5.4數(shù)列的應(yīng)用本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修三》第五章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的應(yīng)用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差和等比數(shù)列知識(shí)，本節(jié)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)列知識(shí)與生活中的還款問(wèn)題“乘數(shù)”效應(yīng)等問(wèn)題，建立聯(lián)系。訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的很好的素材。發(fā)展學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.能夠?qū)?shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)列模型,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.(數(shù)學(xué)建模)B.會(huì)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解決分期付款和政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)等問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算).1.數(shù)學(xué)抽象：還款中的數(shù)列模型2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題3.數(shù)學(xué)建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型重點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)列模型解決分期付款和政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)等問(wèn)題.難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的數(shù)列模型多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)情景導(dǎo)學(xué)1.分期還款與數(shù)列探究1.我們知道,當(dāng)償還銀行貸款時(shí)，需要將本金和利息一起償還，分期還款是一種很常見(jiàn)的還款方式，其本質(zhì)是將本金和利息分?jǐn)偟矫恳黄趦斶€.目前,常見(jiàn)的分期還款方式，有“等額本金還款法”，“等額本息還款法”.你能根據(jù)這兩種還款方式的名稱(chēng)猜出他們的不同嗎？如果向銀行貸款本金A0元打算分成m期償還，并且每一期的利率為ra1,a2,…你能寫(xiě)出這兩種還款方法中，第n期所要還的錢(qián)數(shù)an前面我們已經(jīng)看到了數(shù)列的很多應(yīng)用，這一節(jié)我們?cè)偻ㄟ^(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)展示數(shù)列的應(yīng)用。1.等額本金還款法：即將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每期還款金額＝eq\f(貸款本金,還款期數(shù))＋(貸款本金－已還本金總額)×利率二、典例解析例1.自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款200000元租賃了一處經(jīng)營(yíng)場(chǎng)所，因?yàn)轭A(yù)計(jì)前期經(jīng)營(yíng)狀況會(huì)比較好，張華跟銀行的約定按照“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款，貸款的年利率為5%，設(shè)第n

年張華的還款金額為an元，求出an的表達(dá)式，并說(shuō)出數(shù)列{解：因?yàn)槊科谒€本金為20000010=20000因此，第n年以前已還本金總額為20000(nan=可以看出,{an}是一個(gè)遞減的等差數(shù)列“等額本息還款法”是將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還，因此每一期所還的錢(qián)數(shù)相等，即a為了較快地推導(dǎo)出這種方式中每一期所要還的錢(qián)數(shù)，我們先介紹資金的現(xiàn)值與未來(lái)值。探究2.假設(shè)你現(xiàn)在手中有1000元錢(qián)，而且你打算一年以后再使用這筆錢(qián)，那么一年以后這筆錢(qián)所能買(mǎi)到的東西價(jià)值最多只能是1000元嗎？為什么？由此你能得到什么啟發(fā)？因?yàn)榭梢詫⑦@筆錢(qián)存入銀行中，而到期之后銀行會(huì)支付利息，因此一年后使用這筆錢(qián)時(shí)所能買(mǎi)到的東西價(jià)值是不止1000元的。例如，假設(shè)一年定期的存款利率為5%，不計(jì)利息稅，則一年后的本息和為1000即一年后可以買(mǎi)到價(jià)值1050元的東西。換句話(huà)說(shuō)現(xiàn)在的1000元相當(dāng)于一年后的1050元。類(lèi)似地，如果記現(xiàn)在的A0元相當(dāng)于n年后的A元，銀行存款的年利率為r(r>0)且每年結(jié)算一次利息（不計(jì)利息稅，下同）則A0（1+r）n=A,在前面的情境中，如果用“等額本息還款法”進(jìn)行還款，設(shè)貸款時(shí)的資金A0元為現(xiàn)值，且每一期所還錢(qián)數(shù)為第1期所還前的現(xiàn)值為x1+第2期所還錢(qián)的現(xiàn)值為x（……第m期所還錢(qián)的現(xiàn)值為x（最后還款的現(xiàn)值總和為A0x1+r+

x（1+r）又因?yàn)閞>0，所以由等比數(shù)列前x2.等額本息還款法：即將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還．每期還款金額＝A0r（1+r）m（1+r）m例2.剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款5000元購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過(guò)勤工儉學(xué)來(lái)分期還款，小明與銀行約定：每個(gè)月還一次款，在12個(gè)月內(nèi)還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢(qián)數(shù)都相等，貸款的月利率為0.5%，試求出小明每個(gè)月所要還款的錢(qián)數(shù)（精確到0.01元）解：可以看出，小明選擇的還款方式為“等額本息還款法”，因此x=

5000即小明每個(gè)月要還款約430.33元。12+21．本節(jié)課的重點(diǎn)是應(yīng)用數(shù)列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，難點(diǎn)是如何化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是明確題設(shè)信息，利用遞推關(guān)系式方程思想建立等量關(guān)系．2．明確分期付款中的兩種常見(jiàn)方式：等額本金還款法和等額本息還款法，前者為等差數(shù)列模型，后者為等比數(shù)列模型．2.政府支出的乘數(shù)效應(yīng)與數(shù)列

經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯在解釋政府財(cái)政政策時(shí)支出，如果政府的支出增加，那么就會(huì)產(chǎn)生“乘數(shù)”效應(yīng).

例如，政府如果增加道路維修費(fèi)用300億元，那么這筆費(fèi)用將會(huì)使部分居民收入增加，假設(shè)這些居民將收入增加量的75%用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)，25%用于存儲(chǔ)或國(guó)外消費(fèi)，那么國(guó)內(nèi)消費(fèi)的金額將會(huì)產(chǎn)生第2輪影響，其也會(huì)使份部分居民收入增加。收入增加了的居民又將一定比例的收入增加量用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)，因此又會(huì)產(chǎn)生新一輪的影響……假設(shè)每一個(gè)受影響的居民消費(fèi)理念都一樣，那么經(jīng)過(guò)30輪影響之后，最后國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額將會(huì)是300億元的倍數(shù)(最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi))，也就是說(shuō)有了“乘數(shù)”效應(yīng)。事實(shí)上，在這個(gè)例子中，如果設(shè)第n輪消費(fèi)的金額為an第1輪居民用于消費(fèi)的金額為a1=300×75%第2輪居民用于消費(fèi)的金額為a2=a1×75%=300×……第30輪居民用于消費(fèi)的金額為a30=a29×75%=300×因此,經(jīng)過(guò)30輪后，國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額是300+300×75%+300×（75%

）2=

300[1-75%

政府的初始支出為300億元，而國(guó)內(nèi)消費(fèi)最后約為1200億元，因此國(guó)內(nèi)消費(fèi)越是初始支出的4倍。例3.假設(shè)政府增加某項(xiàng)支出100億元，每個(gè)受惠的居民會(huì)將80%的額外收入用于國(guó)內(nèi)消費(fèi)，求經(jīng)過(guò)30輪影響之后，最后的國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額（最初政府支出也算是國(guó)內(nèi)消費(fèi)，結(jié)果精確到1億元）。解：依題意可知，經(jīng)過(guò)30輪影響之后，最后國(guó)內(nèi)消費(fèi)總額為100+100×80%+100×（80%

）2=

100[1-80例4.某些食物中含有一定量的微量元素，當(dāng)人體攝入微量元素之后，微量元素會(huì)隨著尿液、汗液等部分排出。假設(shè)某人每天吃進(jìn)微量元素10

mg，該微量元素每天以10%的比率排出，則30天后在此人體中積累了多少該微量元素？（設(shè)一開(kāi)始某人體內(nèi)該微量元素為0，計(jì)算結(jié)果精確到0.1mg）解：設(shè)第n天時(shí)此人體內(nèi)有微量元素anmg，則第1天此人身體內(nèi)的微量元素為a1=10×(1-第2天，此人身體內(nèi)的微量元素為a2=(a1+10)×(1=10×(1-10%)+10×（第3天，此人身體內(nèi)的微量元素為a3=(a2+10)×(1=10×(1-10%)+10×（1-10第30天，此人身體內(nèi)的微量元素為a30=(a29+10)×(1=10×(1-10%)+10×（1-10%

=

10

×(1

-即30天后在此人身體中積累了約86.2mg的該微量元素。例5.某企業(yè)為一個(gè)高科技項(xiàng)目注入了啟動(dòng)資金1000萬(wàn)元，已知每年可獲利25%，但由于競(jìng)爭(zhēng)激烈，每年年底需從利潤(rùn)中取出200萬(wàn)元資金進(jìn)行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤(rùn)增長(zhǎng)率，設(shè)經(jīng)過(guò)n年之后，該項(xiàng)目的資金為an（1）寫(xiě)出a1的值以及數(shù)列an（2）證明：an-800（3）求出至少要經(jīng)過(guò)多少年，該項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)翻兩番（即為原來(lái)的4倍）的目標(biāo)。（解：(1)由題意知a1=1000×(1+25%)而且an+1=an×(1+25%)-(2)由(1)可知，an+1-800

=54又因?yàn)閍1所以可知an-800≠0，從而可知an-所以an=250×(3)令an≥4000,可得(54)n-1(n-所以(n-1)≥因此n即至少要經(jīng)過(guò)12年,項(xiàng)目的資金才可以達(dá)到或超過(guò)三兩番的目標(biāo).求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件，巧借an及an－1即抓住數(shù)列前后兩項(xiàng)(幾項(xiàng))的數(shù)量關(guān)系，建立遞推關(guān)系an＝pan－1＋q，在此基礎(chǔ)上借助數(shù)列知識(shí)給予解答，常用的方法便是待定系數(shù)法和構(gòu)造等比數(shù)列法.通過(guò)生活中的還款問(wèn)題，引出數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例分析，幫助學(xué)生通過(guò)尋找問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，提升解決問(wèn)題的能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例分析，幫助學(xué)生通過(guò)尋找問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，提升解決問(wèn)題的能力。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)塔尖幾盞燈?”源自明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章算法比類(lèi)大全》,通過(guò)計(jì)算得到的答案是()A.2 B.3 C.4 D.5解析:由題意,設(shè)塔尖有a盞燈,根據(jù)題意,由上往下數(shù)第n層有2n-1a盞燈,所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381,∴a=3.答案:B2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家提出的“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”,它在世界數(shù)學(xué)史上具有光輝的一頁(yè),堪稱(chēng)數(shù)學(xué)史上名垂百世的成就,而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學(xué)家們.定理涉及的是數(shù)的整除問(wèn)題,其數(shù)學(xué)思想在近代數(shù)學(xué)、當(dāng)代密碼學(xué)研究及日常生活中都有著廣泛應(yīng)用,為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn).現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題:將1到2019這2019個(gè)整數(shù)中能被5除余2且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},那么此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()A.58 B.59 C.60 D.61解析:能被5除余2且被7除余2的數(shù)就是能被35除余2的數(shù),故an=2+(n-1)35=35n-33.由an=35n-33≤2019,得n≤58+2235,n∈N+,故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為58答案:A3.某工廠去年12月份的月產(chǎn)量為a,若該廠產(chǎn)量月平均增長(zhǎng)率為p,則今年12月份的月產(chǎn)量比去年同期增加的比率為()A.(1+p)12 B.(1+p)12-1C.(1+p)11 D.12p解析:由題意,今年12月份的月產(chǎn)量為a(1+p)12,則增加的比率為a(1+p)12-aa答案:B4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤.斬末一尺,重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長(zhǎng)5尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤.問(wèn)依次每一尺各重多少斤?”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,…,10),且a1<a2<…<a10,若48ai=5M,則i=()A.6 B.5 C.4 D.7解析:由題意,知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列,記為{an},設(shè)公差為d,則2a1+d=2,2a1∴該金杖的總重量M=10×1516+10×9∵48ai=5M,∴48[1516+(i-1)×18]即39+6i=75,解得i=6.答案:A5.如圖所示,是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序:正方形上連接著一個(gè)等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角邊上再連接正方形,…,如此繼續(xù).若一共能得到1023個(gè)正方形,設(shè)初始正方形的邊長(zhǎng)為2,則最小正方形的邊長(zhǎng)為.

解析:記初始正方形的邊長(zhǎng)為a1,經(jīng)過(guò)n-1次生長(zhǎng)后的正方形的邊長(zhǎng)為an,經(jīng)過(guò)n-1次生長(zhǎng)后正方形的個(gè)數(shù)為bn,由題可知,數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),22為公比的等比數(shù)列∴an=2(22)n-1由題意可知,bn=1+2+22+…+2n-1=1·(2n-1令bn=2n-1=1023,解得n=10,∴最小正方形的邊長(zhǎng)為a10=21答案:1通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、