2014年考研數(shù)學(xué)模擬試題(數(shù)學(xué)一)

參考答案一、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))1.設(shè)f(x)在(—8,+8)內(nèi)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是().(A)sinf'(x)(B)fxsint,f(t)dt(C)fxf(sint)dt(D)fx[sint+f(t)]dt0 0 0解選擇B.由題設(shè)知，sint?f(t)為偶函數(shù)，故fxsint?f(t)dt為奇函數(shù).02.設(shè)f2.設(shè)f(x)=<i1—ex1,，x豐0，則x=0是f(x)的().x=0,(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)解選擇B.limf(x)=解選擇B.limf(x)=limx-0一x-0-11+ex 1 =1，11—exlimf(x)=limx—0+x—0+11+ex——=—1，故x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn).11—ex3.若函數(shù)f(x)與g(x)在(-8,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)<g(x)，則必有().(A(A)f(-x)>g(-x)(B)f'(x)<g'(x)(C)limf(x)<limg(x)(D)解選擇C.由函數(shù)f(x)與g(x)在(—8,+8)內(nèi)可導(dǎo)知，f(x)與g(x)在(—8,+8)內(nèi)連續(xù)，limf(x)=f(x)，0x-x0limg(x)=g(x)，而f(x)<g(x)，故limf(x)<limg(x).0x-x04.已知級(jí)數(shù)￡(—1)4.已知級(jí)數(shù)￡(—1)n-1an和￡n=1n=1a2n分別收斂于a,b，則級(jí)數(shù)￡a”().【C】n=1(A)不一定收斂(B)必收斂，和為2a+b(C)必收斂，和為(C)必收斂，和為a-2b(D)必收斂，和為a+2bn=1設(shè)￡(—1)nn=1設(shè)￡(—1)n-1a,￡a2n=1 n=1￡a的前n項(xiàng)和分別為s,S,。nn=1，貝Ulims=a,limS=b

n-8n n-8n=(a—a+a—a+?一+a—a)+2(a+a+?…+a)解選擇D.由級(jí)數(shù)￡(—1)n-1a收斂知，lima=0，n

n-8故limoi2k故limoi2k-lim(5+25)=a+2b,lima=lim(a+a)=a+2b,2女+1所以limooo級(jí)數(shù)收斂，和為。+所以limooonn=l*0相似，則廠(4)+/(4-25)=().(A)3(B)4(C)5(D)6解選擇A.矩陣A與6相似，則A-2石與6-2月相似,故r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3.6.設(shè)3階方陣A的特征值是L2,3,它們所對應(yīng)的特征向量依次為a,a,a,令P=(3a,a,2a),則=(A)(C)00、(A)(C)00、,300、10(B)01004)202,00、’100、20(D)04003?e。9,0、0’90、0解因?yàn)?a3解因?yàn)?a3巴pa?分別為A的對應(yīng)特征值3,1,2的特征向量,故"P二(300、010N02)7.設(shè)隨機(jī)變量X服從［-1』］上的均勻分布，則X與丫=。-卜()(A)不相關(guān)(B)相關(guān)(A)不相關(guān)(B)相關(guān)(C)獨(dú)立(D)相關(guān)且不獨(dú)立解選擇A.經(jīng)計(jì)算得，Cov(X,Y)=Cov(X,e-x\)=E(Xe-H)-EXEe-kl=0,p=0XYnX2?F(l,n).設(shè)X,,X是取自正態(tài)總體N(O,1)一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()nX2?F(l,n)(A)^/nX~A^(O,1)(B)(n—1)512~/2(n—1)(C) (D)kJi=i解選擇D.由一個(gè)正態(tài)總體的抽樣分布知A,B,C都正確，X2?％2(l),Xx2?％2(〃)，但是它們不獨(dú)立,1 ii=lnX2不能推出＜一?/(1〃).XX2i=l

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分，把答案填在題中橫線上).設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(x,2x2—3x+4)=x,f(L3)=2，則fJ1,3)=解答案為T.方程f(x,2x2-3x+4)=x兩邊對x求導(dǎo)，得f(x,2x2-3x+4)+f(x,2x2-3x+4)-(4x-3)=1，x y令x=1，得fx(L3)+fy(L3)=1，故fy(L3)=-1.10彳微分方程y'+(e-x-1)y=1的通解為.解答案為y=ex(1+Cee-x).y=e」(e-x-1)dx[』e」(e-x-1)dxdx+C]=ee-x+x(je-e-xe-xdx+C)=ee-x+x(e-e-x+C)=ex(1+Cee-x)..設(shè)x2=￡acosnx，則|a-,n-0, 20解答案為1.a=—』"x2cos2xdx-1

2兀o.設(shè)S為錐面z=\；x2+y2(0<z<1)外側(cè)，則JJydydz-答案為0.S答案為0.S關(guān)于yoz面反向?qū)ΨQ，Sy關(guān)于x為偶函數(shù)，故JJydydz.設(shè)A為n階矩陣，其伴隨矩陣的元素全為1，則齊次方程組Ax-0的通解為.解答案為k(1,1,…,1)t，k為任意常數(shù).由題設(shè)知，r(A*)-1，r(A)=n-1，n-r(A)=1且AA*=|A|E-O，故A*的列向量(1,1…,1)t是Ax=0的基礎(chǔ)解系.3.設(shè)隨機(jī)變量X與r相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,1)，則P{max(X,Y)>d=.解答案為|.P{max(X,Y)>。}-1-P{nax(X,Y)<0}-1-P{x<0,Y<0}-1-P{X<0}P{y<0}=1-①2(0)=—4,三、解答題(本題共9小題，滿分94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟).(本題滿分9分)設(shè)u=f(x,z)，而z=z(x,y)是由方程z=x+yp(z)所確定的隱函數(shù)，其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而①具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求du.解取全微分du-fdx+fdz，dz=dx+9(z)dy+y9'(z)dzndz=dx+9(:zd，xz 1-y9，(z)ff9故du=(f+--「)dx+丁=dy.x1-y9 1-y9

.（本題滿分10分）設(shè)/(%)在(-8,+8)上連續(xù),MJxf(x-t)endt=cosX.0⑴求/(x)；⑵設(shè)〃=/(0),求級(jí)數(shù)1+￡裊的和.n 2幾+1n=l#] -U- I ⑴求/(x)；⑵設(shè)〃=/(0),求級(jí)數(shù)1+￡裊的和.n 2幾+1n=l#] -U- I 44- -X-Jxf(u)e~ndu=cosx,ipJxf(u)Q~ndu=e~ncosx,o oX上式兩邊對x求導(dǎo)，得了（x）e：]A- 尤—c~ncosx-e-wsinx,n1即/(x)-一一cosx-sinx

n⑵a=f(0)=--,級(jí)數(shù)1+EaC,

n n 2〃+i n2n+in=\ n=\5(X)=]_￡_]_”Xn-ldx=1-x\x—^—dx=1+xln(l-x),|x|<1n o o1—%n=l n=l1+￡-^-n-=5（）=1—iIn2.2〃+i 2 2n=l17.（本題滿分10分）設(shè)球體X2+V2+Z2V2azm>0）的各點(diǎn)密度與坐標(biāo)原點(diǎn)到該點(diǎn)的距離成反比（比例系數(shù)左>0）,求球體的質(zhì)量"及球體繞z軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/.解由題設(shè)知，球體Q上任一點(diǎn)的密度p(x,y,z)=；JX2+12+Z2球體的質(zhì)量M=DIp(x,y,z)dv=Iff, dvq QJx2+W+Z2=J2兀 Jd(p!2acoscp-r2sincpd廠=-7ika2.0 0 0r 3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/=JU(X2+y2)p(x,y,z)dv=JJJj(42+y2)片

'□ aJx2+y2+z2=f271f2d?(pf2flC0S(pkr3sin3cpdr=0 0 03叫435.(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x)在［2,4］上連續(xù)，在(2,4)內(nèi)可導(dǎo)，且f(2)=\4(x—1)2f(x)dx，證明：存在3&g(2,4)，使得f&)=警|).一證令F(x)=(x-1)2f(x)，則F'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f'(x),由積分中值定理知，存在Cg[3,4]，使得f(2)=J4(x-1)2f(x)dx=(c-1)2f(c)，即F(2)=F(c)，3由羅爾定理知，存在[g(2,c)c(2,4)，使得F'R)=0，即Z5-(f8+)己-)2fY=，即f電)=2fl■一.(本題滿分10分)(數(shù)學(xué)一)證明：在右半平面x>0上，曲線積分J(x+4y)dy：(x-y"與路徑無關(guān)，并求一個(gè)二元函數(shù)x2+4y2L(x+4y)dy+(x-y)dxu=u(x,y)，使得du= .x2+4y2證P=上A,q二士4，x2+4y2 x2+4ySx(Sx(x2+4y2)2 (x2+4y2)2dP-(x2+4y2)-8y(x-y)4y2-8xy-x2Sy (x2+4y2)2 (x2+4y2)2，在右半平面x>0上，孚t，故曲線積分J(x+4y)dy:(x-y)dx與路徑無關(guān).Sx Sy x2+4y2Li,y)(x+4y)dy+(x—y)dx解所求函數(shù)u=J ，(1,0) x2+4y2取積分路徑為(1,0)至U(x,0)，再到(x,y)的折線段，則1 ,「1 ,2y,1=Inx+[—arctan——十—ln(x2+4y2)]2x2=1arctan2y+11n(x2+4y2)x220.(本題滿分11分)/ 、 、 xe-y,0<x<y設(shè)二維隨機(jī)向量(X,丫)聯(lián)合概率密度為f(x,y)=| )〔0,其它.求⑴條件概率密度4卜(y|x)=⑵z=x+y概率密度.解畫出聯(lián)合概率密度的非零區(qū)域⑴關(guān)于的邊緣密度f(x)=J+8f(x,y)dy=X -8u」xLx+Jy(x+4y)dy1x0x2u」xLx+Jy(x+4y)dy1x0x2+4y20,x<0,xe-x,x>0,/ 7 、/(x,y)”條件概率密度f(yx)= =<yx f(x)ex-y^y>x.X I,⑵z=X+Y的取值范圍為(0,+00)當(dāng)z《。時(shí)，q(z)=。，當(dāng)z〉o時(shí)，F(xiàn)(z)=p{z<z}=p{x+Y<z}=fff(x,y)dxdyx+y<z=f2dxj'fxe-ydy=f2t/xfz~xxe-ydy=f2x(e-x-e^-z)dx0x0x=f2xe-xdx—e-z0xz2xe^dx0 0Qz<o(z)=r⑶={Z1一(二一De-2+e-z,221.（本題滿分11分）設(shè)X，…,X是取自總體X一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，X的概率密度為f(x)=—0xln0,0<0<1,f(x)=—0xln0,0<0<1,⑴求未知參數(shù)。的矩估計(jì)量；⑵求未知參數(shù)9的最大似然估計(jì)量.TOC\o"1-5"\h\zf 1 1 n解⑴EX二J+co^（x）dx=_r，令乂=EX=_瞳-9=ex,… In9 InO所以。的矩估計(jì)為。=e、.⑵似然函數(shù)L（e）=—9&In?！?6尤“In。）=。J（―In。）〃,i=l6InL(0)_￡

aoi=l6InL(0)_￡

ao=Z=1I 1=0,解得InO=-=,9=e

X±所以9的最大似然估計(jì)為6=e1.(11分)已知兩個(gè)向量組a=(1,2,3)t,cc=(1,0,1)1與［3=(-l,2j)T,P=(4,1,5)T.1 2 1 2⑴，為何值時(shí)，兩個(gè)向量組等價(jià)？⑵兩個(gè)向量組等價(jià)時(shí)，求出它們之間的線性表示式.解⑴對矩陣A=（a,a,0,0）作初等行變換，得12 12A=(a,a,1 2A=(a,a,1 2RR”1-14、'11-1420210-2 4-7131t5)、0—2f+3—7TOC\o"1-5"\h\z,11 -14、0-2 4-7可由匕。2線性表示，且、0 0t—1 可由匕。2線性表示，且當(dāng)