第五章誤差基本知識學習本章的意義：使同學們掌握怎樣把誤差的基本知識應用到實際工程。內(nèi)容主要有：誤差概述、偶然誤差的性質(zhì)、衡量精度的標準、誤差轉(zhuǎn)播定律、觀測值及算術(shù)平均值中誤差、非等精度觀測。教學要求：（1）掌握誤差的分類及性質(zhì)、衡量精度的標準、誤差轉(zhuǎn)播定律、怎樣求觀測值及算術(shù)平均值中誤差。（2）了解非等精度觀測。第五章誤差基本知識重點誤差的分類及特點中誤差誤差傳播定理算術(shù)平均值的中誤差難點誤差傳播定理非等精度觀測§5.1測量誤差概述

1.什么叫誤差？誤差＝觀測值－真值?i＝li－X2.研究誤差的目的怎樣提高精度？怎樣去滿足精度進行施測？3.誤差產(chǎn)生的原因儀器、設備－－構(gòu)造不完善觀測者－－眼睛的分辨率60″外界條件－－氣溫、大氣折光、風力等影響①過失誤差（粗差）：觀測者錯誤引起

問題（1）：甲建筑公司在鄭州大學行政樓施工中進行變形觀測，一次用DS3儀器測量A點的沉降量為＋1.3mm，請問這次測量結(jié)果是不是過失誤差？②系統(tǒng)誤差：誤差的大小符號按一定的規(guī)律變化產(chǎn)生的原因：外界條件、儀器設備、觀測方法、計算手段消除、減弱系統(tǒng)誤差方法：

檢校儀器

求改正數(shù)

對稱觀測③偶然誤差：誤差的大小、符號無一定的規(guī)律變化，但符合某一統(tǒng)計規(guī)律產(chǎn)生的原因：人的感覺器官、儀器的性能處理方法：進行多余觀測有了多余觀測，可以發(fā)現(xiàn)觀測值中的錯誤，以便將其剔除和重測。有了多余觀測，觀測值之間必然產(chǎn)生矛盾（往返差、不符值或閉合差等），差值如果大到一定的程度，就認為觀測值中有錯誤，或者說誤差超限，需要返工重測。差值如果不超限，則按偶然誤差的規(guī)律加以處理，稱為“閉合差的調(diào)整”

5.偶然誤差的特性

現(xiàn)重復觀測了多個三角形內(nèi)角和，得到真誤差?i＝Li－180°，統(tǒng)計見表5-1，從這個列表中，我們可以看出偶然誤差的幾個特性：有界性密集性對稱性；抵償性6.偶然誤差的分布曲線誤差分布曲線一條正態(tài)分布曲線，可用正態(tài)分布概率密度函數(shù)表示：二、平均誤差θ＝［｜?｜］/nθ越小，精度越高三、中誤差

m越小，精度越高例1、設甲乙兩組觀測，真誤差為：

甲：＋4″，＋3″，0″，－2″，－4″

乙：＋6″，＋1″，0″，－1″，－5″

試比較兩組的精度。1、平均誤差：

θ甲＝θ乙＝2.6″甲組的離散區(qū)間（－4，＋4）乙組的離散區(qū)間（－5，＋6）所以甲組精度高。2、中誤差：所以甲組精度高關(guān)于中誤差要注意兩點中誤差（m）與真誤差（?）不同，它只是表示某一組觀測值的精度指標，并不等于任何觀測值的真誤差。若為等精度觀測，那么組中每個觀測值的精度皆為m。中誤差的概率含義是：對任一觀測值li的真誤差?i，落在區(qū)間[－m，+m]的概率是0.68。四、相對誤差

例2、假設現(xiàn)在丈量了兩段距離：甲：100±0.01米；乙：200±0.01米到底那組的精度高些呢？如果從中誤差來看，兩組的精度相等，但這樣顯然不合理。因為實際上距離測量的誤差與長度相關(guān)，距離越大，誤差的累積就越大,這就需要引入相對誤差：K=｜m｜/D

（注意化為分子為1的形式）

K甲＝1/10000,K乙＝1/20000,甲組精度高。例3、β1＝28°35′18″±3.8″；β2＝

308°15′12″±3.2″，那組的精度高？§5.3誤差傳播定律誤差傳播定律：是指描述觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律一、一般函數(shù)的中誤差

設Z=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…,xn屬于獨立自變量（如直接觀測值），他們的中誤差分別為m1,m2,…,mn則函數(shù)Z的中誤差為：二、特殊函數(shù)的中誤差1、倍數(shù)函數(shù)：Z=kx中誤差：mz=kmx

2、和差函數(shù)：Z=x1±x2±…±xn中誤差：3、線形函數(shù)：Z=k1x1±k2x2±…±knxn中誤差：例4：在△ABC中，測量得a＝137.285±0.012m∠A=56°35′18″±38″,∠B=38°30′32″±26″

求b及其中誤差？解：b=asin∠B/sin∠A=137.285sin38°30′32″/sin56°35′18″＝102.402db＝b/ada＋bctan∠B(d∠B/ρ″)

－bctan∠A（d∠A/ρ″）ρ″=206265″mb2＝（b/a）2ma2＋（bctan∠B）2（mB/ρ″)2

＋（bctan∠A）2

（mA/ρ″)2＝0.0000498mb＝±0.022，則b＝102.402±0.022m小結(jié)正確列出函數(shù)式；檢查觀測值是否獨立；求偏微分并代入觀測值確定系數(shù)；套用公式求出中誤差。

思考題：一個邊長為l的正方形，若測量一邊中誤差為ml＝±1cm，求周長的中誤差？若四邊都測量，且測量精度相同，均為ml，則周長中誤差是多少？

§5.4等精度直接觀測值1.算術(shù)平均值原理假設對某量X進行了n次等精度的獨立觀測，得觀測值l1，l2，…ln

算術(shù)平均值為：L=(l1+l2+…ln)/n=[l]/n算術(shù)平均值原理:當n→∞時，L=X證明：?i＝li－X,[?]=[l]－nX，[?]/n=[l]/n－X，根據(jù)偶然誤差第4特性即證算術(shù)平均值是觀測量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。2、或然誤差或然誤差：vi＝li－L或然誤差特性：［v］=03、由或然誤差求中誤差：

（白塞爾公式）

例：見教材中的例子4、算術(shù)平均值中誤差：

從這個公式可以看出，要使算術(shù)平均值中誤差變小，可以通過兩個方面來實現(xiàn)：一是增加觀測次數(shù)n，但觀測次數(shù)也不可能無限多，而且增加到一定次數(shù)后對算術(shù)平均值中誤差的影響不明顯，所以一般n取2～4；二是減小每次觀測時的中誤差m，也就是要改善觀測條件，例如用精度更高的儀器，提高觀測者的技能、責任心，在氣象條件好的環(huán)境下觀測。二、水平角觀測的誤差分析用DJ6經(jīng)緯儀進行測回法觀測水平角，那么用盤左盤右觀測同一方向的中誤差為±6″，所以瞄準一個方向的中誤差為：上半測回角值：β半＝b－a半測回角值差：半測回差取2m＝±34″，考慮到其它不利因素，所以取半測回差應該小于40″。一測回角值：β＝（β上＋β下）/2一測回角值精度mβ=±8.5″測回角值之差：?β=β1-β2，m?β=±12″測回差取2m=±24″,規(guī)范測回差限差24″例：為了讓某一角度的精度達到±4″,問用DJ6經(jīng)緯儀需要測幾個測回？解：n＝（8.5/4）2＝4.5所以需要測5個測回假定精度達到±1.7″,用DJ6經(jīng)緯儀測幾個測回？如果用DJ2經(jīng)緯儀需要測幾個測回？DJ6:n＝（8.5/1.7）2＝25測回DJ2:n＝（2.82/1.7）2＝2.8,即3測回2、單位權(quán)在Pi=λ2/mi2中，當Pi=1，Pi為單位權(quán)Pi=1時相應的觀測值，稱單位權(quán)觀測值;Pi=1時，λ2＝mi2，當權(quán)為1時，λ常數(shù)等于觀測值的中誤差，所以稱為單位權(quán)中誤差（用m0表示）3、定權(quán)的常用方法等精度觀測值算術(shù)平均值的權(quán)：λ＝m（觀測值中誤差），，則Pn＝n水準測量的權(quán)：水準路線的權(quán)與路線長度成反比，即Pi＝K/Li

二、加權(quán)平均值及其中誤差

1.加權(quán)平均值例：L=(2L1+4L2)/(2+4)2.單位權(quán)中誤差（m0）3、加權(quán)平均值的中誤差（M0）M0＝例：如圖，已知L1＝4Km，L2＝2.5Km，L3＝8.5Km

HA＝78.324m，h1＝-7.980m；

HB＝64.347m，h2＝5.992m；

HC＝24.836m，h3＝45.516m

求P點的高程平均值及其中誤差？加權(quán)平均值:HP=［PL］/［P］=70.343m單