第六章第一節(jié)幻燈片第一頁，共三十頁，2022年，8月28日一、集合1.集合的定義集合集合是數(shù)學中最基本的概念之一，它不能用更簡單的概念來定義，而只能對它作些解釋.所謂集合是指由一些確定的對象(或事物)匯集成的整體，其中每個對象叫集合的元素.通常用大寫字母A，B，X，Y等表示集合，用小寫字母a,b,x,y等表示集合的元素.如果元素a在集合A中，就說“a屬于A”，記作a

A；第二頁，共三十頁，2022年，8月28日如果元素a不在集合A中，就說“a不屬于A”，記作a

A.2.集合的表示法集合的表示法有兩種：列舉法和描述法.列舉法:

把集合中的元素一一列舉出來.例如，設M是由數(shù)1,2,3組成的集合，則M可記為M={1,2,3}.第三頁，共三十頁，2022年，8月28日描述法:即用集合中全部元素所具有的特征性質(zhì)來表述集合.其格式是M={a|a

具有的性質(zhì)}.例如，適合方程的全部點的集合M可寫成第四頁，共三十頁，2022年，8月28日又例如，兩個多項式f(x),g(x)的公因式的集合可寫成M={d(x)|d(x)|f(x),d(x)|g(x)}.3.空集合不包含任何元素的集合稱為空集合,記為.例如，一個無解的線性方程組的解集合是空集合.把空集合也看作是集合，這一點與通常的習慣不很一致，但是在數(shù)學上有好處，同時也不是完全沒有道理的，正如把0也看作是數(shù)一樣.第五頁，共三十頁，2022年，8月28日4.兩個集合之間的關(guān)系1)相等如果兩個集合M與N含有完全相同的元素，即a

M當且僅當a

N，那么它們就稱為相等，記為M=N.2)子集合如果集合M的元素全是集合N的元素，即由a

M可以推出a

N，那么M就稱為N的子集合，記為M

N或N

M.第六頁，共三十頁，2022年，8月28日例如，全體偶數(shù)組成的集合是全體整數(shù)組成的集合的子集合.按定義，每個集合都是它自身的子集合.我們規(guī)定，空集合是任一集合的子集合.兩個集合M和N如果同時滿足M

N和N

M，則M和N相等.3)交集設M，N是兩個集合，既屬于M又屬于N的全體元素所組成的集合稱為M與N的交集，記為M

∩

N.第七頁，共三十頁，2022年，8月28日集合M，N的交集，用圖示法可表示為如下的的陰影部分.MNM∩N圖6-1第八頁，共三十頁，2022年，8月28日例如，方程2x-y=1的解集合與方程x-2y=2的解集合的交集就是方程組的解集合.又例如，設M={1,2,3,4},N={2,3},則M

∩

N={2,3}.顯然有M

∩

N

M，M

∩

N

N.第九頁，共三十頁，2022年，8月28日4)并集屬于集合M或者屬于集合N的全體元素所成的集合稱為M與N的并集，記為M

∪

N.集合M，N的并集，所示的紅色部分.MNM

∪

N用圖示法可表示為如圖設M={1,2,3,4},N={2,3,5},則M

∪

N={1,2,3,4,5}.圖6-2第十頁，共三十頁，2022年，8月28日5)差集屬于集合M而不屬于集合N的所有元素組成的集合稱為M與N的差集，記為M-N.MNM

-

N集合M，N的差集，所示的紅色部分.用圖示法可表示為如圖設M={1,2,3,4},N={2,3,5},則M

-

N={1,4}.圖6-3第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日二、映射1.映射的定義定義1設X，Y是非空集，所謂集合X到集合Y的一個映射就是指一個法則，它使X中每一個元素都有Y中一個確定的元素與之對應.記為()=，或：.稱為在映射下的像，而稱為在映射下的一個原像.第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日M

到M

自身的映射，有時也稱為M到自身的變換.注意：的像是唯一的，但的原像不一定是唯一的.2.映射的例子例1

M是全體整數(shù)的集合，N是全體偶數(shù)的集合，定義(n)=2n,n

M.這是M到N的一個映射.第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日例2

M是數(shù)域P上全體n級矩陣的集合，定義1

(A)=|A|，A

M.這是M到P的一個映射.例3

M是數(shù)域P上全體n級矩陣的集合，定義2

(a)=aE，a

P.E是n級單位矩陣，這是P到M的一個映射.第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日例4對于f(x)P[x]，定義(f(x))=f(x).這是P[x]到自身的一個映射.例5設A，B是兩個非空的集合，b0是B中一個固定的元素，定義(a)=b0，a

A.即把A中的每個元素都映射到b0，這是A到B的一個映射.第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日例6設M是一集合，定義(a)=a，a

M.即把每個元素映到它自身，稱為集合M的恒等映射或單位映射，記為1M.例7任意一個定義在全體實數(shù)上的函數(shù)y=f(x)都是實數(shù)集合到自身的映射.因此，函數(shù)可以認為是映射的一個特殊情形.第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日3.兩個映射相等定義2

設、都是集合M到集合N的映射，若對M中的每個元素a都有(a)=(a)則稱它們相等，記為=.第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日4.映射的乘積1)定義定義3

設、分別是集合A到B和B到C

的兩個映射，乘積

定義為()(a)=((a)),a

A,即相繼施行和的結(jié)果，是A到C的一個映射.第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日例如，前面中映射的乘積12就是把每個n級矩陣A映到數(shù)量矩陣|A|E，它是全體n級矩陣的集合到自身的一個映射.對于集合X到Y(jié)的任一映射，顯然有1Y=1X=.2)運算規(guī)律映射的乘法滿足結(jié)合律.設、、分別是集合A到B，B到C，C到D，則()=()第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日()=()結(jié)合律證明顯然上式兩端都是A到D的映射，要證明它們相等，只需要證明它們對于A中每個元素的作用都相同，即()(a)=()(a),對于每個a

A

.由定義()(a)=(()(a))=(((a)),()(a)=()((a))=(((a)).證畢第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日注意：映射的乘法不滿足交換律，例如設f(x)=sinx,g(x)=x+1,則g(f(x))=sinx+1；f(g(x))=sin(x+1).故gf

fg.第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日5.滿射、單射、雙射定義4

設是集合X到Y(jié)的一個映射,如果：(1)

對任意的1,2

X,當12時，(1)(2)，則稱為單射(或稱內(nèi)射injection).(2)

(X)=Y，即對于任意的Y，存在X，使(

)=，則稱為滿射(或稱映上的surjection).(3)

若映射既是單射又是滿射，則稱為雙射(或稱一一對應，bijection).第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日例8滿射的有：單射的有：雙射的有：在中，例1,2,4,6，當n=1時的例3;例1，3，6;例1，6.第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日顯然，對于由有限多個元素組成的集合，即所謂有限集合來說，兩個集合之間存在雙射的充分必要條件是它們所含元素的個數(shù)相同.于是對有限集合M及其子集M

M，M與M就不能建立雙射.對無限集合就不一定如此.有限集到有限集的映射的三種情況，可用下圖來示意.XY單射XY滿射XY雙射圖6-4第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日6.逆映射1)定義定義5

設是集合X到Y(jié)的一個映射，=1X

和=1Y

如果存在集合Y到X的一個映射，使同時成立，則稱是可逆映射(簡稱可逆)，并稱為的逆映射，記作-1=.定義中與的地位是相同的，此時也說是可逆的，且-1=.第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日2)逆映射的唯一性如果映射是可逆的，則其逆映射是唯一的.證明設1

，2是的兩個逆映射，即1=2=1X

且1

=2

=1Y.則有1

=11Y

=1(2

)=(1)2

=1X2=2

，故的逆映射是唯一的.證畢第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日3)映射可逆的條件集合X到Y(jié)的映射可逆的充分必條件是為雙射.證明先證必要性設可逆，即有唯一的從集合Y到X的映射，使=1X

且=1Y,于是，對任意的Y，有=1Y

()=()()=(())，由于()X，故是滿射；第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日又因為，若(1)=(2)，則1=1X(1)=((1))=()(1)=((2))=()(2)=1X(2)=2，故是單射，從而是雙射.再證充分性.設是雙射，對任意的Y，存在唯一的X，使(

)=，于是可定義集合Y到X的映射，使得()=，其中是X中與一一對應的元素，這樣，對任意的X,第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日都有()(

)=((

))=()=，所以，=1X.同樣，對任意的Y

，都有()(

)=(())=(

)=，所以，=1Y.因此是可逆的.證畢第二十九頁，共三十頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!若想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!