=a,BC=b(a>b),延長BA、BC,使AE=CD=c,直線CA、DE

交于點F,請運用(2)中得到的規(guī)律并根據(jù)以上提供的幾何模

型證明你提煉出的不等式./

F

§1.1從梯子的傾斜程度談起(第二課時)

第4頁共145頁

學(xué)習(xí)目標(biāo):

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正弦和余弦的意義.

2.能夠運用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.

4.理解銳角三角函數(shù)的意義.

學(xué)習(xí)重點：

1.理解銳角三角函數(shù)正弦、余弦的意義，并能舉例說明.

2.能用sinA、cosA表示直角三角形兩邊的比.

3.能根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)行簡單的計算.

學(xué)習(xí)難點：

用函數(shù)的觀點理解正弦、余弦和正切.

學(xué)習(xí)方法：

探索——交流法.

學(xué)習(xí)過程：

一、正弦、余弦及三角函數(shù)的定義

想一想：如圖

(1)直角三角形ABG和直角三角形ABC有什么關(guān)系？

AC▼AC也和處呢?

⑵也L和一^有什么關(guān)系?

BABA2BA}BA2

(3)如果改變A?在梯子A,B上的位置呢?你由此可得出什么結(jié)論？

(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什么結(jié)論?

請討論后回答.

二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關(guān)系:

三、例題:

例1、如圖,在RtZXABC中，ZB=90°，AC=200.sinA=0.6,求BC的長.

例2、做一做:

第5頁共145頁

如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,cosA=—，AC=10,AB等于多少？sinB呢?cosB、sinA呢？你

還能得出類似例1的結(jié)論嗎?請用?般式表達(dá).

四、隨堂練習(xí)：

1、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.

4

2、在aABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=20,求AABC的周長和面積.

5

若tanA二」

3、在A^ABC中.ZC=90°則sinA=.

2

4、已知：如圖，CD是RtaABC的斜邊AB上的高，求證：BC?=AB?BD.（用正弦、余弦函數(shù)的定

義證明）

五、課后練習(xí):

第6頁共145頁

3

1、在RtZ\ABC中，/090°,tanA二一，則sinB二,tanB=

4

9

2、在RtAABC中，ZC=90°,AB=41,sinA=—,貝ijAC=_____,BC=.

41

4

3、在AABC中，AB=AC=10,sinC=《，則BC=

4、在AABC中，已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列結(jié)論正確的是（）

333

A.sinA=-B.cosA=—C.tanA=-D.cosB=一

4545

如圖，在aABC中，/C=90°,sinA=3,則變等于（）

5、

5AACC

A一

Bci

4-5-l4

3

6、RtAABC中，ZC=90°,已知cosA=-,那么tanA等于()

5

A.1BTC.-D

345-1

7、在AABC中,ZC=90°,BC=5,AB=13,則sinA的值是

A.AB,”c.-D.U

1313125

8、已知甲、乙兩坡的坡角分別為a、6,若甲坡比乙坡更徒些,則下列結(jié)論正確的是（）

A.tana<tanBB.sina<sinBC.COSQ<cosBD.cosa>cos3

9、如圖，在RtAABC中,CD是斜邊AB上的高,則下列線段的比中不等于

sinA的是()

ACDDDB

A.D.

ACCB嗒

10、某人沿傾斜角為B的斜坡前進(jìn)100m,則他上升的最大高度是（)m

A.1%B.lOOsinPC.D.IOOCOSP

sinpcosp

11、如圖,分別求/a,/B的正弦，余弦，和正切.

12、在ZkABC中，AB=5,BC=13,AD是BC邊上的高,AD=4.求:CD,sinC.

第7頁共145頁

13、在RtAABC中,NBCA=90。，CD是中線,BC=8,CD=5.求sinZACD,cosZACD和tanZACD.

14、在RtZXABC中，/C=90°,sinA和cosB有什么關(guān)系？

4

15、如圖，已知四邊形ABCD中，BC=CD=DB,ZADB=90°,cosZABD=-.

求：SAABD：SABCD

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§1.230°、45°、60°角的三角函數(shù)值

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步體會三

角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

3.能夠根據(jù)30°、45°、60°的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

學(xué)習(xí)重點：

1.探索30°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

2.能夠進(jìn)行含30°、45°、60°角的三角函數(shù)值的計算.

3.比較銳角三角函數(shù)值的大小.

學(xué)習(xí)難點：

進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

學(xué)習(xí)方法：

自主探索法

學(xué)習(xí)過程：

一、問題引入

［問題］為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30°和60°兩個銳角的三角

尺；②皮尺.請你設(shè)計一個測量方案，能測出一棵大樹的高度.

二、新課

［問題］1、觀察一副三角尺，其中有幾個銳角？它們分別等于多少度？

［問題］2、sin300等于多少呢?你是怎樣得到的?與同伴交流.

［問題］3、cos30°等于多少？tan30°呢？

［問題］4、我們求出了30°角的三個三角函數(shù)值，還有兩個特殊角——45°、60°,它們

的三角函數(shù)值分別是多少?你是如何得到的？

結(jié)論：

角函數(shù)

角度sinacoatana

30°

45°

60°

［例1］計算:

(1)sin30°+cos45°；(2)sin"60°+cos2600-tan45°.

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［例2］一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為60°,

且兩邊的投動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結(jié)果精確到

0.01m)

三、隨堂練習(xí)

1.計算：

(1)sin60°-tan45°；(2)cos600+tan60°；

(3)sin450+sin60°-2cos45°；(4)-----------產(chǎn)-----

2sin30°V3+1

(5)(V2+1)'+2sin30°-78；(6)(1+V2)°-Il-sin30°I1+(-)'；

2

⑺sin60°+——-——；(8)2^(V2003+Jt)°-cos60o-———

1-tan60°l-v2

2.某商場有?自動扶梯，其傾斜角為30。.高為7m,扶梯的長度是多少?

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3.如圖為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB=CD=30m,兩樓間的距離AC=24m,現(xiàn)需了解甲樓對

乙樓的采光影響情況.當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30。時，求甲樓的影子在乙樓上一有多高？(精確

到0.1m,V2=?1.41,73=?1.73)

四、課后練習(xí)：

1、RtZiABC中，ZA=60°,c=8,則a=,h—；

2、在AABC中，若c=2ji,b=2,,則tanB=,面積S=；

3、在aABC中，AC：BC=1：M，AB=6,NB=,AC=BC=

4、等腰三角形底邊與底邊上的高的比是2:石，則頂角為()

(A)60°(B)90°(C)120°(D)150°

5、有一個角是30°的直角三角形，斜邊為1c機(jī)，則斜邊上的高為()

V3(D)^-cm

(A)—cm(B)—cm(C)——cm

4242

6、在AA8C中，ZC==90°,若NB=：2NA,則tanA等于()

A/3

(J)V3(B)—(O(Z?)-

3T2

7、如果Na是等邊三角形的個內(nèi)角，那么cosa的值等于().

(/)-(5)—(O—(切1

222

8、某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空

150。1

地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a

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元，則購買這種草皮至少要（）.

(A)450a元(B)225a元(C)150a元(〃)300a元

9、計算:

⑴、sin260°+cos260°⑵、sin60O-2sin30°cos30°

⑶、sin30°-cos245°(4)、2cos45°+*-詞

3cos60°

⑸、行sin60°+限os45°

5sin30°-1

(7)、2sin230°?tan300+cos60°tan60°(8)、sin2450-tan230°

10、請設(shè)計一種方案計算tanl5°的值。

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§1.4船有觸礁的危險嗎

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.

2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)

果的意義進(jìn)行說明.

學(xué)習(xí)重點：

1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.

2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.

學(xué)習(xí)難點：

根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖.

學(xué)習(xí)方法：

探索——發(fā)現(xiàn)法

學(xué)習(xí)過程：

一、問題引入：

海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西

55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，

你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流.

二、解決問題：

1、如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°,再往塔的方向前進(jìn)50m

至B處.測得仰角為60。.那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1m）

D

2、某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°,已知原樓梯長為4m，調(diào)整

后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結(jié)果精確到

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三、隨堂練習(xí)

1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=5m,現(xiàn)再在C點上

方2m處加固另一條鋼纜ED,那么鋼纜ED的長度為多少？

2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD.壩頂AD=6m,坡長CD=8m.坡底BC=30m,ZADC=135°.

(1)求/ABC的大小：

(2)如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料？(結(jié)果精確到0.01m3)

3.如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時

的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速

度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響.

(1)問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.

(2)為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物？(供選用數(shù)據(jù)：V2^1.4,

V32.7)

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四、課后練習(xí)：

1.有一攔水壩是等腰樓形，它的上底是6米,下底是10米，高為2百米,求此攔水壩斜坡的坡度

和坡角.

2.如圖，太陽光線與地面成60。角，一棵大樹傾斜后與地面成36°角，這時測得大樹在地面上的

影長約為10米,求大樹的長（精確到0.1米）.

3.如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯,且/QPN=30°,點A處有一所學(xué)校,AP=160米,假設(shè)拖拉

機(jī)行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN的方向行駛時，學(xué)校

是否會受到噪聲影響?請說明理由.

4.如圖,某地為響應(yīng)市政府“形象重于生命”的號召，在甲建筑物上從點A到點E掛一長為30米

的宣傳條幅,在乙建筑物的頂部D點測得條幅頂端A點的仰角為40。，測得條幅底端E的俯角為

26°,求甲、乙兩建筑物的水平距離BC的長（精確到0.1米）.

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5.如圖，小山上有一座鐵塔AB,在D處測得點A的仰角為NADC=60°,點B的仰角為NBDC=45°;

在E處測得A的仰角為NE=30°,并測得DE=90米,求小山高BC和鐵塔高AB（精確到0.1米）.

示,一潛水員在A處以每小時8海里的速度向正東方向劃行,

在A處測得黑匣子B在北偏東60°的方向，劃行半小時后到達(dá)

C處，測得黑匣子B在北偏東30°的方向，在潛水員繼續(xù)向東

劃行多少小時,距離黑匣子B最近,并求最近距離.

7.以申辦2010年冬奧會,需改變哈爾濱市的交通狀況,在大直街拓寬工程中,

要伐掉一棵樹AB,在地面上事先劃定以B為圓心,半徑與AB等長的圓形危險

區(qū),現(xiàn)在某工人站在離B點3米遠(yuǎn)的D處測得樹的頂點A的仰角為60°,樹

的底部B點的俯角為30°,如圖所示，間距離B點8米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危

險區(qū)內(nèi)？

8.如圖，某學(xué)校為了改變辦學(xué)條件,計劃在甲教學(xué)樓的正北方21

米處的一塊空地上（BD=21米），再建一幢與甲教學(xué)等高的乙教學(xué)

甲

乙

教

樓（甲教學(xué)樓的高AB=20米），設(shè)計要求冬至正午時，太陽光線必教

學(xué)

須照射到乙教學(xué)樓距地面5米高的二樓窗口處，已知該地區(qū)冬南學(xué)

樓

樓

至正午時太陽偏南，太陽光線與水平線夾角為30°,試判斷：計

劃所建的乙教學(xué)樓是否符合設(shè)計要求?并說明理由.

9.如圖，兩條帶子,帶子a的寬度為2cm,帶子b的寬度為1cm,它們

相交成a角，如果重疊部分的面積為4cln；求。的度數(shù).

第16頁共145頁

1.5測量物體的高度

1.下表是小明同學(xué)填寫活動報告的部分內(nèi)容：

課題在兩岸近似平行的河段上測量河寬

----------E

測量目

標(biāo)圖示

DAB

測得數(shù)據(jù)ZCAD=60°,AB=30m,ZCBD=45°,ZBDC=90°

請你根據(jù)以上的條件,計算出河寬CD（結(jié)果保留根號）.

2.下面是活動報告的一部分，請?zhí)顚憽皽y得數(shù)據(jù)”和“計算”兩欄中未完成的部分.

課題測量旗桿高

/1

測量示意圖

E

I3D

測量項目第一次第二次平均值

測得數(shù)據(jù)BD的長24.19m23.97m

測傾器的高CD=1.23mCD=L19m

傾斜角a=31°15,"30°45,"31°

計算旗桿高AB（精確到0.1m）

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3.學(xué)習(xí)完本節(jié)內(nèi)容后，某校九年級數(shù)學(xué)老師布置一道利用測傾器測量學(xué)校旗桿高度的活動課題,

下表是小明同學(xué)填寫的活動報告，請你根據(jù)有關(guān)測量數(shù)據(jù)，求旗桿高AB（計算過程填在下表計

算欄內(nèi)，用計算器計算）.

活動報告

課題利用測傾器測量學(xué)校旗桿的高

/1

測量示意圖

Ea(

I3E

BD的長BD=20.00m

測量數(shù)據(jù)測傾器的高CD=1.21m

傾斜角a=28°

旗桿高AB的計算過程（精確到0.1m）

計算

4.某后為促進(jìn)本地經(jīng)濟(jì)發(fā)展，計劃修建跨河大橋，需要測出河的寬度AB,在河邊一座高度為300

米的山頂觀測點D處測得點A,點B的俯角分別為a=30°,B=60。，求河的寬度（精確到0.1

米）

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5.為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：

實踐一:根據(jù)《自然科學(xué)》中光的反射定律,利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如圖(1)的測

量方案:把鏡子放在離樹(AB)8.7(米)的點E處,然后沿著直線BE后退到點D,這時恰好在鏡子

里看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE=2.7米,觀察者目高CD=L6米,請你計算樹AB的高度(精

確到0.1米)

實踐二:提供選用的測量工具有:①皮尺一根;②教學(xué)用三角板一副;③長為2.5米的標(biāo)桿

一根;④高度為1.5米的測角儀一架,請根據(jù)你所設(shè)計的測量方案，回答下列問題：

(1)在你設(shè)計的方案中,選用的測量工具是.一

(2)在圖(2)中畫出你的測量方案示意圖；

(3)你需要測得示意圖中哪些數(shù)據(jù),并分別用a,b,c,a,B等表示測得的數(shù)據(jù)—.

(4)寫出求樹高的算式:AB=

(1)(2)

6.在1:50000的地圖上，查得A點在300m的等高線上,B點在400nl的等高線匕在地圖匕量得AB

的長為2.5cm,若要在A、B之間建一條索道，那么纜索至少要多長？它的傾斜角是多少？

(說明:地圖上量得的AB的長，就是A,B兩點間的水平距離AB',由B向過A且平行于地面的

平面作垂線,垂足為二，連接AB',則/A即是纜索的傾斜角.)

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7、為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)

學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：

實踐-：根據(jù)《自然科學(xué)》中的反射定律，利用

一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計如右示意圖的測量方案：

把鏡子放在離樹（AB）8.7米的點K處，然后沿著直

線跖后退到點，，這是恰好在鏡子里看到樹梢頂點A,

再用皮尺量得〃伊2.7米，觀察者目高81.6米，請

你計算樹的高度.（精確到0.1米）

實踐二：提供選用的測量工具有：①皮尺一根；②教學(xué)用三角板一?副；③長為2.5米的標(biāo)桿

一根；④高度為L5米的測角儀（能測量仰角、俯角A的儀器）

一架。請根據(jù)你所設(shè)計的測量方案，回答下列問題：

（1）在你設(shè)計的方案中，選用的測量工具是（用工JfL

具的序號填寫）_________________________dp

（2）在右圖中畫出你的測量方案示意圖；L

（3）你需要測得示意圖中的哪些數(shù)據(jù)，并分別用a、7777777777777777777^7b、c、Q

等表示測得的數(shù)據(jù)：_

（4）寫出求樹高的算式：AB=_________________________________

第一章回顧與思考

1、等腰三角形的一腰長為6cm,底邊長為66cm,則其底角為（）

A30°B60°C90°D120°

2、某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度i=l:Q,壩外斜坡的坡度i=1:1,則兩個

坡角的和為（）A90°B60°C75°I）105°

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3、如圖，在矩形ABCD中，DE_LAC于E,設(shè)NADE=a

AB=4,則AD的長為().

(A)3(B)—(C)—(D)

33

4、在課外活動上，老師讓同學(xué)們做一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為

450cm2,則對角線所用的竹條至少需().

(A)30行cm(B)30cm(C)60cm(D)60后cm

5、如果口是銳角，且5拘2。+<：0$235°=1,那么1=不

6、如圖，在坡度為1：2的山坡上種樹，要求株距(相鄰兩樹間*.

的水平距離)是6米，斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是米.

7、如圖，P是/a的邊0A上一點，且P點坐標(biāo)為(3,4),則p

sina=,cosa=.p/

8、支離旗桿20米處的地方用測角儀測得旗桿頂?shù)难鼋菫閍,如果測角/

儀高為1.5米.那么旗桿的有為米(用含a的三角比表示).A

9、在RtAABC中/AV/B,CM是斜邊AB上的中線，將AACM沿直線3院”

CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好與AB垂直，那么NA<]0%

等于度.「―/\

io、如圖，某公路路基橫斷面為等腰梯形.按工程設(shè)計要求路面5\

寬度為10米，坡角為55。，路基高度為5.8米，求路基下底寬—9至------------X

(精確到0.1米).

11、“曙光中學(xué)”有一塊三角形形狀的花圃ABC,現(xiàn)可直接測量到NA=3()。,AC=40米，BC=25

米，請你求出這塊花圃的面積.

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12、如圖，在小山的東側(cè)A處有一熱氣球，以每分鐘28米的速度沿著與垂直方向夾角為30。的

方向飛行，半小時后到達(dá)C處，這時氣球上的人發(fā)現(xiàn)，在A處的正西方向有一處著火點B,5分

鐘后，在D處測得著火點B的俯角是15。，求熱氣球升空點A與著火點B的距離.

13、如圖，一勘測人員從B點出發(fā)，沿坡角為15°的坡面以5千米/時的速度行至D點，用了12

分鐘，然后沿坡角為20。的坡面以3千米/時的速度到達(dá)山頂A點，用了10分鐘.求山高（即AC

的長度）及A、B兩點的水平距離（即BC的長度）（精確到

0.01千米）.

14、為申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在大直街拓

寬工程中，要伐掉一棵數(shù)AB,在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與

AB等長的圓形危險區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離B點3米遠(yuǎn)的D處測得樹的頂

端A點的仰角為60°,樹的底部B點的俯角為30°（如圖）.為距離B

點8米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險區(qū)內(nèi)？

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15、如圖，MN表示某引水工程的一段設(shè)計路線，從M到N的走向為南偏東30°.在M的南偏東

60°方向上有一點A,以A為圓心、500m為半徑的圓形區(qū)域為居民區(qū).取MN上另一點B,測得BA

的方向為南偏東75°.己知MB=400m,通過計算回答,如果不改變方向,輸水路線是否會穿過居民

區(qū)？

16、如圖，北部灣海面上，一艘解放軍軍艦正在基地A的正東方向且距A地的正東方向且距A

地40海里的B地訓(xùn)練.突然接到基地命令，要該軍艦前往C島，接送一名病危的漁民到基地醫(yī)院

救治.已知C島在A的北偏東60°方向，且在B的北偏西45°方向，軍艦從B處出發(fā)，平均每小

時行駛20海里，需要多少時間才能把患病漁民送到基地醫(yī)院？（精確到0.1小時）

17、如圖，客輪沿折線A—B—C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速直線航行，將一批物品送達(dá)客輪.兩船

同時起航，并同時到達(dá)折線A—B—C上的某點E處.已知AB=BC=200海里，/ABC=90°,客

輪速度是貨輪速度的2倍.

(1)選擇：兩船相遇之處E點()

A.在線段AB上

B.在線段BC上

C.可以在線段AB上，也可以在線段BC上

(2)求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？(結(jié)果保留根號).

D.

c--------L

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第二章二次函數(shù)

§2.1二次函數(shù)所描述的關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.探索并歸納二次函數(shù)的定義.

2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.

學(xué)習(xí)重點：

1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)關(guān)系的過程，獲得用二次函數(shù)表示變量之間關(guān)系的體驗.

2.能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù).

學(xué)習(xí)難點：

經(jīng)歷探索二次函數(shù)關(guān)系的過程,獲得用二次函數(shù)表示變量之間關(guān)系的體驗.

學(xué)習(xí)方法：

討論探索法.

學(xué)習(xí)過程：

2

[例1]函數(shù)y=(m+2)x'"+2x-l是二次函數(shù)，則m=.

【例2】下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有()

①y=x+—；②y=3(x—1)2+2；③、=(x+3)2—2x2：④y=~f+x.

XX

A.1個B.2個C.3個D.4個

【例3】正方形的邊長是5,若邊長增加x,面積增加y,求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

1、已知正方形的周長為20,若其邊長增加x,面積增加y,求y與x之間的表達(dá)式.

2、已知正方形的周長是x,面積為y,求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式.

3、已知正方形的邊長為x,若邊長增加5,求面積y與x的函數(shù)表達(dá)式.

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【例4】如果人民幣一年定期儲蓄的年利率是x,一年到期后，銀行將本金和利息自動按一年定

期儲蓄轉(zhuǎn)存，到期支取時，銀行將扣除利息的20%作為利息稅.請你寫出兩年后支付時的本息

和y（元）與年利率x的函數(shù)表達(dá)式.

［例5］某商場將進(jìn)價為40元的某種服裝按50元售出時，每天可以售出300套.據(jù)市場調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，這種服裝每提高1元售價，銷量就減少5套，如果商場將售價定為x,請你得出每天銷售利

潤y與售價的函數(shù)表達(dá)式.

【例6】如圖2-1-1,正方形ABCD的邊長為4,P是BC邊上一點，QPLAP交DC于Q,如果

BP=x,4ADQ的面積為y,用含x的代數(shù)式表示y.

【例7】某高科技發(fā)展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，

并投入資金1500萬元，進(jìn)行批量生產(chǎn).已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為40元.在銷售過程中發(fā)現(xiàn),

當(dāng)銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬

件.設(shè)箱售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產(chǎn)成本一投

資）為z（萬元）.

（1）試寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）；（2）試寫Hlz與x之間的函數(shù)

表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）；（3）計算銷售單價為160元時的年獲利，銷售單價還可以定

為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬件？（4）公司計劃：在第一年按年獲利最大確定的銷

售單價，進(jìn)行銷售；第二年年獲利不低于1130萬元.請你借助函數(shù)的大致圖象說明，第二年的

銷售單價x（元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

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【例6】如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關(guān)問

題：

含n的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y,請寫出y與（1）中的n的函數(shù)表達(dá)式（不要求寫

出自變量n的取值范圍）；

（3）按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時n的值；

（4）若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（3）中，共需花多少元購買瓷磚？

（5）是否存在黑瓷磚與白瓷磚相等的情形？請通過計算說明為什么？

課后練習(xí)：

1.已知函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)），當(dāng)a―時，是二次函數(shù)；當(dāng)a_,b—時,

是一次函數(shù)；當(dāng)a—,b―,c—時，是正比例函數(shù).

2

2.當(dāng)m_時，y=（m-2）x”-2是二次函數(shù).

3.已知菱形的?條對角線長為a,另一條對角線為它的百倍，用表達(dá)式表示出菱形的面積

S與對角線a的關(guān)系.

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4.已知：一等腰直角三角形的面積為S,請寫出S與其斜邊長a的關(guān)系表達(dá)式，并分別求

IP,a=l,a=V2,a=2時三角形的面積.

5.在物理學(xué)內(nèi)容中，如果某一物體質(zhì)量為m,它運動時的能量E與它的運動速度v之間的

關(guān)系是氏'mV?（m為定值）.

（1）若物體質(zhì)量為1,填表表示物體在v取下列值時，E的取值:

V12345678

E

（2）若物體的運動速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則它運動時的能量E擴(kuò)大為原來的多少倍?

6.下列不是二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-+4B.y=--x2C.y=6D.y=（x+1）（x-2）

7.函數(shù)y=（m—n）x?+mx+n是二次函數(shù)的條件是（）

A.m^n為常數(shù)，且mWOB.m、n為常數(shù)，且mWn

C.m、n為常數(shù)，且nWOD.m、n可以為任何常數(shù)

8.半徑為3的圓，如果半徑增加2x,則面積S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（）

22

A.S=2n（x+3）B.S=9n+xC.S=4nx+12x+9D.S=4nx?+12x+9n

9.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作二次函數(shù)y=ax?+bx+c（aWO）模型的是（）

A.在一定的距離內(nèi)汽車的行駛速度與行駛時間的關(guān)系

B.我國人口年自然增長率為1%,這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系

C.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回地面，信號彈的高度與時間的關(guān)系（不計空氣阻

力）

D.圓的周長與圓的半徑之間的關(guān)系.

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10.下列函數(shù)中，二次函數(shù)是（)

266

A.y=6x2+1B.y=6x+lC.y=-+lD.y=y+l

11.如圖，校園要建苗圃，其形狀如直角梯形，有兩邊借用夾角為135°的兩面墻，另外兩

邊是總長為30米的鐵柵欄.（1）求梯形的面積y與高x的表達(dá)式；（2）求x的取值范圍.

12.在生活中，我們知道，當(dāng)導(dǎo)線有電流通過時，就會發(fā)熱，它們滿足這樣一個表達(dá)式：

若導(dǎo)線電阻為R，通過的電流強(qiáng)度為1,則導(dǎo)線在單位時間所產(chǎn)生的熱量Q=R『.若某段導(dǎo)線電

阻為0.5歐姆,通過的電流為5安培,則我們可以算出這段導(dǎo)線單位時間產(chǎn)生的熱量Q=.

13.某商人如果將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元出售，每天可銷售100件.現(xiàn)在他采

用提高售出價，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每提高1元，其銷售量就要減少10

件.若他將售出價定為x元，每天所賺利潤為y元，請你寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式？

14.某工廠計劃為?批正方體形狀的產(chǎn)品涂上油漆，若正方體的棱長為a（m）,則正方體

需要涂漆的表面積S（m2）如何表示？

15.⑴已知：如圖菱形ABCD中，ZA=60°,邊長為a,求其面積S與邊長a的函數(shù)表達(dá)

式.

D

8

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⑵菱形ABCD,若兩對角線長a：b=l：6請你用含a的代數(shù)式表示其面積S.

⑶菱形ABCD,ZA=60°,對角線BD=a,求其面積S與a的函數(shù)表達(dá)式.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm.點P從點A開?----C始沿

AB方向向點B以Icm/s的速度移動，同時?，點Q從點B開始沿BC邊向|C以

2cm/s的速度移動.如果P、Q兩點分別到達(dá)B、C兩點停止移動，設(shè)運/動開始

后第t秒鐘時，五邊形APQCD的面積為Scm\寫出S與t的函數(shù)表達(dá)式，I一LA并指出