7.3.4正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像教案教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1.學(xué)生類比利用正弦線研究正弦函數(shù)性質(zhì)的做法，探究利用正切線研究正切函數(shù)的性質(zhì)；2.學(xué)生能夠利用正切函數(shù)的性質(zhì)畫出正切函數(shù)的圖像，并結(jié)合圖像進(jìn)一步驗(yàn)證性質(zhì)；3.學(xué)生在探究的過程中，體會(huì)類比、換元、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：（1）利用正切函數(shù)已有的知識(shí)（如定義、誘導(dǎo)公式、正切線等）研究性質(zhì).（2）根據(jù)性質(zhì)探究正切函數(shù)的圖像.教學(xué)難點(diǎn)：畫出正切函數(shù)的簡圖，體會(huì)與x軸的交點(diǎn)以及漸近線，在確定圖像形狀時(shí)所起的關(guān)鍵作用.教學(xué)過程：一、提出問題，解決問題：問題1：還記得研究正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的方法嗎？【設(shè)計(jì)意圖】共同回憶之前研究正余函數(shù)的方法，由性質(zhì)得圖像，體會(huì)以數(shù)輔形，以形助數(shù)的妙處，感受華羅庚的話：數(shù)形結(jié)合百般好！問題2：正切函數(shù)是如何定義的？【設(shè)計(jì)意圖】教師輔以幾何畫板的演示，幫助學(xué)生回憶定義，特別是自變量的取值范圍.問題3：請(qǐng)畫出各個(gè)象限角的正切線.【設(shè)計(jì)意圖】正切線可以直觀地表示正切值，隨著角的變化，為探究正切函數(shù)的性質(zhì)做鋪墊.問題4：請(qǐng)你利用正切函數(shù)的定義，確定正切函數(shù)的定義域.由正切函數(shù)的定義知：正切函數(shù)定義域?yàn)椋?【設(shè)計(jì)意圖】研究函數(shù)優(yōu)先考慮定義域，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)品質(zhì).其次，正切函數(shù)的定義域與正弦函數(shù)和余弦函數(shù)不同，給學(xué)生做著重強(qiáng)調(diào).再次，學(xué)生不難得出定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為后面研究奇偶性做準(zhǔn)備.問題5：觀察正切線的變化特點(diǎn)和規(guī)律，你能得出正切函數(shù)y=tanx具有哪些性質(zhì)嗎？①定義域和值域：由正切線可以看出，正切函數(shù)的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù).②奇偶性：定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，由誘導(dǎo)公式：且，可知正切函數(shù)是奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）.③周期性：由誘導(dǎo)公式：,可知正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為（每隔個(gè)單位的函數(shù)圖像是一樣的）.④單調(diào)性：由單位圓中正切線的變化規(guī)律知：正切函數(shù)在區(qū)間上，y值隨x的增大而增大，是增函數(shù)，且角度無限接近，正切線向上無限延伸；角度無限接近，正切線向下無限延伸（圖像是呈上升趨勢(shì).且沒有盡頭）.⑤零點(diǎn)：.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，類比可以用正弦線研究正弦函數(shù)y=tanx性質(zhì)的做法，用正切線研究正切函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)的最小正周期為，這一點(diǎn)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)也不同，特別需要引起學(xué)生的關(guān)注.學(xué)生能明確2是正切函數(shù)的周期，不一定能想到是正切函數(shù)的最小正周期，這一點(diǎn)可以將角多旋轉(zhuǎn)幾圈，多演示幾次正切線的變化，由學(xué)生觀察得出結(jié)論.問題6：通過對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為我們應(yīng)該如何做出正切函數(shù)的圖像？【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生明確，研究正切函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像，由周期性就可以得到整個(gè)定義域內(nèi)的圖像，再由奇偶性，只要研究的圖像就可以.問題7：如何做出正切函數(shù)在上的圖像？課本56頁列表描點(diǎn)連線（圖7-3-16）【設(shè)計(jì)意圖】①需要注意的在區(qū)間上的特殊角的正切值非常少，特別是當(dāng)x從繼續(xù)增大時(shí)，正切值的變化情況要結(jié)合單調(diào)性加以分析，特別是當(dāng)x逐漸逼近的過程，正切值越來越大，逼近意味著正切值趨近于，這就讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到直線x=是正切圖像的一條漸近線.②依據(jù)正切線能準(zhǔn)確畫出正切函數(shù)的圖像，但不實(shí)用，在應(yīng)用時(shí)一定要學(xué)會(huì)畫簡圖（三點(diǎn)兩線法——和兩條漸近線）.問題8：你能做出正切函數(shù)在定義域內(nèi)的的圖像嗎？【設(shè)計(jì)意圖】再一次體會(huì)圖像的特征，從圖像的角度進(jìn)一步驗(yàn)證函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)的能力，加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)，并借此給出正切曲線的定義.問題9：觀察正切曲線思考：正切曲線是哪種對(duì)稱圖形，能試著說說？正切函數(shù)y=tanx的圖像是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為【設(shè)計(jì)意圖】不難看出正切曲線是中心對(duì)稱圖形，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)的對(duì)稱中心是，對(duì)于也是圖像的對(duì)稱中心是不容易發(fā)現(xiàn)的，何況這些點(diǎn)也不在圖像上.因此，正切曲線的對(duì)稱性要放慢節(jié)奏.關(guān)于對(duì)稱性這個(gè)結(jié)論可以給出證明：令f（x）=tanx，則.問題10：觀察正切曲線，判斷下列命題的真假.命題1：正切函數(shù)y=tanx是增函數(shù)；命題2：正切函數(shù)y=tanx在其定義域上是增函數(shù)；命題3：正切函數(shù)y=tanx在它的每一個(gè)周期內(nèi)都是增函數(shù)；命題4：正切函數(shù)y=tanx在每一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；命題5：正切函數(shù)y=tanx在每一個(gè)區(qū)間上是增函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】這是課本55頁“想一想”的延伸，提出幾個(gè)正切函數(shù)單調(diào)性的問題，讓學(xué)生加以辨析，加深對(duì)性質(zhì)的認(rèn)識(shí).二、例題講解，深化理解例1（課本56頁例1）求函數(shù)的定義域.思考：我們可以采用什么樣的方法求出正切型函數(shù)的定義域呢？解：令因?yàn)?所以所以函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】本題屬于正切型函數(shù)求定義域，在解答的過程中，教師要讓學(xué)生體會(huì)換元的思想.由于正切函數(shù)的定義域是難點(diǎn)之一，例1要注意書寫準(zhǔn)確.是對(duì)的，但寫的定義域?yàn)槭清e(cuò)誤的，實(shí)際上，對(duì)于給定的常數(shù)k，自變量x只能取得一個(gè)周期的值，比如k=2時(shí)，這個(gè)集合只是，這與函數(shù)完全不同.變式訓(xùn)練：求函數(shù)的定義域.解：由題意知，解得：.所以函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】tanx自身的限制往往被學(xué)生忽略，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的能力.例2（課本56頁例2）求函數(shù)y=tan3x的周期.思考：我們可以采用什么樣的方法求出正切型函數(shù)的周期呢？解：令u=3x，則y=tan3x可以化成y=tanu.由y=tanu的周期為可知，對(duì)任意u,當(dāng)它增加到且至少要增加到u+時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn)，因?yàn)椋@說明對(duì)任意x，當(dāng)它增加到且至少要增加到時(shí)，y=tan3x的函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn)，所以y=tan3x函數(shù)的周期為.【設(shè)計(jì)意圖】本題屬于正切型函數(shù)求周期，在解答的過程中，教師要讓學(xué)生體會(huì)換元的思想.這是訓(xùn)練周期性的進(jìn)一步深化，要繼續(xù)規(guī)范地引導(dǎo)學(xué)生探尋思路、寫好過程.引申思考：（課本56頁“想一想”）函數(shù)（其中都是常數(shù)，且）具有哪些性質(zhì)？從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等進(jìn)行討論.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生歸納出形如函數(shù)（其中都是常數(shù)，且）的性質(zhì)，特別是周期公式.三、課堂練習(xí)，鞏固所學(xué)1.（課本P56頁練習(xí)A第1題）求函數(shù)y=tan3x的定義域.參考答案：2.（課本P56頁練習(xí)A第3題）求下列函數(shù)的周期.（1）參考答案：【設(shè)計(jì)意圖】鞏固正切函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)以致用