新定義型問(wèn)題

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【命題趨勢(shì)】

新定義型問(wèn)題是在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，

要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種

題型.一般有三種類型問(wèn)題：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接"新知識(shí)"；（3）

定義新概念.這類試題考查考生對(duì)"新定義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題

時(shí)需要將"新定義"的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，利用己有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.

【滿分技巧】

一.讀懂題目，搜集信息，理解本質(zhì)：

要想做好這類新定義型問(wèn)題，關(guān)鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念

的本質(zhì).題目中可能會(huì)給出很多信息，有些是無(wú)關(guān)緊要的，有些是重要的，我們一定要抓住

關(guān)鍵詞，關(guān)鍵信息，徹底弄懂其問(wèn)題的本質(zhì)，這是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.

二.新定義型問(wèn)題一般與代數(shù)知識(shí)結(jié)合較多，多關(guān)注初中數(shù)學(xué)中以下幾個(gè)部分的代數(shù)知識(shí)：

1.實(shí)數(shù)的運(yùn)算一高中的虛數(shù)的運(yùn)算、數(shù)列的求和等知識(shí).

2.反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)一事函數(shù)或指數(shù)函數(shù)

3.一元一次、一元二次方程、分式方程一指數(shù)方程、三角方程等特殊方程

4.物理力學(xué)一向量的運(yùn)算（平行四邊形法則）

5.其他類型

三.熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)的常用思想方法

我們?cè)诮鉀Q新定義型問(wèn)題時(shí)，往往都是利用現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)合一些重要的數(shù)學(xué)思想方法去

解決新定義的問(wèn)題，比如，我們用初中所學(xué)的實(shí)數(shù)的知識(shí)結(jié)合類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)

解決復(fù)數(shù)或者虛數(shù)的一些問(wèn)題等等.所以一定要把未學(xué)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用

現(xiàn)有的知識(shí)和方法，結(jié)合轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題.

【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘）

一、選擇題

1.（2019湖南省株洲市）從-1,1,2,4四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)（記作ak,瓦）構(gòu)成一

個(gè)數(shù)組肱=｛a?,&｝（其中衣=1,2…S,且將｛a*,bG與｛從,aj視為同一個(gè)數(shù)組），若滿足：

對(duì)于任意的也=3，4｝和跖=｛a,,勿｝（巴,1W/WS,1WJWS）都有a,+6,Wa.,+。，則S

的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】V-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

，a,+6,共有5個(gè)不同的值.

又?對(duì)于任意的M=｛a”4｝和防=｛a”"｝（1W/WS,1WjWS）都有a,+6,Wa產(chǎn)歷，

的最大值為5.

故選：C.

2.（2019四川省達(dá)州市）a是不為1的有理數(shù)，我們把」一稱為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)

l-a

為-1—=-1,-1的差倒數(shù)——!、=L已知a=5,4是團(tuán)的差倒數(shù)，當(dāng)是a的差倒數(shù)，

1-21-（-1）2

國(guó)是2的差倒數(shù)…，依此類推，a刈9的值是（）

A.5B.-工C.AD.A

435

【答案】D

【解析】分析根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個(gè)數(shù)便不難發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組依次

循環(huán)，用2019除以3,根據(jù)余數(shù)的情況確定出與az?！?相同的數(shù)即可得解.

???a=5,

1-a11-54

b

，數(shù)列以5,-1,2三個(gè)數(shù)依次不斷循環(huán),

45

720194-3=673,

.__4

??續(xù)019-H------

5

故選：D.

—(^>0)

3.(2019廣西玉林市)定義新運(yùn)算：p十夕，例如：3十5=3,3十(-5)=3,

P,小55

<0)

Iq

【答案】D

【解析】分析根據(jù)題目中的新定義，可以寫出y=2十x函數(shù)解析式，從而可以得到相應(yīng)的函

數(shù)圖象,本題得以解決.

—(^>0)

p十q=<q

q

2

*>0)

：.y=2?x=<x

_2

(x<0)

x

故選：D.

二、填空題

4.（2019河北省）如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù).

示例：即4+3=7

則（1）用含x的式子表示力=

（2）當(dāng)尸-2時(shí)，〃的值為.

【答案】3x;l

【解析】（1）根據(jù)約定的方法可得:

m=戶2x=3x；

故答案為：3筋

(2)根據(jù)約定的方法即可求出n

x+2x+2x+3=m^n=y.

當(dāng)尸-2時(shí)，5A+3=-2.

解得A--1.

...〃=2廣3=-2+3=1.

故答案為：L

5.(2019湖北省荊州市)對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為(x),即當(dāng)〃為非負(fù)整數(shù)

時(shí)，若0.5Wx<加0.5,則(x)=〃.如(1.34)=1,(4.86)=5.若(0.5不-1)=6,

則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】13Wx<15

【解析】依題意得：6-0.5W0.5x-1V6+0.5

解得13Wx<15.

故答案是：13WxV15.

6.(2019湖北省十堰市)對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算如下：a?8=(AZO?-(a-b)?.若

(加2)◎(/?-3)=24,則勿=.

【答案】-3或4

【解析】根據(jù)題意得[("升2)+(zo-3)]'-[(M2)-(///-3)]~=24,

(2勿-1)2-49=0,

(2z?-1+7)(2m-1-7)=0,

2m-1+7=0或2m-1-7=0,

所以u(píng)h--3,倔=4.

故答案為-3或4.

7.（2019湖北省襄陽(yáng)市）定義：解8=豆，則方程2*（矛+3）=1*（2x）的解為

b

【答案】x=l

【解析】2*（戶3）=1*（2x）,

2=1,

x+32x

4*=x+3,

x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)：X=1是原方程的解，

故答案為：X=l.

8.（2019湖南省常德市）規(guī)定：如果一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此

四邊形為廣義菱形.根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四

邊形是廣義菱形；③對(duì)角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M,N

的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,-1）,尸是二次函數(shù)的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，

4

國(guó)垂直直線y=-1于點(diǎn)。，則四邊形用加Q是廣義菱形.其中正確的是.（填序號(hào)）

【答案】①②③

【解析】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，①正確；

②平行四邊形有一組對(duì)邊平行，沒(méi)有一組鄰邊相等，②錯(cuò)誤；

③由給出條件無(wú)法得到一組對(duì)邊平行，③錯(cuò)誤：

④設(shè)點(diǎn)P（"〃—nl'）,則Q（卬，-1）,

4

MP=^IH2+（-1-ID2-1）2=ljm2+lP

:點(diǎn)尸在第一象限,

：.用》0,

4，"

：.MP=PQ,

又‘:MN"PQ,

：,四邊形冏處M是廣義菱形.

④正確；

故答案為①②③；

9.（2019湖南省懷化市）探索與發(fā)現(xiàn)：下面是用分?jǐn)?shù)（數(shù)字表示面積）砌成的“分?jǐn)?shù)墻”，

則整面“分?jǐn)?shù)墻”的總面積是.

11

22

1i

五33

1111

4444

11111

5555

11i1

66A6

1111111

777777

1111111

88888888

??

111111111

nrnnnnnn

【答案】n-1

【解析】由題意“分?jǐn)?shù)墻”的總面積=2xL+3xL+4xL+…+〃xL=〃-1,

234n

故答案為〃-1.

10.（2019湖南省婁底市）已知點(diǎn)P（x°,%）到直線y=依+b的距離可表示為d」5+"一%I

J1+公

例如：點(diǎn)”到直線尸2x+6的距離仁堂黑小.據(jù)此進(jìn)一步可得兩條平行線

VF+2

y=x和y=x-4之間的距離為一.

【答案】2夜

【解析】當(dāng)x=0時(shí)，y=x=O,即點(diǎn)（0,0）在直線y=x上，

因?yàn)辄c(diǎn)（0,0）到直線y=I的距離為：d=1（^4~01=2=2應(yīng)，

因?yàn)橹本€y=x和y=x-4平行，

所以這兩條平行線之間的距離為2&.

故答案為2夜.

11.（2019湖南省湘西市）閱讀材料：設(shè)a=（為，必），b—（*2,羥），如果a〃b，貝U小,度

—xz*yx,根據(jù)該材料填空，已知a=（4,3）,b=（8,in）,且a〃b，則勿=.

【答案】6

【解析】a=（4,3）,b=（8,m）,且Q//b，

，4勿=3X8,

：.m=6；

故答案為6；

12.（2019江蘇省連云港市）如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時(shí)針?lè)较颍▓D中

箭頭方向）標(biāo)注各等分點(diǎn)的序號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8,將不同邊上的序號(hào)和為8的兩

點(diǎn)依次連接起來(lái)，這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系.在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)

的坐標(biāo)用過(guò)這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來(lái)表示（水

平方向開(kāi)始，按順時(shí)針?lè)较颍?，如點(diǎn)4的坐標(biāo)可表示為（1,2,5）,點(diǎn)6的坐標(biāo)可表示為（4,

1,3）,按此方法，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為

SO

【答案】（2,4,2）

【解析】根據(jù)題意得，點(diǎn)，的坐標(biāo)可表示為（2,4,2）,

故答案為：（2,4,2）.

13.（2019山東省德州市）已知：[幻表示不超過(guò)x的最大整數(shù).例：[4.8]=4,[-0.8]=->現(xiàn)

定義：{x}=x-㈤，例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5,則{3.9}+{-1.8}-{1}=.

【答案】0.7

【解析】根據(jù)題意可得：{3.9}+{-1.8}-{1}=3.9-3-1.8+2-1+1=0.7,

故答案為：0.7

14.（2019山東省臨沂市）一般地，如果x'=a（a20）,則稱x為a的四次方根，一個(gè)正數(shù)a

的四次方根有兩個(gè).它們互為相反數(shù)，記為土圾，若必[=10,則.

【答案】±10

【解析】VV^=10>

二m—±10.

故答案為：±10

15.（2019上海市）已知/@）=爐-1,那么f（一1）=

【答案】0

【解析】當(dāng)x=T時(shí),/(-1)=(-1)2-1=0.

故答案為：0.

16.(2019四川省遂寧市)閱讀材料：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1,記為產(chǎn)=-1,這個(gè)

數(shù)？叫做虛數(shù)單位，把形如a+反(a,6為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部,

6叫這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部.它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似.

例如計(jì)算：(4+/)+(6-27)=(4+6)+(1-2)1-10-2；

(2-i)(3+7)=6-3￡+2,-『=6-i-(-1)=7-1,

(4+7)(4-i)=16-i—16-(-1)=17；

(2+/)2=4+4/+f=4+4f-1=3+4；

根據(jù)以上信息，完成下面計(jì)算：

(1+2，)(2-7)+(2-D2=.

【答案】7-1

【解析】(1+2?)(2-；)+(2-/)2=2-；+4/-2/+4+Z-4；

=6-i-i

=6-7+1

=7-i.

故答案為：7-i.

17.(2019重慶市)《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”道出了自然數(shù)的

特征.在數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具