數(shù)學(xué)物理方程EquationsofMathematicalPhysics前言典型的二階線性偏微分方程有三種：波動(dòng)方程；熱傳導(dǎo)方程；位勢(shì)方程。完整地處理數(shù)學(xué)物理方程包括三個(gè)方面的內(nèi)容：將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問(wèn)題；求解定解問(wèn)題；對(duì)得到的解作出物理解釋。

熱傳導(dǎo)方程的解法分離變量法適用于有界熱傳導(dǎo)方程的初值邊值問(wèn)題；傅氏變換法適用于無(wú)界熱傳導(dǎo)方程的初值(Cauchy)問(wèn)題；拉氏變換法適用于半無(wú)界熱傳導(dǎo)方程的初值邊值問(wèn)題；基本解方法適用于無(wú)界熱傳導(dǎo)方程的初值(Cauchy)問(wèn)題；

位勢(shì)方程的解法分離變量法適用于有界位勢(shì)方程的邊值問(wèn)題；傅氏變換法適用于半無(wú)界高維位勢(shì)方程的邊值問(wèn)題；格林函數(shù)法適用于某些規(guī)則區(qū)域位勢(shì)方程的邊值問(wèn)題。學(xué)時(shí)安排方程概論(6學(xué)時(shí))分離變量(4學(xué)時(shí))特殊函數(shù)(8學(xué)時(shí))積分變換(4學(xué)時(shí))格林函數(shù)(6學(xué)時(shí))數(shù)值計(jì)算(8學(xué)時(shí))介紹性專題(4學(xué)時(shí))單位圓域內(nèi)調(diào)和方程邊值問(wèn)題帶孔矩形板熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題圓形薄膜震動(dòng)問(wèn)題初始位移u=J0(μ01r)

第一章方程概論

1.1基本概念偏微分方程一般形式中包含多元未知函數(shù)u(x1,x2,…,xn)及其若干階偏導(dǎo)數(shù)偏微分方程中可以不含未知函數(shù)u，但必須含有未知函數(shù)u的偏導(dǎo)數(shù)。(1)

舉例

線性偏微分方程未知函數(shù)u及各階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都是一次的，系數(shù)僅依賴于自變量，則方程稱之為線性偏微分方程。

擬線性偏微分方程在非線性偏微分方程中，如果關(guān)于未知函數(shù)的最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱之為擬線性偏微分方程。

偏微分方程的階數(shù)偏微分方程的階數(shù)等于未知函數(shù)的最高偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。1.2經(jīng)典方程的導(dǎo)出導(dǎo)出經(jīng)典方程的方法有兩種：守恒方程變分原理本節(jié)利用第一種方法導(dǎo)出三種經(jīng)典方程。此式稱為桿的縱向振動(dòng)方程。依次將物理方程和幾何方程代入運(yùn)動(dòng)方程，可得記則有弦的力學(xué)基本方程為縱向運(yùn)動(dòng)方程橫向運(yùn)動(dòng)方程此式稱為弦的橫向振動(dòng)方程。弦的張力T為常數(shù)，橫向運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成記則有考慮任意閉合曲面所圍物質(zhì)體V，利用能量守恒定律可得

其中c,ρ分別為物體比熱和密度，等式左端項(xiàng)代表物質(zhì)體總熱量的變化率,右端第一項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)熱源產(chǎn)生的總熱量，第二項(xiàng)代表單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)物質(zhì)體表面的總熱量，流入物體內(nèi)部為正，流出為負(fù)。對(duì)于固體，上式的微分形式可寫(xiě)成對(duì)于流體，熱傳導(dǎo)方程的微分形式可寫(xiě)成其中vi為流體速度。關(guān)于方程左邊利用高斯公式，曲面積分可寫(xiě)成三維區(qū)域積分由積分區(qū)域V的任意性，最終導(dǎo)出電位所滿足的三維泊松方程。若電荷密度為零，則得到電位所滿足的三維拉普拉斯方程。1.3定解條件與定解問(wèn)題前面導(dǎo)出了一些典型偏微分方程。本節(jié)討論與之相關(guān)的問(wèn)題。首先什么是偏微分方程的解？1.3.1通解和特解如果函數(shù)u

及其導(dǎo)數(shù)能夠滿足偏微分方程，則稱函數(shù)u

為該方程的解。例1方程通解

求解二階偏微分方程。設(shè)化為解則原方程將v看作t的函數(shù)，x作為參數(shù)。解得兩邊對(duì)x積分得其中h(x),g(t)是兩個(gè)任意一次可微函數(shù)。此二階偏微分方程的解，代表解的函數(shù)空間（因含兩個(gè)任意函數(shù)），范圍很大，稱之為通解；若能確定通解中的任意函數(shù)，通解就變?yōu)榱颂亟?，特解中不含任意函?shù)或任意常數(shù)；僅有少數(shù)簡(jiǎn)單的偏微分方程可以通過(guò)類似常微分的方法得到通解，如本例。一般而言，偏微分方程的通解很復(fù)雜、也很難得到。例2方程特解試證明除點(diǎn)(x0,y0)外，函數(shù)滿足二維Laplace方程其中Laplace算子為標(biāo)量算子。設(shè)證得可得同理證明1.3.2定解條件由物理定律導(dǎo)出的偏微分方程稱之為泛定方程，這是因?yàn)?，要確定完全一個(gè)真實(shí)物理問(wèn)題還需附加一些定解條件。定解條件又分為初始條件和邊界條件兩種。初始條件初始條件又稱為Cauchy條件。初始條件與微分方程中所含對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)的最高階數(shù)相聯(lián)系。 初始位移初始速度波動(dòng)方程含有對(duì)時(shí)間的二階偏導(dǎo)數(shù)，初始條件包含熱傳導(dǎo)方程含有對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)，初始條件是指初始溫度在位勢(shì)方程中，未知函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以沒(méi)有初始條件。邊界條件邊界條件與微分方程中所含對(duì)坐標(biāo)偏導(dǎo)的最高階數(shù)相聯(lián)系。典型方程中含有對(duì)坐標(biāo)的二階偏導(dǎo)數(shù)，邊界條件可分為三種類型：第一類邊界條件(Dirichlet條件)第一類邊界條件是給出未知函數(shù)u在邊界S上的取值，其一般形式為其中f1為已知函數(shù)。其中f2為已知函數(shù)。第三類邊界條件(Robin條件)第三類邊界條件可以看作是前兩種邊界條件的線性組合，其一般形式為其中σ是常數(shù)，f3為已知函數(shù)。第二類邊界條件(Neumenn條件)第二類邊界條件是給出未知函數(shù)u沿邊界S的單位法線方向n的方向?qū)?shù)值，其一般形式為1.3.3定解問(wèn)題偏微分方程加上相應(yīng)的定解條件所構(gòu)成的問(wèn)題，稱為定解問(wèn)題。根據(jù)定解條件的不同對(duì)定解問(wèn)題進(jìn)行分類。初值問(wèn)題由泛定方程和初始條件組成的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題(Cauchy問(wèn)題)。例如：一維齊次波動(dòng)方程的初值問(wèn)題一維無(wú)界桿熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題泛定方程與邊界條件構(gòu)成的定解問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。位勢(shì)方程的邊值問(wèn)題可分為三種。⑴第一邊值問(wèn)題位勢(shì)方程與第一類邊界條件組成的定解問(wèn)題成為第一邊值問(wèn)題，也稱為Dirichlet問(wèn)題。例如三維泊松方程第一邊值問(wèn)題#邊值問(wèn)題⑵第二邊值問(wèn)題位勢(shì)方程與第二類邊界條件組成的定解問(wèn)題成為第二邊值問(wèn)題，也稱為Neumenn問(wèn)題。例如三維泊松方程第二邊值問(wèn)題⑶第三邊值問(wèn)題位勢(shì)方程與第三邊界條件組成的定解問(wèn)題成為第三邊值問(wèn)題，也稱為Robin問(wèn)題。例如三維泊松方程第三邊值問(wèn)題既有初值條件又有邊界條件的定解問(wèn)題稱為稱為初值邊值問(wèn)題或混合問(wèn)題，如有界弦自由振動(dòng)初值邊值問(wèn)題初值邊值問(wèn)題1.3.4適定性概念判斷一個(gè)定解問(wèn)題是否合理，是否能夠描述一個(gè)給定的物理狀態(tài)，一般有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：解的存在性所給的定解問(wèn)題有解；解的唯一性所給的定解問(wèn)題只有一個(gè)解；解的穩(wěn)定性當(dāng)定解條件以及方程中的系數(shù)有微小變動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的解也只有微小變動(dòng)。解的穩(wěn)定性也稱為解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性。如果定解問(wèn)題的解存在、唯一且穩(wěn)定，就稱這個(gè)定解問(wèn)題是適定的。1.4含有兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類

1.4.1方程的分類雙自變量的二階線性偏微分方程的一般形式為其中u(x,y)是未知函數(shù)，a11,a12,a22,b1,b2,c,f都是x,y的已知函數(shù)，并且具有足夠的連續(xù)性和可微性，且a11,a12,a22不同時(shí)零。方程的一般形式雙自變量的二階線性偏微分方程的分類。定義判別式根據(jù)在某點(diǎn)(x0,y0)處，系數(shù)判別式符號(hào)的三種可能，將二階線性偏微分方程分成三類：雙曲型方程Δ>0拋物型方程

Δ=0

橢圓型方程Δ<01.4.2方程的標(biāo)準(zhǔn)形式雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型和第二標(biāo)準(zhǔn)型拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型或橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型1.4.3方程的簡(jiǎn)化偏微分方程的簡(jiǎn)化就是將其標(biāo)準(zhǔn)化。按下述步驟可將雙自變量的二階線性偏微分方程標(biāo)準(zhǔn)化。第一步根據(jù)判別式Δ確定方程類型。當(dāng)判別式不等于零時(shí)，此方程可分解為兩個(gè)特征線方程第二步根據(jù)方程中系數(shù)寫(xiě)出如下特征方程積分后可得兩個(gè)特征線方程的隱式通解（兩族特征線）取變量代換第三步(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，以ξ,η為新變量可得雙曲型方程第一標(biāo)準(zhǔn)形式原微分方程可化為橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)當(dāng)Δ<0時(shí)，ξ,η為共軛復(fù)變量，如是選取實(shí)變量(3)當(dāng)Δ=0時(shí)，只有一個(gè)特征線方程由此可得一族實(shí)特征線如是選取獨(dú)立的實(shí)變量

ξ，η原偏微分方程可化為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式例3特里科米方程標(biāo)準(zhǔn)形式試將空氣動(dòng)力學(xué)中的特里科米(Tricomi)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形。解首先計(jì)算判別式Δ=-y。顯然方程的類型由y值來(lái)決定。其次列出特征方程(1)當(dāng)Δ=-y

>0時(shí)，方程為雙曲型方程，將特征方程積分后得兩族特征線取新變量ξ,η為分解為兩個(gè)特征線方程計(jì)算可得詳細(xì)地計(jì)算函數(shù)的微分：方程化為雙曲型方程第一標(biāo)準(zhǔn)形式即微分計(jì)算的結(jié)果及原方程：(2)當(dāng)Δ=-y

<0時(shí)，方程為橢圓型方程。積分后得兩族特征線特征方程可分解為兩個(gè)特征線方程方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式取新變量ξ,η為計(jì)算可得(3)當(dāng)Δ=-y

=0時(shí)，方程為拋物型方程結(jié)論：在x_y平面上特里科米(Tricomi)方程是混合型方程。雙曲橢圓x例4方程標(biāo)準(zhǔn)形式和通解求方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和通解。解其次，將特征方程分解為首先計(jì)算判別式方程為雙曲方程。得到雙曲型方程第一標(biāo)準(zhǔn)形式取變換計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)并代入原方程即設(shè)原方程化為解得將v對(duì)η積分代回原變量其中H,G為任意二次可微函數(shù)，至此求得方程的通解。1.5波動(dòng)方程的行波法

1.5.1一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題一維波動(dòng)方程的解可表示成左行波和右行波的疊加，用此方法求解定解問(wèn)題，稱為行波法，又稱為達(dá)朗貝爾法，其過(guò)程是：首先將方程化為雙曲方程的第一類標(biāo)準(zhǔn)型，求出方程的通解，再由初始條件確定通解中的任意函數(shù)。達(dá)朗貝爾公式一維齊次波動(dòng)方程初值問(wèn)題可表示為首先，寫(xiě)出特征方程并進(jìn)行分解取變換波動(dòng)方程化成第一標(biāo)準(zhǔn)型積分可得回代原自變量得方程通解其中F,G為任意二次可微函數(shù)。F為左行波，G為右行波；以G為例，若波G(x)的前鋒位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則有x=at，其前鋒必向右移動(dòng)。積分解代數(shù)方程組可確定兩個(gè)任意函數(shù)的表達(dá)形式其次，利用初始條件列出任意函數(shù)應(yīng)滿足的條件這就是著名的達(dá)朗貝爾公式，其中φ,ψ分別為二次和一次可微函數(shù)，時(shí)間范圍t

取有限值。此公式滿足波動(dòng)方程及初始條件，公式中不含任何待定函數(shù)或常數(shù)，解函數(shù)連續(xù)地完全依賴初始條件，所以解函數(shù)是存在的、唯一的、穩(wěn)定的，故一維齊次波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的解是適定的。 還原自變量后，將函數(shù)表達(dá)式代入方程通解1.5.2反射波法所謂反射法就是將無(wú)界振動(dòng)問(wèn)題的結(jié)果應(yīng)用于半無(wú)界等問(wèn)題，此法也稱為對(duì)稱延拓法。本小節(jié)研究半無(wú)界弦振動(dòng)問(wèn)題的初值端值問(wèn)題，并根據(jù)端點(diǎn)的不同情況，分別加以討論。端點(diǎn)固定端點(diǎn)自由端點(diǎn)約束條件：端點(diǎn)固定半無(wú)界弦振動(dòng)方程的初值端值問(wèn)題(A)為了利用前面無(wú)界問(wèn)題的公式，設(shè)計(jì)一個(gè)右半端保持原狀態(tài)的無(wú)界問(wèn)題，使其初始條件反對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)。f(x)=-f(-x)(B)在反射區(qū)（x≥0,x-at≤0），利用達(dá)朗貝爾公式可得物理意義初始條件的左行波端點(diǎn)反射的右行波在反射區(qū)(x≥0,x-at≤0)內(nèi)txx=ato0≤x≤atx>at驗(yàn)證端點(diǎn)固定的條件。當(dāng)x=0時(shí)，由上述公式有滿足端點(diǎn)固定條件，即初始條件決定的左行波與端點(diǎn)反射的右行波的作用在此抵消?？紤]區(qū)域（x-at

>

0），由達(dá)朗貝爾公式可得公式表明，解析解不受端點(diǎn)反射波的影響。端點(diǎn)自由半無(wú)界弦振動(dòng)問(wèn)題的初值問(wèn)題(A)為了利用無(wú)界問(wèn)題的研究結(jié)果，設(shè)計(jì)一個(gè)右半端保持原狀態(tài)的無(wú)界問(wèn)題，使其初始條件對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)。f(x)=f(-x)(B)在反射區(qū)（x≥0，x-at≤0

），由達(dá)朗貝爾公式可得驗(yàn)證端點(diǎn)自由的條件。計(jì)算上述公式的梯度滿足端點(diǎn)自由的條件。當(dāng)x=0時(shí)在區(qū)域（x-at>0）內(nèi)，由達(dá)朗貝爾公式可得公式表明，方程的解不受端點(diǎn)反射波的影響。1.6疊加原理和齊次化原理在線性的物理方程和線性的定解條件中，非齊次項(xiàng)的作用類似于力的疊加，全部非齊次項(xiàng)作用的結(jié)果等于每個(gè)非齊次項(xiàng)單獨(dú)作用結(jié)果的總和，因此解析解的結(jié)構(gòu)也是線性的。1.6.1疊加原理考慮二階線性偏微分方程其中aij,bi,c,f是自變量x1,x2,…,xn的連續(xù)函數(shù)，且方程的定解條件也是線性的，則關(guān)于微分方程的解有如下疊加原理：滿足原方程則它們的任意線性組合設(shè)基函數(shù)un滿足方程當(dāng)m趨于無(wú)窮時(shí)，要求級(jí)數(shù)都收斂，且級(jí)數(shù)解u可逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次，則u滿足原方程思考如何考慮定解條件?例5根據(jù)疊加原理，可以將一個(gè)較為復(fù)雜的線性問(wèn)題等價(jià)地分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的線性問(wèn)題。圓域內(nèi)的泊松方程第一邊值問(wèn)題試將該問(wèn)題等價(jià)地分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的邊值問(wèn)題，并求解析解。解設(shè)u=v+w，其中v,w分別滿足非齊次方程和齊次方程的邊值問(wèn)題設(shè)