等比數(shù)列的定義比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)Module1等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)等比數(shù)列的定義比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．例1．計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔3年計(jì)算機(jī)價(jià)格降低，現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)9年后的價(jià)格可降為 A．2400 B．900 C．300 D．3600【解答】解：由題意可得，9年后計(jì)算機(jī)的價(jià)格為：8100×=8100×例2．如果一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列 C.存在且唯 D．不存又?jǐn)?shù)列{an}是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則an=qan﹣1（n≥2）②把②代入①得：qan﹣1﹣an﹣1=（q﹣1）an﹣1=d也就是q=1，d=0．列．故選B．例3．下列數(shù)列為等比數(shù)列的是 A. B．1，2，4，8 C.a2=0，肯定不是等比數(shù)列；習(xí)題1．的價(jià)格不斷降低，若每隔半年其價(jià)格降低，則現(xiàn)在價(jià)格為2560元的，兩 A．1440元B．900 C．1040 D．810故降價(jià)4次以后的價(jià)格為2560×=810元習(xí)題2．下列各組數(shù)能組成等比數(shù)列的是 【解答】解 ，∴選項(xiàng)A中的三個(gè)數(shù)不能組成等比數(shù)列∵，，∴選項(xiàng)B中的三個(gè)數(shù)不能組成等比數(shù)列∵，，∴選項(xiàng)B中的三個(gè)數(shù)不能組成等比數(shù)列習(xí)題3．已知{an}是等比數(shù)列，a1=1，a3=2，則 A． D．以上都不【解答】解：∵{an習(xí)題4．已知1，x，9成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù) 解得x=±3．故答案為等比數(shù)列的通項(xiàng) 例1.在等比數(shù)列{an}中， [解](1)

34

所以 13由得q＝4，從而 ，而①2 于是a1＝＝，所以an＝a1q

q＝從 an＝1，所以

121212 a＝aqn－1＝1，得 例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0，a1＝9d，若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng)，則k等于 [解析 [答案]項(xiàng)．[解] 設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，因a1－a5＝90， q＝2

或

11.等比數(shù)列{an}中，a1＝，q＝2，則a4a8的等比中項(xiàng)8 1±4

48A依題意得8 ∴a4a8的等比中項(xiàng)為

習(xí)題2．(1)若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為5，－15,45，則第5項(xiàng)是 (2)已知等比數(shù)列{a}為遞增數(shù)列，且 2(a＋a)＝5a，則數(shù)列{a}的通項(xiàng)n 4

∵(2)根據(jù)條件求出首項(xiàng)a和公比再求通項(xiàng)由 )＝5a a1>0，又?jǐn)?shù)列{an}遞增，所以2 a2＝a>0?(aq4)2＝aq9?a＝q＝2，所以數(shù)列{ 答案：(1)A 習(xí)題3．已知1既是a與b的等比中項(xiàng)，又是的等差中項(xiàng)， 的值是 1或21

a121

或3

3 由題意得，a∴

或 因 4．a(chǎn)1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公2，

8A原式

1

習(xí)題5．已知一等比數(shù)列的前三項(xiàng)依次為x,2x＋2,3x＋3，那么項(xiàng)

2 4，又當(dāng)x＝－1時(shí)，2x＋2＝0，這與等比數(shù)列的定義相

3 2等比數(shù)列的性質(zhì)

＝－132 (3)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{λan}(λ為不等于0的常數(shù)

(4)k項(xiàng)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得新數(shù)列仍為等差(比)數(shù) 例1.(1)若等比數(shù)列{an}滿足a2a4＝，則 2(2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a3＋a7＝20，a1a9＝64，求a11的值 (1)[解析 [答案]4224(2)[解 ∵{an}為等比數(shù)列∴a，a是方t2－20t＋64＝0的兩個(gè) ∴a3＝4，a7＝16①當(dāng)a3＝4，a7＝16時(shí) ＝q＝4，a11＝a3q＝4×4②當(dāng)a3＝16，a7＝4時(shí)

124例2.某工廠2011年1月的生產(chǎn)總值為a萬元，計(jì)劃從2011年2月起，每月生產(chǎn)總值個(gè)月增長(zhǎng)m%，那么到2012年8月底該廠的生產(chǎn)總值為多少萬[解]設(shè)從2011年1月開始n個(gè)月該廠的生產(chǎn)an萬元an＋1＝an＋anm%， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝a，公比q＝1＋m%的等比數(shù)列nn∴20128月底該廠的生產(chǎn)總值a＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(萬元習(xí)題1．(1)在等比數(shù)列{an}中a2＝2，a6＝12，.(2)在等比數(shù)列{an}中，若a7＝－2，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之積等 解析：(1)法一：設(shè){an}的公比為q1∴a 法二：∵{an}是等比數(shù) 于是a10＝6＝ (2)由于{an}是等比數(shù)列，∴aa＝aa＝aa＝aa 5 6 ∴aaa…a12 答案：(1)72習(xí)題2.(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn若a3＋a17＝10，則S19的值是 (2)在等比數(shù)列{an}中，若a2·a8＝36，a3＋a7＝15，則公比q值的個(gè)數(shù)可能為 B.2C．3 D．419 19 [解析 2

a3＝3，a7＝12，a＝3，a＝12，則有 若a＝12，a＝3，則有 ∴q＝，q＝，q＝± ∴q的值可能有個(gè)．[答案 習(xí)題3.在1和16之間插入三個(gè)正數(shù)a，b，c使1，a，b，c,16成等比數(shù)列，求a＋b＋c的值．[解] ∵1，a，b，c,16成等比數(shù)列，∴1，b,16為等比數(shù)∴1，a，b也成等比數(shù)列，b，c,16也成等比數(shù)Module2n等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本概念與計(jì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和a1首項(xiàng)a1an與公比 q＝1a q＝1疑難注意在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，一定要注意對(duì)公比q的討論(q＝1或a 1 較好若已知a則用S＝ 1 例1.在等比數(shù)列{an}中a1＝1，a5＝16，且q＞0 a3＝S3＝a1 [解](1)因{an}為等比數(shù)列 ∴q＝2(負(fù)舍a ∴S＝ 7 aa法一：由S＝ ，a＝aqn－1以及已知條件

189＝

1n111

qq

∴2 n

∴189＝a(2 又∵2＝3

a q≠1 2 2

＝ 3)＝即2(1＋q＋q )＝ 1q＝－(q＝1舍去2∴a2 例2．?dāng)?shù)列{2n－1}的前99項(xiàng)和為 ) 解析：選C數(shù)列{2n－1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，故其前99項(xiàng)和為S 習(xí)題1．在等比數(shù)列{an}中q＝2，S4＝1，求54a ∴ ＝1，a1＝

a1

15 (2)設(shè)公比為q，由通項(xiàng)及已知條件 41a 1 1即 1＋q 141∵a≠0,1＋q2≠01 q＝q＝

22a1

18×18×1－2

＝ 2習(xí)題2．等比數(shù)列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，則公比q等于 2 習(xí)題3．已知等比數(shù)列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，則 a a∴ ＝62，即

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，S奇

1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S4＝2，S8＝6，求a17＋a18＋a19＋a20的值由題意可知上面數(shù)列的首項(xiàng)為S4＝2，公比為a＋a＋a＋a＝S－S＝25＝32.

2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列(1)求{an}的公比(2)若a1－a3＝3，求2a a于是 ＝a＋ 1整理得2q2＋q＝0，12

1212

—

81 21 2—4＝

n例3.(2012·浙江高考)已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為SS＝2n2＋n，n∈N*，數(shù)列滿 a＝4log 2 S＝2n2＋n，得當(dāng)n＝1時(shí) na＝4n－1，n∈N*.n4n－1＝a＝4logb＋3， 2 由(1) 所以 nn4.已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n(1)求an (n∈N)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和 nna3＝7，a5＋a7＝26，a1＝3，d＝2.n由于 2nn111111因此 4n 1 1 111－＋－＋…＋ 2 411－ n 4n ∴數(shù)列的前n項(xiàng)和 4 7 33

S 1＋2＋4于是 ＝

(2)等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比 S奇

∴S偶

∴公比q＝ 習(xí)題2．等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝10，前10項(xiàng)和S10＝50，則它的前15項(xiàng)和 解析：由等比數(shù)列n項(xiàng)和的性質(zhì)S5，S10－S5，S－S成等比數(shù)列，故(S－S)2＝S(S－S)， 即(50－10)2＝10(S－50)，解得S 答案習(xí)題3．在等比數(shù)列{an}中(1)S2＝30，S3＝155，求(2)若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q 1＋q

6 從而Sn＝ 15— 6或15— 6∴

習(xí)題4．a(chǎn)＝n，求數(shù)列{anS 12 n－1解：Sn＝＋＋＋…＋ ＋2 3 1 Sn＝＋＋…＋ 2

11 兩式相減得Sn＝＋＋＋…＋－11－

n 3 ＝ 3 3

－ ＝ 4 習(xí)題5．在數(shù)列{a}中

，且 ，求數(shù)列的前n項(xiàng)

解：a＝ (1＋2＋…＋n)＝ 2 n ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 Sn＝8[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋( n 若互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項(xiàng)，且a＋3b＋c＝10，則a的 D由題意，得a2＝bc，a＝－4，b＝2，c＝8.若a，b，c成等比數(shù)列，則關(guān)于x的方程 解析：選C∵a，b，c成等比數(shù)等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，則an等于( 解析：選A設(shè)公比q 1a≠0，q≠01從而a＞0，即a＝1， 1 4遞增數(shù) B.遞減數(shù) 解析：選D由于公比 4所以數(shù)列{an}是擺動(dòng)數(shù)列已知等比數(shù)列{an}中，a4＝7，a6＝21，則a8的值 C．21 D．±21解析：選B∵{an}成等比數(shù)列88 3 B.27 (aa)·(aa)(aa)(aa)＝(aa)4＝34＝81.故選2 3 4 5 1設(shè)數(shù)列{an①{a3}；②{pa}(p為非零常數(shù) }；④{a＋a}．其中是等比數(shù)列的有幾 a3D①∵a3n

3＝q3，故{a3}是等比數(shù)列n n

＝q，故{pan}是等比數(shù)列 q

等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，它的全部各項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比 解析：設(shè){a}的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項(xiàng)為na

a[1－ S＝ ，S＝ q q

a 3a由題意得 ＝

9．(1)已知{an}為等比數(shù)列，且a5＝8，a7＝2，該數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，求 (2)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝，末項(xiàng)an＝，公比 (3)若等比數(shù)列{anan＋4＝a4111

1 1n∴a＝128×2n(2) 19＝3n－12332323 23

(3)∵a a ∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，q＝±1；當(dāng)n為奇數(shù)(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)．a(chǎn)n＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0.

＝2(n∈N)．所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)法二：由a1＝1，知a1＋1≠0，從而an＋1≠0.an＋1＋12an＋1＋1 2an＋1

∴數(shù)列{an＋1}是等比(2)