[Vanicek,P.&以 時 間 序 列 分 析 法 偵 測臺灣一等二級水準(zhǔn)網(wǎng)之殘留系統(tǒng)誤差DetectingRemainedSystematicErrorsInTheFirst-OrderClassⅡLevelingNetworkofTaiwanByUsingTimeseries指導(dǎo)教授：許榮欣學(xué)生：李明一前言時間序列（Timeseries），系指以時間順序型態(tài)出現(xiàn)之一連串觀測值集合，或更確切的說，對某動態(tài)系統(tǒng)（DynamicSystem）隨時間連續(xù)觀察所產(chǎn)生有順序的觀測值集合。時間序列分析是一種數(shù)理統(tǒng)計的方法，它可以計算兩筆相近資料間的統(tǒng)計相關(guān)性，因此可用來判斷是否含有系統(tǒng)誤差。綜合上述，假如把時間序列分析的概念帶入水準(zhǔn)測量中，吾人可加以利用的數(shù)據(jù)包含有測段閉合差、測段長、坡度、往返施測時的氣溫及測段方位角等眾多數(shù)據(jù)Craymer,M.，1983]。時間序列分析法一組觀測值

X1,X2,...,XN

，若沿著時間先後有順序地產(chǎn)生，則稱此組觀測值為一時間序列，而正整數(shù)

N被稱為時間序列的長度

[葉小蓁，

1998]。任一時間序列均可延著時間軸作其對應(yīng)的時間序列圖，如圖

1。圖

1

時間序列

[

葉小蓁，

1998]在一穩(wěn)定隨機過程

Xii1中，測度二個隨機變數(shù)

Xt

與

Xtk（k為一整數(shù)）間其相隔一個固定期間或時間落後

k期之線性相依關(guān)系可由

Xt與

Xt

k之互變異數(shù)來闡釋，利用互變異數(shù)來測度任何一對隨機變數(shù)所存在之線性關(guān)系，吾人稱其為自我互變異數(shù)（Autocovariance ）。定義其數(shù)學(xué)式為kcovXt,XtkEZtZtk(1)式中EZt，對所有t值皆有相等性，此為平穩(wěn)型隨機過程之特性[林茂文，1992]。接續(xù)式(1)自我互變異數(shù)的概念，定義隨機變數(shù)Xt與Xtk在相隔k期之自我相關(guān)系數(shù)（Autocorrelationatlagk），以k表示，其數(shù)學(xué)式為kcov(Xt,Xtk)kk(2)var(Xt)var(Xtk)200其中平穩(wěn)型隨機過程之特性為在時間t與tk均具有相同的變異數(shù)[林茂文，1992]，而kk0被稱為自我相關(guān)函數(shù)（AutocorrelationFunction，ACF）。自我相關(guān)函數(shù)有如下之特性：[葉小蓁，1998](1)01(2)1j1，j1,2,...(3)j無單位(4)jj，j1,2,...平穩(wěn)型時間序列（StationaryTimeSeries）系指一個時間序列其統(tǒng)計特性將不隨時間之變化而改變者，換言之，一個平穩(wěn)型時間序列為一隨機過程之特殊實現(xiàn)值，且這種隨機過程之統(tǒng)計特性并不隨時間之變化而改變，即隨機過程Xii1需滿足以下三個條件：(1)EXi(2)varXi0(3)covXi,Ximm其中E表示期望值，var表示變異數(shù)，cov表示共變數(shù)，、0及m均為有限的固定參數(shù)[Hsu,R,2002]。依上述平穩(wěn)型時間序列特性，則每個觀測值可以表示為諸個互相獨立且具有相同機率分配之隨機變數(shù)序列at,at1,at2...之線性組合，而這些隨機變數(shù)通常假設(shè)為常態(tài)分布，其期望值為0，變異數(shù)為a2。因此，此種序列隨機變數(shù)at,at1,at2,...稱為白色干擾過程（

WhiteNoiseProcess

）。

at

之線性組合可以表示為Xt

0at

1at1

2at 2

...

(3)式中

與

j

j

0,1,2,...

為固定的參數(shù)值，

j稱為權(quán)數(shù)（Weight），通常設(shè)

0

1，為決定過程之平均水準(zhǔn)。若一個時間序列為平穩(wěn)型，即此序列為對固定均值上下隨機波動，若時間序列為非平穩(wěn)型，則可知該序列無固定平均值。一般而言，假若權(quán)數(shù)

j

為有限（Finite

）或無限且收斂（Infinite

andConvergent

）者，則可知此時間序列

Xt為對平均數(shù)之平穩(wěn)型時間序列，假若

j

為無限且發(fā)散者（

InfiniteandDivergent

），則此數(shù)列為非平穩(wěn)型時間序列

[

林茂文，

1992]

。將(3)式之系數(shù)

j以

j替換，并僅討論前

q個非零之權(quán)數(shù)，即當(dāng)

j

q時，0。則Xt at 1at1 2at2 ... qatq (4)式中(1,1,2,...,q)亦稱為震動影響或記憶函數(shù)（Shock-EffectorMemoryFunction），表示震動at將持續(xù)影響t,t1,...,tq等(q1)個時期後消失。式(4)稱為q階之移動平均過程（MovingAverageProcessofOrderq，MA(q)）。MA(q)之自我相關(guān)函數(shù)經(jīng)相關(guān)推導(dǎo)已得知在時間位差1,2,...,q時不為零，而自落後q個時期始為零，即自我相關(guān)函數(shù)在時間位差q之後截斷（CutsOffatLagk）。[林茂文，1992]式(3)經(jīng)相關(guān)推導(dǎo)可產(chǎn)生XtC1Xt12Xt2...pXtpat(5)(5)式稱為p階自我回歸過程（AutoregressiveProcessofOrderp，AR(p)）。自我回歸過程名稱之由來系將隨機過程Xtt1中任一當(dāng)期值（CurrentValueoftheProcess）Xt視為回歸模型中的應(yīng)變數(shù)，而將前p期值Xt1,Xt2,...,Xtp視為自變數(shù)做一復(fù)回歸，而自變數(shù)與應(yīng)變數(shù)來自同一隨機過程，因此而得自我回歸之名[葉小蓁，1998]。對一真實性時間序列欲建立一經(jīng)驗?zāi)Ｊ?，吾人有時發(fā)現(xiàn)可以同時采用包含有自我回歸與移動平均項 ，以推導(dǎo)出較僅有自我回歸項或僅有移動平均項更貼近實際之模式。此種模式一般稱為 (p,q)階混合自我回歸與移動平均過程 (MixedAutoregressive-MovingAverageProcessofOrder(p,q),ARMA(p,q)) ，其形式為XtC1Xt12Xt2...pXtpat1at12at2...qatq(6)前述所討論的 AR、MA或ARMA模型，均為常用的平穩(wěn)時間序列模型，然而在一般應(yīng)用上，甚少為平穩(wěn)的時間序列，多呈無固定水準(zhǔn)之現(xiàn)象，此型資料即為非平穩(wěn)時間序列。差分可被視為非平穩(wěn)型時間序列變?yōu)槠椒€(wěn)型的一種轉(zhuǎn)換，有時在處理非平穩(wěn)時間序列時，可考慮自然對數(shù)ln(Xt)或開根號Xt的轉(zhuǎn)換。但差分次數(shù)不宜過多，過度的差分將使資料喪失實際含意而不易解釋，且會使序列的變異數(shù)變大，一般實務(wù)上通常以目測原始序列圖形的方法，來判斷圖形是否已達(dá)平穩(wěn)的狀態(tài)，差分次數(shù)至多不超出兩次[葉小蓁，1998]。一般而言，欲獲得非平穩(wěn)型時間序列之模式，系假設(shè)原始序列經(jīng) d次差分後(d 0)可轉(zhuǎn)為平穩(wěn)型時間序列 ，再以前述ARMA模式擬合，如此之模式稱為(p,d,q)階之整合自我回歸移動平均模型(AutoregressiveIntegratedMovingAverageModelofOrder(p,d,q)，ARIMA(p,d,q))，其中p表示為自我回歸過程之階數(shù)，d為差分次數(shù)，q表示為移動平均過程之階數(shù)。已知若某序列的SACF?k值呈極緩慢消失，以及序列圖不在一固定水準(zhǔn)內(nèi)擺動，則顯示此序列為非平穩(wěn)型，吾人需先將此序列差分直至序列Wt

dXt

,d

1,2,

之SACF很快消失為止，此序列

Wt

乃由

Xt

經(jīng)差分

d次後達(dá)平穩(wěn)，而此

d值即為原始序列

Xt

所需差分之次數(shù)，實務(wù)上通常

d 2[

葉小蓁，1998]。若原始序列經(jīng)判斷為平穩(wěn)型，則由

Bartlett

公式可決定

SACF(SampleAutocorrelationFunction) 於何處截斷，判定 Xt之模型平穩(wěn)的時間序列，由某一移動平均模型 MA(q)產(chǎn)生，理論上對樣本的SACF，期差k>q大之後的 ?k具以下兩個漸進性質(zhì)

MA(q)；若q1 q 2(Bartlett

XttN1為一... 0，則公式)：N夠大時(N>50)1q122，kq(7)var(?k)jNj1?k的漸進抽樣分配為常態(tài)?k~N0,var(?k)(8)1q由(7)式，var(?k)12?2j被稱為SACF?k之大期差的標(biāo)準(zhǔn)誤差Nj1（Large-LagStandardErrorof ?k，?(?k)）。利用Bartlett 公式（式(7)及(8)）可利用統(tǒng)計檢定的方式?11監(jiān)定模型MA(q)之q值[葉小蓁，Zvar(?1)1998]。模型為AR(p)，p 1的時間序列{Xt}，SACF會呈退化的指數(shù)形式或阻尼正弦函數(shù)的相似特徵，故不易由 SACF{?j}來區(qū)分p值。為確定p值，吾人可利用偏自我相關(guān)系數(shù)（PartialAutocorrelations由(5)式，將其改寫為

）來幫助判斷。Xt

k1Xt1

k2

Xt2

...

kkXt k

at

(9)其中

kk被稱為

{Xt}

之第

k期差（

k-thlag

）的偏自我相關(guān)系數(shù)，

k=1,2,

；而{ kk}k1被稱為偏自我相關(guān)函數(shù)（ PartialAutocorrelationFunction ，PACF）。由Cramer’s法則，可分別解：[Faires,J.&Burden,R.,2003]112...k21111...k32..................kkk1k2k3...1k，k3(10)112...k2k1111...k3k2..............................11k1k2k3...11因每一kk為自我回歸式AR(k)模型中，當(dāng){Xt1,Xt2,...,Xt(k1)}已進入模型時，Xt-k與Xt之偏相關(guān)系數(shù)，又Xt-k與Xt來自同一序列，因此而得偏自我相關(guān)系數(shù)之名。[葉小蓁，1998]設(shè)有一組時間序列 {Xt}tN1其模型尚未被確知，致使其理論的 ACF及PACF均未知，故分別以樣本的SACF{?j}j1及SPACF{jj}j1（SamplePartialAutocorrelationFunction）估計理論值。欲監(jiān)定單純的模型，若僅用SACFAR(p)不夠，尚須考慮的顯著性以判定階數(shù)p；故在應(yīng)用上以Quenouille的公SPACF式以求出SPACF，{ jj}j1之截點；設(shè){Xt}tN1為一平穩(wěn)的時間序列，由某一自我回歸模型AR(p)產(chǎn)生，其PACF理論值中， kk 0， k p 1，則對於樣本 SPACF，{jj}j1中，期差k大於p之後的kk具有以下兩個漸進性質(zhì)：當(dāng)N夠大時（N>50）var(?kk)1，kp1。(9)N?kk的漸近抽樣分配為?kk~N(0,1，kp1。(10))N由(9)式可知，S.E.(kk)1,kp，被稱為{}j1之大期差的標(biāo)準(zhǔn)誤?1差（Large-LagStandardErrorof?kk）。依上所述，可以統(tǒng)計檢定的方式(z?iiii)逐步檢定PACF{jj}j1之顯著性[葉小蓁，1998]。S.E.(?ii)將上述ACF與PACF的特徵合并，列為下表表一：表一ACFPACF截斷於q期之後成指數(shù)或阻尼正弦函MA(q)數(shù)消失成指數(shù)或阻尼正弦函截斷於p期之後AR(p)數(shù)消失成指數(shù)或阻尼正弦函成指數(shù)或阻尼正弦函ARMA(p,q)數(shù)消失數(shù)消失臺灣一等水準(zhǔn)網(wǎng)臺灣地區(qū)於民國 89～91年間，以新型電子式精密水準(zhǔn)儀施測一等水準(zhǔn)網(wǎng)，共計有2065個一等水準(zhǔn)點，分布於 4253公里之水準(zhǔn)路線上，并同時進行 GPS衛(wèi)星定位測量與重力測量等工作，進而建立新的臺灣高程基準(zhǔn)(TaiwanVerticalDatum,TWVD2001)。一等一級水準(zhǔn)網(wǎng)於民國89年12月至90年9月間完成總計 1010個一等一級水準(zhǔn)點之測量作業(yè)，水準(zhǔn)路線涵蓋臺灣本島外圍及中橫、南橫等路線，共 1357條測線，全長總計約2052公里。一等二級水準(zhǔn)網(wǎng)一等二級水準(zhǔn)測量需閉合或附合於一等一級水準(zhǔn)點，於民國91年6月至91年12月完成總計1055個一等二級水準(zhǔn)點之外業(yè)工作，水準(zhǔn)路線主要分布於臺灣本島西部及北部，共1155條測段，全長總計約2200公里[蘇哲民，2003]。圖一一等水準(zhǔn)路線圖[蘇哲民，2003]無論是一等一級或一等二級水準(zhǔn)網(wǎng)，其作業(yè)皆須符合內(nèi)政部於民國90年2月修正公布之「一等水準(zhǔn)測量作業(yè)規(guī)范」 。實驗與成果2002年測設(shè)的臺灣一等二級水準(zhǔn)網(wǎng)共有86條測線，1155個測段，以K999水準(zhǔn)點視為一穩(wěn)定之高程參考點，如圖一。其中，部分測段因經(jīng)系統(tǒng)誤差改正後[蘇哲民，2003]測段之往返閉合差或有超過規(guī)范值（2.5mm√K）之情事，故其閉合差值并無顯示列出，因此本次實驗將此部分測段排除不計。本實驗考慮眾多因素作時間序列分析，惟因其實驗過程類似，今僅以依測段長短作排序視為時間序列的時間軸，各測段閉合差視為當(dāng)期觀測值為例詳加介紹，其余僅列出其實驗結(jié)果，過程不再累述。依測段長短作排序視為時間序列的時間軸，各測段閉合差視為當(dāng)期觀測值，繪制時間序列圖，如圖二。圖二 依測段長短排序由圖二，閉合差值似有隨著橫軸數(shù)值增加的趨勢，即序列圖不在一固定水準(zhǔn)內(nèi)擺動，由目測的方式判斷其尚為非平穩(wěn)型，取其一次差後序列圖如圖三圖三 依測段長短排序一次差後差分前與差分後數(shù)列的自我相關(guān)函數(shù)（ ACF）圖形如圖四圖四ACF值A(chǔ)CF未差分一次差lag10.18496-0.48742lag20.16222-0.02135lag30.17771-0.00457lag40.200480.041355lag50.16137-0.0096lag60.13421-0.04626lag70.178610.01523由圖四可知，經(jīng)一次差分後的數(shù)列其ACF很快的便趨近於0，故可判斷經(jīng)差分d=1次後數(shù)列達(dá)平穩(wěn)狀態(tài)。確定差分次數(shù)d及其ACF值後，由cramer’s法則求取偏自我相關(guān)函數(shù)PACF得lag1234567-0.4874-0.3396-0.2729-0.17-0.1171-0.1537-0.1526分別以Quenouille及Bartlett的公式求出PACF?jj}j1、ACFjjj1之截點{并逐步檢定其顯著性。一、檢定PACFStep1.H0:1122...0，H1:非H0依Quenouille公式，每一?kk，k=1,2,，之標(biāo)準(zhǔn)誤差為S.E.(?kk)10.03，檢定統(tǒng)計量為1146因此 11顯著，H0被拒。Step2.H0:110,2233...0，H1:非H0因此22顯著，H0被拒。依此類推，直到77統(tǒng)計檢定z值仍大於1.96，故認(rèn)為此時間序列不具自我回歸之性質(zhì)。二、檢定ACFStep1.H0:120，H1:非H0var(?k)11，k1,2,N1146每一?k之標(biāo)準(zhǔn)誤差為var(?k)10.03，檢定統(tǒng)計量為1146因此H0被拒。Step2.H0:10,230，H1:非H0標(biāo)準(zhǔn)誤差為var(?k)0.00130.036檢定統(tǒng)計量z?220.021401.96var(?2)0.0360.59同理，其他?k之z?k0均小於1.96，k3,4,，因此，不拒0.08絕H0，由此可監(jiān)定此序列之模型為MA(1)。綜合上述PACF及ACF檢定結(jié)果，吾人可說，依測段長短加以排序後之序列呈ARIMA(0,1,1)之模型。再利用MINITAB統(tǒng)計軟體，計算其ARIMA模型的參數(shù)值：依此方法，分別對其他可能造成系統(tǒng)誤差之因素排序後再加以分析，得到「溫度_高程差排序，ARIMA(0,1,1)」、「溫度