第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解2.2狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)及計算方法2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解2.4

線性時變系統(tǒng)的解2.5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解2.6線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解一、定義：

運動的分類1、自由運動：線性定常系統(tǒng)在沒有控制作用時，由初始條件引起的運動稱自由運動。

狀態(tài)方程：2、強迫運動：線性定常系統(tǒng)在控制作用下的運動,稱為強迫運動。

狀態(tài)方程：x2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解二、齊次狀態(tài)方程的解也就是系統(tǒng)的自由解，是系統(tǒng)在沒有控制輸入的情況下，由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的自由運動，設系統(tǒng)的狀態(tài)方程的齊次部分為：其中：，且初始條件為線性定常連續(xù)系統(tǒng)：（1）冪級數(shù)法標量定常微分方程

的解為：

將標量齊次微分方程的解法推廣到向量微分方程中去。假設的解X(t)為時間t的向量冪級數(shù)形式，即：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解式中都是n維向量，則第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解故而有：且有。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解故第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解定義：則純量微分方程的解為，稱為指數(shù)函數(shù)，而向量微分方程的解在形式上稱為矩陣指數(shù)函數(shù)。

與其是相似的，故把第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解是由轉移而來，對于線性定常系統(tǒng)，又有狀態(tài)轉移矩陣之稱，并記作，即：狀態(tài)轉移矩陣將兩端取拉氏變換，有（2）拉普拉斯變換法：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，初始條件為，試求狀態(tài)轉移矩陣和狀態(tài)方程的解。解：（１）求狀態(tài)轉移矩陣此題中：，第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解所以

２）狀態(tài)方程的解【例】已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解初始條件為，試求狀態(tài)方程的解。解：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解故而第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.2狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)及計算方法是由轉移而來，對于線性定常系統(tǒng)，又有狀態(tài)轉移矩陣之稱，并記作，即：

若初始條件為，則狀態(tài)轉移矩陣記為：一、狀態(tài)轉移矩陣1）狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解二、狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)性質(zhì)一

或這是組合性質(zhì)，它意味著從-τ轉移到0，再從0轉移到t的組合，即:第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解性質(zhì)二

上述二性質(zhì)可由定義得到證明。本性質(zhì)意味著狀態(tài)矢量從時刻t又轉移到時刻t，顯然，狀態(tài)矢量是不變的。性質(zhì)三

或這個性質(zhì)是，狀態(tài)轉移矩陣的逆意味著時間的逆轉；利用這個性質(zhì)，可以在已知x(t)的情況下，求出小于時刻t的x(t0),(t0<t)

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解這個性質(zhì)說明，或eAT矩陣和A矩陣是可以交換的?？捎傻玫紸性質(zhì)四對于狀態(tài)轉移矩陣，有

或

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解令便可證明該性質(zhì)表明可分解為與的乘積，且與可交換相乘。性質(zhì)五第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解性質(zhì)六證明：………(1)

………(2)

…(3)

比較（1）、（3）式，有成立。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解根據(jù)這一性質(zhì)，可把一個轉移過程分為若干個小的轉移過程來研究。如下圖:第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解性質(zhì)七性質(zhì)八若矩陣A，B可交換，即AB＝BA，那么

，否則不成立。

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解根據(jù)定義，

比較上述兩展開式t的各次冪的系數(shù)可知，當AB＝BA式，

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解三、幾個特殊的狀態(tài)轉移矩陣1）第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2)第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解3）若矩陣A為一約當矩陣，即第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解4）若矩陣A通過非奇異矩陣P化為對角線矩陣，即：,則：5)若，則：第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知狀態(tài)轉移矩陣為

試求和A。解：（1）根據(jù)狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)3，可知第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解（2）根據(jù)狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)4，可知

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知

試求狀態(tài)轉移矩陣解：根據(jù)特殊狀態(tài)轉移矩陣的特點，可知。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】驗證如下矩陣是否為狀態(tài)轉移矩陣。

解：利用性質(zhì)2

所以該矩陣不是狀態(tài)轉移矩陣。，第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

【例】已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，當時，當時，試求系統(tǒng)矩陣A和狀態(tài)轉移矩陣解：由性質(zhì)4可知：由已知，有

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解∴

∴第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2）狀態(tài)轉移矩陣的計算方法1.直接法2.拉普拉斯變換法3.化矩陣A為標準型法第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解4.化矩陣指數(shù)為A的有限項。，則A滿足1)Cayley-Hamilton定理設n階矩陣A的特征多項式為：其特征方程，即:第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解可表示為A的狀態(tài)轉移矩階多項式

式中，均為冪函數(shù)。

推論2）化為A的有限項第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解3)的計算。(1)A的特征值互異時。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解(2)A有重特征值時第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知求解：1.直接法第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知，求解:

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.拉普拉斯變換法【例】已知，求

解

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解所以

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解3.化矩陣A為標準型法類似地，若矩陣A可變換為Jordan標準形，則eAt可由下式確定出:

eAt=PeJtP–1

若可將矩陣A變換為對角線標準形，那么eAt可由下式給出:第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知，求第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】考慮如下矩陣解

該矩陣的特征方程為因此，矩陣A有三個相重特征值λ=1。可以證明，矩陣A也將具有三重特征向量（即有兩個廣義特征向量）。易知，將矩陣A變換為Jordan標準形的變換矩陣為第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

矩陣P的逆為第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解于是第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解注意到可得eAt=PeJtP

–1第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解即第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知

，求

解：

根據(jù)前面有關內(nèi)容，可知：設

，則

得：

得：

得：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

，第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

或由約旦形式直接寫出變換陣

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解4.化矩陣指數(shù)為A的有限項。然后通過求待定時間函數(shù)獲得的方法。這種利用凱萊-哈密爾頓定理，化為A的有限項，方法相當系統(tǒng)，而且計算過程簡單?！纠恳阎?，求第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解2.2狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)及計算方法2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解2.4線性時變系統(tǒng)的解2.5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解2.6線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解

給定線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為其中，，且初始條件為

解法：1、直接積分法2、拉氏變換法第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解在上式兩邊左乘e-At，可得將上式由0積分到t，得求出其解為采用類似標量微分方程求解的方法，將上式寫成1、直接積分法第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解或注意：若取作為初始時刻，積分可得：

即：第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2、拉氏變換法，兩邊同時取拉氏變換則第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解在此視為，視為，則由拉氏變換卷積定理：或具體采用那個式子，視求解方便程度而定。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解非齊次狀態(tài)方程的解右邊第一項表示由輸入向量為零時，初始狀態(tài)引起的自由運動，稱為狀態(tài)方程的零輸入響應；第二項是初始狀態(tài)為零時，輸入向量引起的的強制運動，稱為狀態(tài)方程的零狀態(tài)響應。第二項的存在為控制提供了這樣的可能性，即通過選擇輸入向量u(t)，使得x(t)的形態(tài)滿足期望的要求。是由兩部分組成：等式第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解當u(t)

為幾種典型的控制輸入時，即脈沖信號輸入；階躍信號輸入；斜坡信號輸入；有如下形式。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解1脈沖信號輸入，即：

時即：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2階躍信號輸入，即

即：第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解3斜坡信號輸入，即

，可以求得：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為解：

由已知u(t)=1,u(t-τ)=1，則有輸入，初始條件為試求解此非齊次狀態(tài)方程。，（1）先求，由前面例題可知第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解（2）求

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解故而

或直接代入右式得第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解%Example

grid;xlabel('時間軸');ylabel('x代表x1，----*代表x2');t=0:0.1:10;x1=0.5-exp(-t)+0.5*exp(-2*t);x2=exp(-t)-exp(-2*t);plot(t,x1,'x',t,x2,'*')end第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.4線性時變系統(tǒng)的解系統(tǒng)微分方程中只要有一個系數(shù)是時間的連續(xù)函數(shù)，便稱為時變系統(tǒng)。線性時變連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為:第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解研究時變系統(tǒng)比研究定常系統(tǒng)要復雜困難得多，這里只研究把定常的某些狀態(tài)空間分析的理論推廣應用到時變系統(tǒng)中去，而傳遞函數(shù)和頻率特性在時變系統(tǒng)中推廣是很困難的。在定常連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解析中，曾應用與標量定常齊次微分方程解的類比方法導出矩陣指數(shù)及狀態(tài)轉移矩陣概念，這里也采用與標量時變齊次微分方程解的類比方法來導出某些結果。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解一、時變齊次狀態(tài)方程的解標量時變齊次微分方程

用分離變量法，并在取積分，有解得即轉移特性與a(t)以及t、t0

有關。故時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣不再是形如，而是第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解可見x(t)也是由x(t0)轉移而來，但轉移特性不再是定常情況下的，而是，時變齊次狀態(tài)方程為。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解設其解式中

為時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣。將解代入原方程有

故當t=t0時，由

有是應滿足的微分方程及初始條件。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解已知定常系統(tǒng)的的冪級數(shù)表達式對于時變系統(tǒng)，可否用上述類似公式來表示？第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣是滿足如下矩陣微分方程和初始條件的解。二、時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)（1）時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2、；（2）線性時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的幾個重要性質(zhì)1、證又有第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解3、；該性質(zhì)表明必有逆，x(t0)

至x(t1)的狀態(tài)轉移矩陣是x(t1)至x(t0)的狀態(tài)轉移矩陣的逆陣。該性質(zhì)表明，x(t0)轉移至x(t2)

的轉移特性，可分解為x(t0)

至x(t1)

及x(t1)

至x(t2)的分段轉移特性，或者說x(t0)

至x(t1)

及x(t1)

至x(t2)的轉移特性，可合成為x(t0)至x(t2)

的轉移特性。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解4、計算時變系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的公式上式一般不能寫成封閉形式，可按精度要求，用數(shù)值計算的方法取有限項近似。特別地，只有當滿足即在矩陣乘法可交換的條件下，如下矩陣指數(shù)函數(shù)形式

才可表示為第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解三、時變非齊次狀態(tài)方程的解設其解為對上式求導有：設其解為故第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解又所以第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解若考慮時變系統(tǒng)輸出方程為則時變系統(tǒng)輸出響應函數(shù)為第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.1線性定常齊次狀態(tài)方程的解2.2狀態(tài)轉移矩陣的性質(zhì)及計算方法2.3線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解2.4

線性時變系統(tǒng)的解2.5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解2.6線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.5離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解離散時間狀態(tài)空間表達式為

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了(k+1)T時刻的狀態(tài)與kT時刻的狀態(tài)、輸入量之間的關系；離散系統(tǒng)輸出方程描述了kT時刻的輸出量與kT

時刻的狀態(tài)、輸入量之間的關系。離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程求解方法：遞推法（迭代法），對定常、時變系統(tǒng)都適用；Z變換法，只適用于定常系統(tǒng)。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解1）遞推法求解離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

用遞推法解上面矩陣差分方程，即依次取

，得：第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解即

即為線性定常離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解當初始時刻為h時，同理可推出：或離散系統(tǒng)的解可記為：其中稱為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)轉移。矩陣，記為（滿足：；

）第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程是：

，，初始狀態(tài)，試用遞推法求解。，解：第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解顯然，用遞推法求解所得到的不是一個封閉的解析形式，而是一個解序列。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2）Z變換法求解離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程設定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程是：

兩邊取Z變換：

，整理有∴

兩邊取Z反變換：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】已知某離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程是：

，，初始狀態(tài)，，試用Z變換法求解。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解解：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解而

∴第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

對取z反變換，有第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2.6線性連續(xù)系統(tǒng)的離散化離散化的目的數(shù)字計算機所處理的數(shù)據(jù)是數(shù)字量，它不僅在數(shù)值上是整量化的，而且在時間上是離散化的。如果采用數(shù)字計算機對連續(xù)時間狀態(tài)方程求解，那么必須先將其化為離散時間狀態(tài)方程。當然，在對連續(xù)受控對象進行在線控制時，同樣也有一個將連續(xù)數(shù)學模型的受控對象離散化的問題。在最優(yōu)控制理論中，我們經(jīng)常要用離散動態(tài)規(guī)劃法對連續(xù)系統(tǒng)進行優(yōu)化控制，同樣也需要先進行離散化。第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解１）線性定常系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

記令則代換后有第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解故離散化狀態(tài)方程為：

輸出方程為：

其中：，第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解【例】試寫出連續(xù)時間系統(tǒng)

采樣周期為T的離散化狀態(tài)方程。

解：先求第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

所以：

第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解線性時變連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為：在x(t0)及u(t0)作用下的解為令t0=KT時的狀態(tài)x(tk)作為初始狀態(tài)；在t∈[tk，

tk+1]有２）線性時變系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解則tk+1時刻的狀態(tài)為記故線性時變系統(tǒng)的離散化狀態(tài)方程為式中表示x(k)至x(k+1)的狀態(tài)轉移矩陣。上式