1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)比賽一、選擇題(此題滿分35分，每題答對(duì)者得5分，答錯(cuò)者得－2分，不答者得0分)1981*1、條件甲：兩個(gè)三角形的面積和兩條邊對(duì)應(yīng)相等．條件乙：兩個(gè)三角形全等．則以下正確的是（）A．甲是乙的充分必需條件B．甲是乙的必需條件C．甲是乙的充分條件D．甲不是乙的必需條件，也不是乙的充分條件◆答案：B★分析：乙甲，但甲乙，應(yīng)選B.1981*2、條件甲：1sina．條件乙：sincosa．則以下正確的選項(xiàng)是（）22A．甲是乙的充分必需條件B．甲是乙的必需條件C．甲是乙的充分條件D．甲不是乙的必需條件，也不是乙的充分條件◆答案：D★分析：由1sina得sincosa；而sin2cosa，得1sina．應(yīng)選D．2221981*3、設(shè)k（k0,1,2,sintan，則以下正確的選項(xiàng)是（）2），tcotcosA.t取負(fù)值B.t取非負(fù)值C.t取正當(dāng)D.t取值可正可負(fù)◆答案：C★分析：tsintansin2cos1coscotcos2sin011981*4、下邊四個(gè)圖形中，面積最大的是（）A.ABC：A600，B450,AC2;B.梯形：兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為2和3，夾角為750；C.圓：半徑為1；D.正方形：對(duì)角線長(zhǎng)度為2.5◆答案：C★分析：A中三角形面積為3333；B中梯形面積為4；42C中圓面積為，D中正方形面積為1525．于是BADC．選C．2281981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)比賽第1頁(yè)共4頁(yè)1981*5、給出長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，以下12條直線：AB1，BA1，CD1，DC，AD1，DA1，BC1，CB1，AC，BD，A1C1，B1D1中有多少對(duì)異面直線？（）A．30對(duì)B．60對(duì)C．24對(duì)D．48對(duì)◆答案：A★分析：每條面上的對(duì)角線都與5條面上的對(duì)角線異面．故共有512230對(duì)．選A．1981*6、在座標(biāo)平面上有兩個(gè)地區(qū)M和N，M是由y0，yx和y2x這三個(gè)不等式確立，N是隨t變化的地區(qū)，它由不等式txt1確立，t的取值范圍是0t1，設(shè)M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為（）A．t2t1B．2t22tC.11t2D.1t22222◆答案：A★分析：AOB的面積為1。直角邊長(zhǎng)為t的等腰直角三角形面積為1t2.直角邊長(zhǎng)為1122(1t)1t的等腰直角三角形面積為t2．1t2112因此f(t)1t2tt2(0t1)．選A．2221981*7、對(duì)方程xxpxq0進(jìn)行議論，下邊結(jié)論中，哪一個(gè)是錯(cuò)誤的？（）A．至多有三個(gè)實(shí)根B．起碼有一個(gè)實(shí)根C．僅當(dāng)p240時(shí)才有實(shí)根D．當(dāng)p0和q0時(shí)，有三個(gè)實(shí)根q◆答案：C,D★分析：畫出yxx及ypxq的圖象：知A、B正確，C、D錯(cuò)誤．選C、D．1981*8、(此題15分)以下表中的對(duì)數(shù)值有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)予糾正：x0.0210.271.52.835lgx2abc36a3b23abc12a2bc2abacx678914lgx1abc2(ac)33a3c4a2b1a2b1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)比賽第2頁(yè)共4頁(yè)★分析：若lg32ab，則lg94a2b及l(fā)g0.276a3b2，此三個(gè)數(shù)值同時(shí)正確或錯(cuò)誤，故此三個(gè)數(shù)值都正確．若lg833a3c，則lg21ac，lg51lg2ac，lg6lg2lg31aba．因?yàn)榇巳龜?shù)同時(shí)正確或錯(cuò)誤，故此三個(gè)數(shù)值都正確．于是lg1.5lg3lg23abc1與表中l(wèi)g1.53abc矛盾．即lg1.5的數(shù)值錯(cuò)誤．若lg2.812a2bc，則lg14lg2.8lg51a2b，lg0.021lg3lg14lg22abc3，即此三個(gè)數(shù)值同時(shí)正確或錯(cuò)誤，故此三個(gè)數(shù)值正確．lg7lg14lg22bc，與表中l(wèi)g72a2c矛盾；∴表中l(wèi)g1.5與lg7是錯(cuò)誤的，應(yīng)為lg1.53abc，lg72bc．1981*9、(此題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為，求證：PCQEPDQF2．1★證明：作OMCD，垂足為M，交EF于N，設(shè)ONn，OMm．則CMDM1m2，ENFN1n2，即證1m2m1n2n1m2m1n2n2．睜開(kāi)得，1m21n2mn1．移項(xiàng)，平方得，m2n22mn．取“”號(hào)時(shí)，M,N在點(diǎn)O同側(cè)，此時(shí)mn，總之，命題成立．(當(dāng)E,F互換地點(diǎn)時(shí)，且CD,EF在點(diǎn)O側(cè)時(shí)，可能有mn．)又證：PC2PD2CMOM2CMOM22CM2OM22，同理QE2QF22．∴1981年二十五省、市、自治區(qū)中學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)比賽第3頁(yè)共4頁(yè)4PC2PD2QE2QF2PC2QE2PD2QF22PCQEPDQF．等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)PCQE，PDQF時(shí)成立．但由已知，此二式不行立．故證．1981*10、(此題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A,B,C三種部件．每件甲需用A,B各2個(gè)；12個(gè)A與1個(gè)C．用庫(kù)存的A,B,C三種部件，如組裝成p件每件乙需用B,C各個(gè)；每件丙需用甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個(gè)A和1個(gè)B，但C恰巧用完．試證：不論如何改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不可以把庫(kù)存的A,B,C三種部件都恰巧用完．★分析：已知即：每個(gè)甲用A2，2，每個(gè)乙用1，C1，每個(gè)丙用A2，C1．BB∴共有A產(chǎn)品2p2r2件；B產(chǎn)品2pq1件；C產(chǎn)品qr件．設(shè)組裝m件甲，n件乙，k件丙，則用2m2k件A；用2mnBnk件C．件；用2p2r22m2k(1)(2)如所有用完，則有pr1mk(3)2pq12mnqrnk(4)(2)(3)(4)：3p23m．這是不行能的．故證．1981*11、(此題20分)一張臺(tái)球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個(gè)球從AB的中點(diǎn)P擊出，擊中BC邊上的某點(diǎn)Q，而且挨次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點(diǎn)．設(shè)BPQ，求的范圍．提示：利用入射角等于反射角的原理．★分析：只需把這個(gè)正六邊形經(jīng)過(guò)5次