1991年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)褰試題

第一試

一、選擇題

本題共有8個(gè)，I健，每小題都給出了（A）、（B）（Ck（D）四個(gè)答言論，其中只有一個(gè)是

正確的.請(qǐng)把正解論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).

1-設(shè)等式也（x-a）+必/-a）=Jx-a-Ja-y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中ax,y

是兩兩不同的實(shí)數(shù)，則3r+g一」：的值是

f+尸

(A)3；(B)-；(C)2；CD)

33

答（）

2、如圖，ABllEFUCD,已知m20,0=8。，屬三100,那么杼的值是

(A)10；(B)12；

(C)16；(D)18.

答（）

3、加？x?-|r|-1=0的解是

(A)上耳(B)-1土而.

5

2~2-

1士、田一-1士-A-i±-A

（C）土土或上當(dāng)（D）士J，.

222

答（）

[11______

4、EAn：x=1（199r-1991■）（n是自然數(shù)）.那么（x-/+/）,的值是

(A)199「(B)-199T1；

(C)(-1)1991(D)(-l)T991T.

答（）

5、若Ix2x3x…x99xl00=12M,其中“為自然數(shù)，n為使得等式成立的最大的自

級(jí)則面

（A）能被2整除，但不能被3整除；

（B）能被3整除，但不能被2整除；

（C）能被4整除，但不能被3整除；

（D）不育皴3整除，也不能被2整除.

答（）

6、若6Gd是整數(shù)，方是正整數(shù)，且滿足a+3=c,b+c=d,c+d=a,那么

a+b+c+d的最大值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.

答(

7.如圖，正方形曲內(nèi)接干△值已知△/或Ag和ACRQ的面積分別是尻=1，1=3

和￡=1,那么，正方形由的邊長(zhǎng)是

0e

(A)氏(B)島(C)2；(D)3

8、在猊角△值中，47=1,AB=c,ZA=60,△癡的夕底圓半徑RW1,則

(A)-<c<2；(B)0<cW-；

22

(C)c>2；(D)。=2.

二、填空題

1.萬是平行四邊形幽N中無邊的中點(diǎn)，盤交對(duì)角線施干6、如果△腐的面積是1,

則平行四邊形皿的面積是.

2.己知關(guān)于x的一元二次方程歐：+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)解.甲由于看錯(cuò)了二次項(xiàng)系

數(shù)，誤求得兩根為2和4；乙由干看錯(cuò)了某一項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，誤求得兩根為一1和4,那么,

7cM0------------

28+3。

3.設(shè)mnAg為非負(fù)數(shù)，且對(duì)一切x>0,空=-恒成立，則

/X"

(m?+2月+p)"=,

4.四邊形被R中，Z如*135,/血=12。，初=?,BC=5-V3,

CD=6,貝i］盟二

135°

AP

第二試

x

x+y,x—y,xy,

y

四個(gè)數(shù)中的三個(gè)又相同的數(shù)值，求出所有具有這樣性質(zhì)的數(shù)對(duì)（X,

二、A腦中，AB<AC<BC,D點(diǎn)在比?上，瓦點(diǎn)在胭的延長(zhǎng)線上，且

BD=BE=AC,△酸的外接圓與△盤。的外接圓交于戶點(diǎn)（如圖）.

求證：BF=AFJrCF

三、將正方形皿分割為療個(gè)相等的小方格（n是自然數(shù)），把相對(duì)的頂點(diǎn)A,，染磁L

色，把笈3染成藍(lán)色，其他交點(diǎn)任躲彪I、藍(lán)兩色中的-?種顏色.證明：恰有三個(gè)頂點(diǎn)

同色的小方格的數(shù)目必是偶數(shù).

1992年全國(guó)初中數(shù)學(xué)寐合競(jìng)騫通題

第T

一.公的8

*懣共有&個(gè)鹿，每小熊都給出了(A),(B),(6,(D)四個(gè)結(jié)論，算中只有一個(gè)坦正確的靖杷正確結(jié)論的代

表字母寫在富后的圓括號(hào)內(nèi).

1浦足,-耳+&8=1的非負(fù)整數(shù)3,5)的個(gè)頡是

(A)l;(B)2;(C)3;(D)4.

2

2.若x0是一元二次方程ax+bx+c=0(aw0)的根，則判別式△=32-4ac與平方■式

M=(2&演+8)2的美茶足

(A)A>M(B)A=M(C)A>A^;(D)不確定.

3.若x2-13x+1=0,則x4+x-*的個(gè)位數(shù)字是

(A)l;(B)3;(C)5;(D)7.

4.在半徑為1的圓中有一內(nèi)接多邊形，咎它的邊長(zhǎng)皆大于1且小于77,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)必為

(A)7;(B)6,(C)5;(D)4.

k

5.如甌正比例瘠救y=x和y=ax(a>0)的圖像與反比例函數(shù)y=-(k>0)的留殿分別相交

x

子A點(diǎn)和C點(diǎn)考RILAOB和ACOD的面積分別為S1和S?則Si與S1的關(guān)系是

(A)S1>%(B)S、=S2

?SiVS?(D)不確定

6.在一個(gè)由8x8個(gè)方格組成的邊長(zhǎng)為8的正方形根盤內(nèi)放一個(gè)半徑為4的圓，若杷圓冏經(jīng)過的所有小

方格的圓內(nèi)鄰分的面積之和記為以，杷圓周經(jīng)過的所有小方格的圓內(nèi)部分的面積之和記為配，則￡的整

赦部分是

(A)O;(B)l;?2;(D注

7加圖，在與展粉形初⑦中，延忙。初=2皿/月=60。,又￡是底邊延上一點(diǎn)，且在=咫=42；

FA=AB.

則4E:郎箸子

(A)l:2(B)l:3

?2:5(D)3:10

8.設(shè)Xpx2,x3,-,與均為正整數(shù)，且

再<x2<-.?<Xg，Xi+與+…+X9=220，則當(dāng)再+勺+々+A+才5的值S!大時(shí),演-勺的

眼小館是

(A)8;(B)9,(C)10;(D)ll.

二填空窟

1.若一等腰三角形的底邊上的高等于1雙科展上的中線等15?？苿t這個(gè)彎腰三角形的面積等干

Vl+X2+X4-J1+「4

2.若x/0，則----------------------的最大伯&..

x

3.在LABC中，NC=90",N月和NB的平分線用女干尸點(diǎn),又PELAB于E點(diǎn),若

BC=2,AC=3,則AEEB=.

IIIba

4若a,力都是正實(shí)數(shù),且上一一一-----=o,則(C)3+(_)3=

aba^bab

第二被

一、設(shè)等腰三角形的一艘與底邊的長(zhǎng)分別是方程X2-6x+a=0的兩根.當(dāng)這樣的三角形只有一個(gè)

時(shí),求a的取值55圍.

二、加國(guó),在也4ase中，AB=AC,D是底班BC上一點(diǎn),.￡是線段4D上一點(diǎn),且

ZB￡D=2ZCffD=Z^.

求證：BD=2CD.

三、某個(gè)信封上的商個(gè)郵政編碼M和N均由0,1,2,3.5.6這六個(gè)不同赦字組成,現(xiàn)有四個(gè)編

碼如下：

A：320651B-105263

C,612305D：316230

已知編碼A、B、C、D各恰有畫個(gè)數(shù)字的位速與M和N相同.D恰有三:個(gè)數(shù)字的位速與M和N用冏.

試求：M和N.

1993年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題

第一試

一.選擇題

本題共有8個(gè)小題，每小題都給出了(A),(B),(C),(D)四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的.

請(qǐng)把正確結(jié)論的代表字母寫在題后的圓括號(hào)內(nèi).

1.多項(xiàng)式”+1除以--1的余式是

(A)l;(C)x-l;(D)x+1；

2.對(duì)于命題

I.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接五邊形是正五邊形.

n.內(nèi)角相等的圓內(nèi)接四邊形是正四邊形,以下四個(gè)結(jié)論中正確的是

(A)I,n都對(duì)(B)I對(duì)，n錯(cuò)(c)I錯(cuò)，n對(duì).CD)I,n都錯(cuò).

3.設(shè)x是實(shí)數(shù)，y=|x-l|+k+l|.下列四個(gè)結(jié)論：

I.y沒有最小值；

II.只有一個(gè)x使y取到最小值：

III.有有限多個(gè)彳不止一個(gè))使y取到最大值；

IV.有無窮多個(gè)x使y取到最小值.

其中正確的是

(A)I(B)II(C)III?)IV

4.實(shí)數(shù)公，x2,x3,x4,%滿足方程組

X[+溝+巧=生；

勺+石+勺=a2;

<x3+x4+x5=a3;

x4+x5+Xj=a4;

x5+/+x?=0.

其中a],。?，%,4,0是實(shí)常數(shù)，且的>a2>a3>a4>a,則x2,x3,x4,它的大

小順序是

(A)Xj>x2>x3>x4>x5;(B)x4>x2>Xj>x3>x5;

(C)X3>Xj>x4>x2>;(D)x5>x3>Xx>x4>x2.

5.不等式x-l<(x-l)2<3x+7的整數(shù)解的個(gè)解

(A)等干4(B)小干4(C)大于5(D)等干5

6.在中，/月是鈍角，碧垂心,力。=BC,

則cos(NQBC+NOCB)的值是

V2

(B)-

1

7.銳角三角ABC的三邊是Qb,c,它的外心到三邊的距離分別為m,居R,那么m-.n-.p等

于

(A)-：-；(B)L7：b\c

abc

(C)cos21:cosB:cosC*(D)sinX:sin5:sinC.

8.V3(

(A)^3(M2+1);(B)/(正-1)(C)短-1(D)正+1

二.填空題

1.當(dāng)x變化時(shí)，分式：」的最小值是_________.

yX+X+1

2.放有小球的1993個(gè)盒子從左到右排成一行，如果最左面的盒里有7個(gè)小球，且每四

個(gè)相鄰的盒里共有30個(gè)小球，那么最右面的盒里有個(gè)小球.

3.若方程(--1)(--4)=無有四個(gè)非零實(shí)根,且它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的四個(gè)點(diǎn)等距

車列，貝“無".

4說角三角形ABC中,NA=30。.以BC邊為直徑作圓，與4B,AC分別交千D,E,連接

陽把三角形ABC分成三角形ADE與四邊形BDEC,設(shè)它們的面積分別為應(yīng)用，則

4必=___________

第二試

一.設(shè)H是等腰三角形相,垂心,在底邊BC保持不變的情況下讓頂點(diǎn)A至底邊BC

的距離變小，這時(shí)乘積S3SA您c的值變小，變大，還是不變?證明你的結(jié)論.

二.41EC中，BC=5,47=12,曲13,在邊48乂C上分別取點(diǎn)D,E,使線段DE將

位15。分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段DE的最小長(zhǎng)度

A,

B

三.已知方程x，8x+c=。及/+6+5=。分別各有兩個(gè)整數(shù)根也無2及芯，吊，且

力馬>0,x{x\>0.

(1球證:X]<0,x2<0,x{<0,%2<0；

(2沐證:占一1WcSS+l;

(3戌左。所有可能的值

1994年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

本試共兩道大建，滿分80分.

一、選擇題（本題滿分48分，每小題6分）

本題共有8個(gè)小題都給出了A,B、C,D,四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)是正確的,

請(qǐng)把你認(rèn)為正確結(jié)論的代表字母寫在題后答案中的圓括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；

不選、選錯(cuò)或選出的代表字母超過一個(gè)（不論是否寫在圓括號(hào)內(nèi)），一律得0分.

1.若OVaVl,則Ja?+—2?（1+工）X]:

可化簡(jiǎn)為

2.設(shè)\hc是不全相等的任意實(shí)數(shù)，若*=&2-13（:，7=627為2=?2y13,則*，12

A.都不小干0B.都不大干0

C.至少有一個(gè)小0千D.至少有一個(gè)大干0

3.如圖1所示，半圓。的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC,

CD,DA相切，若BC=2,DA=3,則AB的長(zhǎng)

A.等千4B.等千5

C.等干6D.不能確定

4.當(dāng)x=1時(shí)，多項(xiàng)式（4x3—1997x

的值為

A.1B.-1C.22001D.-22001

5.若平行直線EF,MN與相交直線AB,CD相交

成如圖2所示的圖形，則共得同旁內(nèi)角

A.4對(duì)B.8對(duì)

C.12對(duì)D.16對(duì)

6.若方程斤￡=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

數(shù)p的取值范圍是

A.p<0B.p<l

4

C.0<p<-D.P>-

44

7.設(shè)設(shè)角三角形ABC的三條高AD,BE,CF相交千H。若眈=爹。=卜9=<:,

則AH■AD+BH-BE+CH?CF的值是

1

(ab+be+ca)B.^(aaeba*ca)

2

2a

(ab+be+c玲D.全尸.b.J)

8.若a*=bv=1994，（其中a,b是自然數(shù)）,且

有工+工=L.則2a+b的一切可能的取值是

xyz

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989

二、填空題（本題滿分32分，每小題8分）

各小題只要求在所給橫線上直接填馬結(jié)果.

1.若在關(guān)于x的恒等式竽土竺==_-_匚中，.華+N_為最簡(jiǎn)分式,且有

x+X-2x+ax+bx+x-2

a>b,a4b=c5則獨(dú)......

2.當(dāng)卜+1|<6B寸，函數(shù)y=x卜卜2x+1的最大值是..........

3.在△陽（：中，設(shè)AD是高，BE是角平分線，若BC=6,CA=7,AB=8>則

DE=.

4.把兩個(gè)半徑為5和一個(gè)半徑為8的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩外切，

若要有用一個(gè)大圓形紙片把這三個(gè)圓形紙片完全蓋住，則這個(gè)大圓形紙片的最小半

徑等千.

第二試

本試共三道大題，滿分60分.

一、（本題滿分20分）

如圖所示，在△ABC中，AB=AC.任意延長(zhǎng)CA到P,再延長(zhǎng)AB到Q,使AP=BQ.

求證：

△ABC的外心。與A,P,Q四點(diǎn)共圓。

二、（本題滿分20分）

周長(zhǎng)為6,面積為整數(shù)的直角三角形是否存在？若不存在，清給出證明；若存

在，請(qǐng)證明共有幾個(gè)？

三、（本題滿分20分）

某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共有15個(gè)題下表是對(duì)于做對(duì)心=0,1,2,……,15）個(gè)題的人數(shù)的一

個(gè)統(tǒng)計(jì).

n0123...12131415

做對(duì)n個(gè)題的人數(shù)781021……15631

如果又知其中做對(duì)4個(gè)題和4個(gè)題以上的學(xué)生每人平均做對(duì)6個(gè)題，做對(duì)10個(gè)題

和10個(gè)題以下的學(xué)生每人平均做對(duì)4個(gè)題.問這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了多少人？

1994年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試答案

一、選擇題；

小題號(hào)1234567g

答案ADBBDCBC

二、填空題：

第二試答案.

一、連結(jié)。A,OC,OP,0Q.證明aocp9aOAQ,干是

ZCPO=ZAQO,所以。，A,P,Q四點(diǎn)共圓.

二、這樣的三角形存在，恰有一個(gè)，兩條直角邊為三Z與

3

生也，斜邊為芻

33

三、這個(gè)表至少統(tǒng)計(jì)了20。人.

199彈全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一、選擇題

1.已知a=355,b=4M,c=533,則有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程組[功+#二外'的正整數(shù)解的組數(shù)是

[xz一yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程儀-1)儀2-2*—111)=0的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那

么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A?OMmM1B.mN,

U?—<mM1D?—MmM1

4.如果邊長(zhǎng)順次為25、39、52與60的四邊形內(nèi)接于一扇，那么此圓的周長(zhǎng)為

[]

A.62兀B.63兀C.64兀D.65兀

5.設(shè)AB是。O的一條弦，CD>0O的直徑，且與弦ABt皎，記M=IS^CAB

—SN=,

ADABI'2SiA1OAB則[]

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小關(guān)系不確定

6.設(shè)實(shí)數(shù)a、隱足不等式IIaI-(a+b)I<Ia-a+bII,則[]

A.a>0且b>0B.a<0且b>0

C.2>0且1><0D.2<0且1)<0

二、埴空題

1.在112Z32…，952這95個(gè)數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有_個(gè).

2.己知a是方程Y+x—：=0的根，貝U

3.設(shè)x為正實(shí)數(shù)，則函數(shù)y=x'-x+」的最小值

X

是—.

4.以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O,C是半圓周上的點(diǎn),且OC2=AC?BC,

則NCAB=.

第二試

一、已知NACE=NCDE=90°,點(diǎn)暗磔上，CA=CB=CD,經(jīng)A、C、D

三點(diǎn)的扇交AB于F(如圖)求證F為的內(nèi)心.

二、在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)

的點(diǎn)稱為楂點(diǎn),試在二次函數(shù)y=總一.+W

的圖象上找出滿足y<IxI的所有整點(diǎn)(x,y).并明理由.

三、試證：每個(gè)大于6的自然數(shù)n,都可以表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之

和.

199煒全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)褰參考答案

第一試

一、選擇題

1.講解：這類指數(shù)累的比較大小問題，通常是化為同底然后比較指數(shù)，或化

為同指數(shù)然后比較底數(shù)，本題是化為同指數(shù)，有

c=(53)n=125n

<243H=(35)11=a

<256n=(44)11=b.選C.

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771計(jì)售Iga、Igb、1g他可以，但沒有優(yōu)越性。

2.講解：這類方程是熟知的.先由第二個(gè)方程確定z=l,進(jìn)而可求出兩個(gè)解：

(2,21,1)、(20.3,1).也可以不解方程組

產(chǎn)+y=63,①

x+y=23,

直接判斷：因?yàn)閤Wy(否則不是正整數(shù))，故方程組①或無解或有兩個(gè)解，對(duì)照

選擇支，選B.

3.講解：顯然，方程的一個(gè)根為1,另兩根之和為XI+X2=2>1。三根能作為

一個(gè)三角形的三邊，須且只須Ix1一X2IVI又

IX]-x?I=-7^'=”一4m<1,

IaI

有0W4—4m<1.

解得

4

但作為選擇題，只須取m=:代入.得方程的根

為I.1.1,不能組成三角形,故包括之的A.B、

224

D均可否定.選C.

4.講解：四個(gè)選擇支表明，圓的周長(zhǎng)存在且唯一,從而直徑也存在且唯一.又

由

BAB^AD2

=252+602

山=52X(52+122)

?=52X132

=(32+42)X132

=3M+522

=BC2+CD2

故可取BD=65為直徑，得周長(zhǎng)為65兀，選D.

5.講解：此題的得分率最高，但并不表明此題最容易，因?yàn)橛行┛忌睦碛?/p>

是錯(cuò)誤的.比如有的考生取AB為直徑，則M=N=0,于是就選B.其實(shí)，這只能排

除A、C,不能排除D.

C

D

圖2

不失一般性，設(shè)CE三ED,在CE上取CF=ED,貝陽OF=OE,且SAACET

AADE=SAAEF=2SAAOE-同理，SABCE-SABDE=2SABOE-相加，得$.

ABC-SADAB=2SAOAB,即\1=、選B.

若過C、D、g別作AB的垂線(圖3),CEJ_AB、DF_LAB、OL±AB,垂足分

別為E、F、L.連CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂徑分弦定理，知L是EF的中點(diǎn).根

據(jù)課本上做過的一道作業(yè)：梯形對(duì)角線中點(diǎn)的連續(xù)平行底邊，并且等于兩底差的一

半，有

ICE-DFI=20L.

兩邊乘以gAB,可得

即M=N.選B.

6.講解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,選B.一般地，對(duì)已知不等式平方,

有

IaI(a+b)>aIa+bI.

顯然IaII(a+b)I>0(若等于0,則與上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIIaI9

兩邊都只能取1或?1，故只有1>?1,即

=-2—=-1,

Ia+bllai

有aVO且a+b>0,從而b>-a>0.選B.

二、埴空題

1.講解：本題雖然以計(jì)算為載體，但首先要有試驗(yàn)觀察的能力.經(jīng)計(jì)算

22,102,知十位數(shù)字為奇數(shù)的只有"=16,62=36.然后，對(duì)兩位數(shù)10a+b,

有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位數(shù)字為b2的十位數(shù)字加上一個(gè)偶數(shù)，故兩位數(shù)的平方中，也中有b=4或

6時(shí)，其十位數(shù)字才會(huì)為奇數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，在1,2,…，95中個(gè)位數(shù)出現(xiàn)了幾次4

或6,有2X9+1=19.

2.講解：這類問題一般都先化藺后代值，直接把a(bǔ)

=昔區(qū)代入將導(dǎo)致復(fù)雜的計(jì)算.

由已知，有a'+a=①

4

原式=牛叫等

a2(a-D(a+1)’

1..

=@中中=曰=20.

(aa+a)2(小

學(xué)生在這道題上的錯(cuò)誤主要是化簡(jiǎn)的方向不明確，最后又不會(huì)將a2+a作為整體

代入.這里關(guān)鍵是整體代入，抓住這一點(diǎn)，計(jì)售可以靈活.比如，由①有

a，+a?=?a,②

4

a5+a4=laJ③

4

由②一①，得

aJ-a=-(a-1).④

4

由③一②并將④代入，得

a,+?4-*,-a,=1(*,-?)=-l(a-l).

416

⑤

于是，原式=：T=I6(a'+a+1)

故7)

=16(1+1)=20.

還可由①得

a2+a+1=?,

4

⑥小⑤即得所求.

3.講解：這個(gè)題目是將二次函數(shù)y=x2-x與反比例函數(shù)

y=工作疊加,要求學(xué)生在掌握二次函數(shù)求最值

X

(配方法)的基礎(chǔ)上，做綜合性與靈活性的運(yùn)用.

進(jìn)行兩次配方I

y=(x-1)2+(4一)+[>],

(x2-l)(x-1)+[〉]

或丫=

X

因而x=l時(shí)，y有最小值1.

4.講解：此題由筆者提供，原題是求sm

NCAB,讓初中生用代數(shù)、幾何相結(jié)合的方法求特殊角的三角函數(shù)值sin75°

sinl5°.解法如下：

圖5

百■先NACB=90..進(jìn)而OC=?AB,代入己

2

知條件,有

(1AB)J=AC*BC,①

與AB?=AB2+AC2②

聯(lián)立，可推出

AC+BC=JJAB.

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

*2-《行*+竿=0的兩個(gè)根，解得

AB.

4

當(dāng)BC=丑苜AB時(shí)，

4

anNCAB=器=諉1曲(NCAB=75*)i

當(dāng)BC=必)AB時(shí),

4

anZCAB=(ZCAB=15*).

AJo4

改為求NCAB之后，思路更寬一些.如，由

S3TAe.=州，

S^c=2s3=2?；OC%nZAOC,

得sinNAOC=g.

當(dāng)NA0C=3(r時(shí)，ZCAB=^(180,-3N)

-75,?

當(dāng)NAOCH】5(T時(shí).NCAB=g(18CT-150,)

-15,

第二試

一、講解：首先指出，本題有IMO29-5（1989年）的背景，該題是：在直角△

ABC中，斜邊BC上的高，過aABD的內(nèi)心與△ACD的內(nèi)心的直線分別交迫AB和AC

于燒L,△AB咖△AKL的面積分別記為S和T.求證招2T.

在這個(gè)題目的證明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中聯(lián)賽題相當(dāng)于反過來，先給出AK=AL=AD（斜邊上的高），再求證

KLiSaAABD^△ADC的內(nèi)心（圖7）.

其次指出，本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE,然

后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線；其二是過F作三邊的垂線，然后證明其中兩條垂線

段相等.下面是幾個(gè)有代表性的證法.

圖6

證法1：如圖6,連DF,則由已知，有

ZCDF=ZCAB=45*=^ZCDE.故DF為

2

NCDE的平分線.

連BD、CF,由CD=CB,知

ZFBD=ZCBD-450

=ZCDB-450=ZFDB,

得FB=FD,即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線段BD的垂直平分線上，從而也在等

腹三角形CBD的頂角平分線上，CF是NECD的平分線.

由于F是△CDE上兩條角平分線的交點(diǎn)，因而就是△CDE的內(nèi)心.

證法2：同證法1,得出NCDF=45°=90°-45°=NFDE之后，由于NABC=

NFDE,故有B、E、D、F四點(diǎn)共扇.連EF,在證得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是NCED

的平分線.

本來，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共同把許多

已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來了，因而證法2并不比證法1復(fù)雜.

由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是也阻的外心.

ZCDF=ZCAB=45*=」NCDE.知DF是

2

NCDE的平分線.故F為CDE的內(nèi)心.

證法4：如圖8,只證CF為NDCE的平分線.由NAGC=NGBA+NGAB=45

°+N2,

NAGC=ZADC=ZCAD=NCAB-N1

=45°+N1

得N1=N2.

從而NDCF=NGCF,

得CF為NDCE的平分線.

證法5：首先DF是NCDE的平分線，故

△CDE的外心I在直線DF上.

現(xiàn)以CA為'軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，并記CAnCBnCDnd則直線AB是一次

函數(shù)

y=-x+d①

的圖象(圖9).若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為(xpyi),則

xi+yi=CH+lH

=CH+HB=CB=d

滿足①，即I在直線AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn).由交點(diǎn)的唯一性

知I就是F,從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心.

還可延長(zhǎng)E90O于Pi，而CP為直徑來證.

二、講解：此題的原型由莖者提供.題目是：

坐標(biāo)平面上縱.慢坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為格點(diǎn).

對(duì)二次函數(shù)y=gx'+gx-1995,請(qǐng)找出其位

于第一象限內(nèi)，縱坐標(biāo)小于橫

坐標(biāo)的格點(diǎn).

這個(gè)題目的實(shí)質(zhì)是解不等式

l<lxa+lx-1995<x,

求正整數(shù)解.直接解，數(shù)字較繁.但有巧法，由

1+2+?”+x=生竽2=1995+丫

及l(fā)Wy<x,

知1+2H---F(x-l)<1995<l+2+-+x.

但1953=l+2+~+62<1995Vl+2H----1-62+63=2016,得x=63,從而y=

21,所求的格點(diǎn)為(21,63).

經(jīng)過命題組的修改之后，數(shù)據(jù)更整齊且便于直接計(jì)算.

解法1,己知即|x|,

有x?—x+18W10|x|.

當(dāng)x^O時(shí)，有x?—llx+18W0,

得2WxW9,代入二次函數(shù)，得合乎條件的4個(gè)整點(diǎn)：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

當(dāng)x<0時(shí)，有

X2+9X+1S<0,

得-6WXW-3,代入二次函數(shù)，得合乎條件的2個(gè)整點(diǎn):

(-6,6),(-3,3).

解法2,由丫=x(x\：+18為整數(shù),知x關(guān)于模10的

余數(shù)只能為2(或-8)、、7(或-3)、9(或-1).

對(duì)x2取x=2,4,7912,14,…順次代入，得(2,2)、(4,3)、(7,6)、(9,9),

且當(dāng)x>9時(shí)，由

廠」=如一守一第〉配,一爭(zhēng)=

0,知y〉-x,再無滿足y<IxI的解.

對(duì)x<0,取x=-1,-3,-6,-8,…順次代入,得(?3,3)、(-6,6),且當(dāng)xv-6時(shí)，由

y+x=得9+芻2一章

1QQ

>-[-6+—)2--]=O.

104，A1

知是-x,再無滿足yWIxI的解.

故一共有6個(gè)整點(diǎn)，圖示略.

解法3：先找滿足條件y=IxI的整點(diǎn)，即分別解方程

X2-11X+18=0①

x2+9x+18=0②

可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).

再找滿足yVIxI的整點(diǎn)，這時(shí)

2Vx<9或-6<xV-3,

依次檢驗(yàn)得(4,3)、(7,6).故共有6個(gè)整點(diǎn).

三、講解：直觀上可以這樣看，當(dāng)n>耐，在2,3,…，n-2中，必有一個(gè)致

A與n￡質(zhì)(2WAWn-2),記

B=n-A云2,

有n=A+B.

此時(shí)，A與B必互質(zhì)，否則A與B有公約數(shù)d>L貝Ud也是n的約數(shù)，從而A與n有

大于1的公約數(shù)，與A、n互質(zhì)矛盾.

但是，對(duì)于初中生來說，這個(gè)A的存在性有點(diǎn)抽象，下面分情況，把它具體找

出來.

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有

n=2+(n—2),

或n=口+也

加22,

(2)當(dāng)n為偶數(shù)，但不是4的倍數(shù)時(shí)，有

_n_11n+4

吁~T~~2~,

由n>6知啜〉1.且呼^寧均為奇數(shù).

(寧,華尸(吟，4)=1.

(3)當(dāng)n為偶數(shù)，且又是4的倍數(shù)時(shí)，有

_n_21n+2

n~—+—'

由n>6知用工>1,且寫2、牛均為奇數(shù).

唳噤=（啜2）=1.

1996年全國(guó)初中敷學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）

1.實(shí)數(shù)a、是ab=1,"I己M=--+-——?

1+a1+b

N=一一+」、.則M、N的關(guān)系為[]

1+a1+b

A.M>NB.M=NC.M<ND.不確定

2.設(shè)正技數(shù)a、m、n滿足Ja'-4、/5r=dii1-■JU,

則這樣的a、m、n的取值[]

A.有一組B.有二組C.多于二組D.不存在

3.如圖，A是半徑為1的層10外的一點(diǎn)，0A=2,AB是圓0的切線，B是切點(diǎn)，弦BC

〃0A,連結(jié)AC,則陰影部分的面積等于[]

27E7T

4.設(shè)xi、X2是二次方程x2\3=0的兩個(gè)根，那么x/4X22+19的值等于

[]

A.4B.8C.6D.0

5.如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分，那么該直線必通過這個(gè)

三角形的[]

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

6.如果20個(gè)點(diǎn)將某II周20等分，那么頂點(diǎn)只能在這20個(gè)點(diǎn)中選取的正多邊形

的個(gè)數(shù)有[]

A.4個(gè)B.8個(gè)C.12個(gè)D.24個(gè)

二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）

■=

1.己知實(shí)數(shù)X。、y°是方程組"=彳的解.則

y=（x|+1

X。+y0=?

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZABN=ZMBC,EM=NM,BN=a,則點(diǎn)N到邊BC的距

離等于.

A

3.設(shè)1995x3=1996y3=1997Z3,xyz>0,且

#1995x3+1996y3+1997Z3=V1995+V1996+K/1997.

貝IJ2.+2.+L.

xyz----------

4.如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞岐按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至AB'C'D’

的位置，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是.

第二試

一、（本題滿分20分）

某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中，甲班的m個(gè)男生和11個(gè)女生的捐款總數(shù)與

乙班的9個(gè)男人和n個(gè)女生的捐款總數(shù)相等，部是（m,nWm+nn+145）元，已知每人的

捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù).

二、（本題滿分25分）

設(shè)凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD

于點(diǎn)E、F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)0,P是以0為圓心0M為半徑的圓上一點(diǎn)（位置如圖所示），

求證：Z0PP=Z0EP.

三、（本題滿分25分）

已知a、b、c都是正整數(shù)，且拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,

若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1,求a+b+c的最小值.

1996年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽參考答案

第一試

一、選擇題

1.B2.A3.B

4.D5.A6.C

二、填空題

3.14.2-J5

第二試

解據(jù)題意m+ll=n+9,整除mn均m+lln+145,而mnWm+lln+145=(m+11)(nW)+46,

故m+U,nW部整除46,由此得

『=%)或『=多②在。時(shí).待每人捐款25元，在

[n=14(n=37

②時(shí),每人捐款47元.

綜上可知，每人捐款數(shù)為25元或47元.

證作AD、B0的延長(zhǎng)線相交于G,4/0E

月GA..?.在ACGA中有黑=段.且在Z\BGA中.

OM_GD由此得法=浣.而.是圓。的半徑，

~OE~GA

OF_OP

等于OP.J.OP"OE??△POFSZ\POEt/.NOPF

ZOEP.

解據(jù)題意，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異根，都在(1,0)中，故

a?b+c>0,—且H-4ac>0①，可見a-b

a

+c>l②，且a〉c③.所lila+c>b+1>271^+1,

可得由③得石〉V^+i,.

4,又b>2疝>2歷1>4.現(xiàn)分別取a、b、c的

最小整數(shù)5,5,1.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，...a+b+c=ll最小值

1997年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

第一試

一.選擇題

本題共有6小題，每一個(gè)小題都給出了以（A）,（B）,（C）,（D）為代號(hào)的四個(gè)答案，其

中只有一個(gè)答案是正確的.請(qǐng)將正確的答案用代號(hào)埴在各小題的括號(hào)內(nèi).

1.下述四個(gè)命題

（1）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于自身,那么這個(gè)數(shù)是1;

（2）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；

⑶二的平方根是土團(tuán)；

（4）大于直角的角一定是鈍角.

（A）l個(gè)（B）2個(gè)；（C）3個(gè)；（D）4個(gè).