課題學(xué)習(xí)

最短路徑題【學(xué)標(biāo)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)能利用軸對(duì)稱(chēng)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用感悟轉(zhuǎn)化思想。能力訓(xùn)練要求在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形的過(guò)程中提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想。情感與價(jià)值觀要求通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用，體現(xiàn)人人都學(xué)有所用的數(shù)學(xué)?！緦W(xué)難】重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”問(wèn)題。難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱(chēng)將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段和最小問(wèn)題。突破難點(diǎn)的方法：利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和已知點(diǎn)，得到一條線(xiàn)段，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短來(lái)解決。【學(xué)程一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題師前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線(xiàn)中，線(xiàn)段最短”“連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中垂線(xiàn)段最短”等的問(wèn)題，我們稱(chēng)它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題現(xiàn)實(shí)活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”。（板書(shū)）課題學(xué)生思考教師展示問(wèn)題，并觀察圖片，獲得感性認(rèn)識(shí)。二、自主探究合作交流建構(gòu)新知追問(wèn)1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？活動(dòng)1：思考畫(huà)圖、得出數(shù)學(xué)問(wèn)題將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線(xiàn)。1/6追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？師生活動(dòng)學(xué)生嘗試回答，互相補(bǔ)充最后達(dá)成共識(shí)（1）A地出發(fā)到河邊l飲馬，然后到B地；（）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)A，B連接起來(lái)的兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度之和，就是A地到飲馬地點(diǎn)，再回B地的路程之和（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度之和為最短的直線(xiàn)上的點(diǎn)。設(shè)C為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）。強(qiáng)調(diào)：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線(xiàn)段和最小問(wèn)題”活動(dòng)2：嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題1：如圖，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。孔穯?wèn)1

你能利用軸對(duì)稱(chēng)的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)嗎？問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線(xiàn)l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最?。繋熒顒?dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，畫(huà)圖分析，并嘗試回答，互相補(bǔ)充如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示作法：2/6作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'；連接AB'，與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求。如圖所示：?jiǎn)栴}3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？教師展示證明如圖直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合連接BC'B'C'由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知，BC=B'C，BC'=B'C'?！郃C+BC=AC+B'C=AB'，AC'+BC'=AC'+B'C'。在△AC'B'中，AC'+B'C'>AB'，∴當(dāng)只有在C點(diǎn)位置時(shí)，AC+BC最短。方法提煉：將最短路徑問(wèn)題抽象為“線(xiàn)段和最小問(wèn)題”。問(wèn)題4練習(xí)如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑。3/6基本思路由于兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，所以首先可連PQ線(xiàn)段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線(xiàn)路。將河岸抽象為一條直BC，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P，Q在直線(xiàn)BC的同，如何在BC上找到一點(diǎn)R，使PRQR的和最小”。問(wèn)題5

造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋建在何處才能使A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線(xiàn)，橋要與河垂直）思維分析：1．如圖假定任選位置造橋MN，連接和BN，從A到B的路徑是，那么怎樣確定什么情況下最短呢？2．利用線(xiàn)段公理解決問(wèn)題：我們遇到了什么障礙呢？思維點(diǎn)撥：在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？（估計(jì)有以下方法）．把A平移到岸邊。．把B平移到岸邊。．把橋平移到和A相連。．把橋平移到和B相連。教師：上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請(qǐng)檢驗(yàn)。1．2兩種方法改變了。怎樣調(diào)整呢？把A或B別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)，那么怎樣確定橋的位置呢？問(wèn)題解決：如圖，平移A到A，使AA于河寬，連接AB交河岸于N。作橋，此時(shí)路111徑AM+MN+BN最短。理由：另任作橋MN，連接AMBN，AN11111

1．

由平移性質(zhì)可知，N，1AA=MN=MN=AN11111

1．

AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA+AB+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA+AN111111111

1．

在△ANB11中，由線(xiàn)段公理知AN+BNB．因此AM+MN+BN>AM+MN+BN，如圖所示：111111114/6三、鞏固訓(xùn)練（一）基礎(chǔ)訓(xùn)練1．最短路徑問(wèn)題（1）求直線(xiàn)異側(cè)的兩點(diǎn)與直線(xiàn)上一點(diǎn)所連線(xiàn)段的和最小的問(wèn)題，只要連接這兩點(diǎn)，與直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求。如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線(xiàn)l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在上找一個(gè)點(diǎn)C，使最短，這時(shí)點(diǎn)C是直線(xiàn)l與AB的交點(diǎn)。（2）求直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)與直線(xiàn)上一點(diǎn)所連線(xiàn)段的和最小的問(wèn)題，只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，則與該直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求。如圖所示，點(diǎn)A，B分別是直線(xiàn)l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在上找一個(gè)點(diǎn)C，使最短，這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)C是直線(xiàn)l與AB'的交點(diǎn)。2．如圖A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座MN和。橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線(xiàn)，橋要與河岸垂直）5/6如圖，問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+QB．橋和PQ在中間，且方向不能改變，仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”解決問(wèn)題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)移的方法有三種：兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到點(diǎn)處，PQ平移到B點(diǎn)處。（二）變式訓(xùn)練如圖，小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來(lái)水廠向村與B村供水。若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？（三）綜合訓(xùn)練茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成如圖所示兩直排（圖中的，BO），AO桌面上擺滿(mǎn)了橘子，OB面上