歷年高考數(shù)學(xué)真題匯編專題16以基本不等式為背景的應(yīng)用題1、【2017年高考江蘇卷】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是___________．【答案】30【解析】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2、【2010年高考江蘇卷】某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m)．示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已測(cè)得一組α，β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度．若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問d為多少時(shí)，α－β最大？規(guī)范解答(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此算出的電視塔的高度H是124m.(2)(1)由題知d＝AB，則tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h(huán),d)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)d＝＝＝55eq\r(5)時(shí)取等號(hào)．又0<α－β<eq\f(π,2)，所以當(dāng)d＝55eq\r(5)時(shí)，tan(α－β)的值最大．因?yàn)?<β<α<eq\f(π,2)，所以當(dāng)d＝55eq\r(5)時(shí)，α－β的值最大．3、【2013年高考江蘇卷】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1km.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2km，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由．本小題主要考查函數(shù)、方程和基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)閱讀能力和解決實(shí)際問題的能力．滿分14分．規(guī)范解答(1)令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\f(1,k))≤eq\f(20,2)＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．所以炮的最大射程為10km.(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0，使3.2＝ka－eq\f(1,20)(1＋k2)a2成立，即關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，所以判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a≤6，所以0<a≤6.所以當(dāng)a不超過6km時(shí)，炮彈可擊中目標(biāo)．一、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義.以上過程用框圖表示如下：二、在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合.運(yùn)用基本不等式解決應(yīng)用題一定要注意滿足三個(gè)條件：一、正；二、定；三、相等。題型一、與幾何體有關(guān)的應(yīng)用題以幾何為載體的應(yīng)用題常見與圓、扇形等特色的圖形，此類問題的關(guān)鍵是把各個(gè)線段表示出來，進(jìn)二列出函數(shù)的解析式，與幾何體有關(guān)的導(dǎo)數(shù)問題，常常涉及到表面積與體積的問題，解題關(guān)鍵就是通過引入?yún)?shù)表示表面積或者體積，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解。例1、(2016常州期末）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長(zhǎng)，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為x(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S(m2)．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值．規(guī)范解答(1)由題設(shè)得S＝(x－8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)－2))＝－2x－eq\f(7200,x)＋916，x∈(8,450)．(6分)(2)因?yàn)?<x<450，所以2x＋eq\f(7200,x)≥2eq\r(2x·\f(7200,x))＝240，(8分)當(dāng)且僅當(dāng)x＝60時(shí)等號(hào)成立．(10分)從而S≤676.(12分)答：當(dāng)矩形溫室的室內(nèi)長(zhǎng)為60m時(shí)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積最大，最大為676m2.(14分)例2、(2017南京、鹽城二模）在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)．設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)當(dāng)a＝90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．思路分析(1)紙盒側(cè)面積S(x)是關(guān)于x的函數(shù)，即求S(x)max.(2)先猜想并證明a＝b時(shí)，底面積取最大，這樣問題變?yōu)榍篌w積關(guān)于x的函數(shù)的最大值．規(guī)范解答(1)當(dāng)a＝90時(shí)，b＝40，紙盒的底面矩形的長(zhǎng)為90－2x，寬為40－2x，周長(zhǎng)為260－8x.所以紙盒的側(cè)面積S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)故S(x)max＝Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,4)))＝eq\f(4225,2).答：當(dāng)a＝90時(shí)，紙盒側(cè)面積的最大值為eq\f(4225,2)平方厘米．(6分)(2)紙盒的體積V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，a≥b＞0，且ab＝3600.(8分)因?yàn)?a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4eq\r(ab)x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝60時(shí)取等號(hào)，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)記f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，則f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)極大值由上表可知，f(x)的極大值是f(10)＝16000，也是最大值．(12分)答：當(dāng)a＝b＝60，且x＝10時(shí)，紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．(14分)例3、(2016鹽城三模）一位創(chuàng)業(yè)青年租用了一塊邊長(zhǎng)為1百米的正方形田地ABCD來養(yǎng)蜂、產(chǎn)蜜與售蜜，他在正方形的邊BC，CD上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)(不與正方形的頂點(diǎn)重合)，連結(jié)AE，EF，F(xiàn)A，使得∠EAF＝45°.現(xiàn)擬將圖中陰影部分規(guī)劃為蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)，△AEF部分規(guī)劃為蜂巢區(qū)，△CEF部分規(guī)劃為蜂蜜交易區(qū).若蜂源植物生長(zhǎng)區(qū)的投入約為2×105元/百米2，蜂巢區(qū)與蜂蜜交易區(qū)的投入約為105元/百米2，則這三個(gè)區(qū)域的總投入最少需要多少元？規(guī)范解答設(shè)陰影部分面積為S，三個(gè)區(qū)域的總投入為T.則T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1)，從而只要求S的最小值即可．(2分)設(shè)∠EAB＝α(0°<α<45°)，在△ABE中，因?yàn)锳B＝1，∠B＝90°，所以BE＝tanα，則S△ABE＝eq\f(1,2)AB·BE＝eq\f(1,2)tanα，(4分)又∠DAF＝45°－α，同理得S△ADF＝eq\f(1,2)tan(45°－α)，(6分)所以S＝eq\f(1,2)[tanα＋tan(45°－α)]＝eq\f(1,2)tanα＋eq\f(1－tanα,1＋tanα)，(8分)令x＝tanα∈(0,1)，S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(x－1,x＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x＋1)－1))(10分)＝≥eq\f(1,2)(2eq\r(2)－2)＝eq\r(2)－1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(2,x＋1)，即x＝eq\r(2)－1時(shí)取等號(hào)．(12分)從而三個(gè)區(qū)域的總投入T的最小值約為eq\r(2)×105元．(14分)題型二、與利潤(rùn)等有關(guān)的應(yīng)用題與利潤(rùn)有關(guān)的問題關(guān)鍵是要認(rèn)真審題，只有在審題的基礎(chǔ)上才可以正確列出函數(shù)的解析式，要特別注意函數(shù)的定義域和單位的統(tǒng)一。例4、(2019南京學(xué)情調(diào)研）銷售甲種商品所得利潤(rùn)是P萬元，它與投入資金t萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式P＝eq\f(at,t＋1)；銷售乙種商品所得利潤(rùn)是Q萬元，它與投入資金t萬元的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式Q＝bt，其中a，b為常數(shù)．現(xiàn)將3萬元資金全部投入甲、乙兩種商品的銷售；若全部投入甲種商品，所得利潤(rùn)為eq\f(9,4)萬元；若全部投入乙種商品，所得利潤(rùn)為1萬元．若將3萬元資金中的x萬元投入甲種商品的銷售，余下的投入乙種商品的銷售，則所得利潤(rùn)總和為f(x)萬元．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)怎樣將3萬元資金分配給甲、乙兩種商品，才能使得利潤(rùn)總和最大，并求最大值．規(guī)范解答(1)由題意P＝eq\f(at,t＋1)，Q＝bt，故當(dāng)t＝3時(shí)，P＝eq\f(3a,3＋1)＝eq\f(9,4)，Q＝3b＝1.(3分)解得a＝3，b＝eq\f(1,3).(5分)所以P＝eq\f(3t,t＋1)，Q＝eq\f(1,3)t.從而f(x)＝eq\f(3x,x＋1)＋eq\f(3－x,3)，x∈.(7分)(2)由(1)可得f(x)＝eq\f(3x,x＋1)＋eq\f(3－x,3)＝eq\f(13,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)＋\f(x＋1,3))).(9分)故eq\f(3,x＋1)＋eq\f(x＋1,3)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,x＋1)＝eq\f(x＋1,3)，即x＝2時(shí)取等號(hào)．從而f(x)≤eq\f(13,3)－2＝eq\f(7,3).(11分)所以f(x)的最大值為eq\f(7,3).答：分別投入2萬元、1萬元銷售甲、乙兩種商品時(shí)，所得利潤(rùn)總和最大，最大利潤(rùn)是eq\f(7,3)萬元．(14分)例5（2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模）某科研小組研究發(fā)現(xiàn)：一棵水蜜桃樹的產(chǎn)量（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足如下關(guān)系：，且投入的肥料費(fèi)用不超過5百元．此外，還需要投入其他成本（如施肥的人工費(fèi)等）百元．已知這種水蜜桃的市場(chǎng)售價(jià)為16元/千克（即16百元/百千克），且市場(chǎng)需求始終供不應(yīng)求．記該棵水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)為（單位：百元）．（1）求利潤(rùn)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該水蜜桃樹獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解析（1）（）．（2）法一：．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)．故．答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤(rùn)是4300元．法二：，由得，．故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；故．答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤(rùn)是4300元．例6、（2016鎮(zhèn)江期末）過去的2013年，我國(guó)多地區(qū)遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷．某品牌口罩原來每只成本為6元，售價(jià)為8元，月銷售5萬只．(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少0.2萬只，要使月總利潤(rùn)不低于原來的月總利潤(rùn)(月總利潤(rùn)＝月銷售總收入－月總成本)，該口罩每只售價(jià)最多為多少元？(2)為提高月總利潤(rùn)，廠家決定下月進(jìn)行營(yíng)銷策略改革，計(jì)劃每只售價(jià)x(x≥9)元，并投入eq\f(26,5)(x－9)萬元作為營(yíng)銷策略改革費(fèi)用．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每只售價(jià)每提高0.5元，月銷售量將相應(yīng)減少eq\f(0.2,x－82)萬只，則當(dāng)每只售價(jià)x為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn)．規(guī)范解答(1)設(shè)每只售價(jià)為x元，則月銷售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))萬只．由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×0.2))(x－6)≥(8－6)×5，(3分)所以eq\f(2,5)x2－eq\f(53,5)x＋eq\f(296,5)≤0，即2x2－53x＋296≤0.(4分)解得8≤x≤eq\f(37,2).(5分)即每只售價(jià)最多為18.5元．(6分)(2)下月的月總利潤(rùn)y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－\f(x－8,0.5)×\f(0.2,x－82)))·(x－6)－eq\f(26,5)(x－9)(9分)＝eq\f(2.4－0.4x,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(234－150,5)＝eq\f(－0.4x－8－0.8,x－8)－eq\f(1,5)x＋eq\f(84,5)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5x－8)＋\f(x－8,5)))＋eq\f(74,5).(10分)因?yàn)閤≥9，所以eq\f(4,5x－8)＋eq\f(x－8,5)≥2eq\r(\f(4,25))＝eq\f(4,5)，(12分)當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,5x－8)＝eq\f(x－8,5)，即x＝10，等號(hào)成立，所以ymin＝14.(13分)答：當(dāng)x＝10時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為14萬元．(14分)1、.某種生產(chǎn)設(shè)備購買時(shí)費(fèi)用為10萬元，每年的設(shè)備管理費(fèi)共計(jì)9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費(fèi)各年為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，則這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用______年報(bào)廢最合算(即使用多少年的年平均費(fèi)用最少).答案10解析設(shè)使用x年的年平均費(fèi)用為y萬元.由已知，得y＝eq\f(10＋0.9x＋\f(0.2x2＋0.2x,2),x)，即y＝1＋eq\f(10,x)＋eq\f(x,10)(x∈N*).由基本不等式知y≥1＋2eq\r(\f(10,x)·\f(x,10))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(10,x)＝eq\f(x,10)，即x＝10時(shí)取等號(hào).因此使用10年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用為3萬元.2、為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長(zhǎng)12百米，寬5百米的矩形空地建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖（圖中陰影部分）.以所在直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示）.景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型，園區(qū)服務(wù)中心在軸正半軸上，百米.（1）若在點(diǎn)和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)之間修建一條休閑長(zhǎng)廊，求的最短長(zhǎng)度；（2）若在線段上設(shè)置一園區(qū)出口，試確定的位置，使通道最短.解：（1）設(shè)直線（其中一定存在），代入，得，化簡(jiǎn)為.設(shè)，則，所以令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)成立.綜上，的最短長(zhǎng)度為百米（2）當(dāng)直線與邊界曲線相切時(shí)，最短.若直線斜率不存在，則直線方程為，不符合題意；若直線斜率存在，設(shè)PQ方程為，代入，化簡(jiǎn)得.當(dāng)時(shí)，方程有唯一解（舍去），當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€與曲線相切，所以，解得或（舍去），此時(shí)直線方程為，令，得，即點(diǎn)在線段上且距離軸百米.答：當(dāng)點(diǎn)在線段上且距離軸百米，通道最短.3、(2016無錫期末）某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費(fèi)用x萬元滿足P＝eq\f(x＋2,4)(其中0≤x≤a，a為正常數(shù))．已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品還需投入成本6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P＋\f(1,P)))萬元(不含促銷費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,P)))元/件．(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；(2)當(dāng)促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？規(guī)范解答(1)由題意知，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,P)))P－x－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(P＋\f(1,P))).(3分)將P＝eq\f(x＋2,4)代入化簡(jiǎn)得y＝19－eq\f(24,x＋2)－eq\f(3,2)x(0≤x≤a)．(5分)(2)y＝22－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,x＋2)＋x＋2))≤22－3eq\r(,\f(16,x＋2)×x＋2)＝10，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16,x＋2)＝x＋2，即x＝2時(shí)，上式取等號(hào)．(8分)所以當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；(9分)由y＝19－eq\f(24,x＋2)－eq\f(3,2)x，得y′＝eq\f(24,x＋22)－eq\f(3,2)，當(dāng)x<2時(shí)，y′>0，此時(shí)函數(shù)y在[0,2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)y在[0，a]上單調(diào)遞增，(11分)所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)有最大值．即促銷費(fèi)用投入a萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．(12分)綜上，當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元，廠家的利潤(rùn)最大；當(dāng)a<2時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬元，廠家的利潤(rùn)最大．(14分)4、(2017南通一調(diào)）如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6m，寬2m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪．(1)當(dāng)∠EFP＝eq\f(π,4)時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說明理由．規(guī)范解答(1)當(dāng)∠EFP＝eq\f(π,4)時(shí)，由條件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝eq\f(π,4).所以∠FPE＝eq\f(π,2).所以FN⊥BC，四邊形MNPE為矩形．(3分)所以四邊形MNPE的面積S＝PN·MN＝2(m2).(5分)(2)解法1設(shè)∠EFD＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，由條件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ.所以PF＝＝eq\f(2,sin2θ)，NP＝NF－PF＝3－eq\f(2,sin2θ)，ME＝3－eq\f(2,tanθ).(8分)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,sin2θ)＞0，,3－\f(2,tanθ)＞0，,0＜θ＜\f(π,2)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2θ＞\f(2,3)，,tanθ＞\f(2,3)，,0＜θ＜\f(π,2).))(*)所以四邊形MNPE面積為S＝eq\f(1,2)(NP＋ME)MN＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,sin2θ)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,tanθ)))))×2＝6－eq\f(2,tanθ)－eq\f(2,sin2θ)＝6－eq\f(2,tanθ)－eq\f(2sin2θ＋cos2θ,2sinθcosθ)＝6－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＋\f(3,tanθ)))(12分)≤6－2eq\r(tanθ·\f(3,tanθ))＝6－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)tanθ＝eq\f(3,tanθ)，即tanθ＝eq\r(3)，θ＝eq\f(π,3)時(shí)取“＝”．(14分)此時(shí)，(*)成立．答：當(dāng)∠EFD＝eq\f(π,3)時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，最大值為(6－2eq\r(3))m2.(16分)5、(2016鎮(zhèn)江期末）如圖，某工業(yè)園區(qū)是半徑為10km的圓形區(qū)域，離園區(qū)中心O點(diǎn)5km處有一中轉(zhuǎn)站P，現(xiàn)準(zhǔn)備在園區(qū)內(nèi)修建一條筆直公路AB經(jīng)過中轉(zhuǎn)站，公路AB把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域．(1)設(shè)中心O對(duì)公路AB的視角為α，求α的最小值，并求較小區(qū)域面積的最小值；(2)為方便交通，準(zhǔn)備過中轉(zhuǎn)站P在園區(qū)內(nèi)再修建一條與AB垂直的筆直公路CD，求兩條公路長(zhǎng)度和的最小值．規(guī)范解答(1)如圖1，作OH⊥AB，設(shè)垂足為H，記OH＝d，α＝2∠AOH，因?yàn)閏os∠AOH＝eq\f(d,10)，(1分)要使α有最小值，只需要d有最大值，結(jié)合圖像可得，d≤OP＝5km，(3分)當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥OP時(shí)，dmax＝5km.此時(shí)αmin＝2∠AOH＝2×eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).(4分)設(shè)AB把園區(qū)分成兩個(gè)區(qū)域，其中較小區(qū)域面積記為S，由題意得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)，(6分)f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，所以f(α)為增函數(shù)，(7分)所以Smin＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝50eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)km2.(8分)答：視角的最小值為eq\f(2π,3)，較小區(qū)域面積的最小值是50eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)km2.(9分)圖1(2)如圖2，過O分別作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分別是H，H1，記OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知d1∈[0,5]，所以deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝OP2＝25，且deq\o\al(2,2)＝25－deq\o\al(2,1)，(10分)因?yàn)锳B＝2eq\r(100－d\o\al(2,1))，CD＝2eq\r(100－d\o\al(2,2))，所以AB＋CD＝2(eq\r(100－d\o\al(2,1))＋eq\r(100－d\o\al(2,2)))＝2(eq\r(100－d\o\al(2,1))＋eq\r(75＋d\o\al(2,1)))，(11分)記L(d1)＝AB＋CD＝2(eq\r(100－d\o\al(2,1))＋eq\r(75＋d\o\al(2,1)))，可得L2(d1)＝4[175＋2]，(12分)由deq\o\al(2,1)∈[0,25]，可知deq\o\al(2,1)＝0或deq\o\al(2,1)＝25時(shí)，L2(d1)的最小值是100(7＋4eq\r(3))，從而AB＋CD的最小值是(20＋10eq\r(3))km.(13分)答：兩條公路長(zhǎng)度和的最小值是(20＋10eq\r(3))km.(14分)圖26、(2018揚(yáng)州期末）如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園，其中P，Q分別在射線OA和OB上．經(jīng)測(cè)量得，扇形OPQ的圓心角(即∠POQ)為eq\f(2π,3)、半徑為1千米，為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN，分別與射線OA，OB交于M，N兩點(diǎn)，并要求MN與扇形弧eq\o(PQ,\s\up8(︵))相切于點(diǎn)S.設(shè)∠POS＝α(單位：弧度)，假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì)．(1)試將公路MN的長(zhǎng)度表示為α的函數(shù)，并寫出α的取值范圍；(2)試確定α的值，使得公路MN的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值．規(guī)范解答(1)因?yàn)镸N與扇形弧eq\o(PQ,\s\up8(︵))相切于點(diǎn)S，所以O(shè)S⊥MN.在Rt△OSM中，因?yàn)镺S＝1，∠MOS＝α，所以SM＝tanα.在Rt△OSN中，∠NOS＝eq\f(2π,3)－α，所以SN＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，所以MN＝tanα＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝eq\f(\r(3)（tan2α＋1）,\r(3)tanα－1)，(4分)其中eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).(6分)(2)解法1(基本不等式)因?yàn)閑q\f(π,6)<α<eq\f(π,2)，所以eq\r(3)tanα－1>0.令t＝eq\r(3)tanα－1>0，則tanα＝eq\f(\r(3),3)(t＋1)，所以MN＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(4,t)＋2)).(8分)由基本不等式得MN≥eq\f(\r(3),3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(t×\f(4,t))＋2))＝2eq\r(3)，(10分)當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(4,t)，